八年级数学·下 新课标[北师]第一章 三角形的证明 1 等腰三角形（第3课时）问题思考独立思考后再进行交流.【问
题1】 等腰三角形性质定理的内容是什么?这个命题的条件和结论分别是什么?【问题2】 我们是如何证明上述定理的?【问题3】 我们把性
质定理的条件和结论反过来还成立吗?在一个三角形中,如果两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,对吗?证明:有两个角相等的三角形是等
腰三角形.已知:如图所示，在△ABC中，∠B=∠C.求证AB=AC.证明1:作AD⊥BC于点D.(如图所示)在△ABD和△ACD中
,∵∠B=∠C, ∠BDA=∠CDA, AD=AD, ∴ △ABD≌△ACD (AAS).∴ AB=AC (全等三角形的对应边相等
). 证明2：作△ABC顶角的平分线AD交BC于点D.(如图所示)在△ABD和△ACD中,∵∠B=∠C, ∠BAD=∠CAD, A
D=AD,∴ △ABD≌△ACD (AAS).∴ AB=AC (全等三角形的对应边相等).定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.
这一定理可以简述为:等角对等边.几何语言:在△ABC中，∵∠B=∠C(已知)，∴AB=AC(等角对等边).例2 已知:如图
所示,AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E, 求证△AED是等腰三角形.证明:∵AB=DC, BD=CA,AD=DA,∴
△ABD≌△DCA (SSS).∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).∴AE=DE(等角对等边).∴ △AED是等腰三角
形.反证法如图所示，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等.假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可
得∠C=∠B，这与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定
理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.例3 用反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直
角.已知:△ABC.求证:∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.证明:假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A和∠B是直角
,即∠A=90°,∠B=90°,于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.这与三角形内角和定理矛盾,因此“∠A和∠B是
直角”的假设不成立.所以，一个三角形中不能有两个角是直角.[知识拓展] 等腰三角形的判定定理和性质定理是互逆的,解有关等腰三角形问
题时,等腰三角形底边上的高线、中线、顶角平分线通常是作辅助线需要重点考虑的线段.1.已知:如图所示,OC平分∠AOB,CD∥OB,
若OD=3 cm,则CD等于 ( )A.3 cm B.4 cm C.1.5 cm D.2 cmA2
.(2015·西安中考)如图所示,在△ABC中,∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC，连
接DE，则图中等腰三角形共有 ( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个D解析:∵△ABC为等腰三角形
,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠CBD=36°,∴△ABD为等腰三角形,△BC
D为等腰三角形.可得BE=BC=BD,∴△BDE为等腰三角形.∵∠AED=108°,∴∠EAD=∠EDA=36°,∴△AED为等腰
三角形.故选D.3.如图所示,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么
下列结论:①△BDF和△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE的周长等于AB与AC的和;④BF=CF.其中正确的有
( )A.①②③ B.①②③④C.①② D.①解析:可证明△BDF,△CEF都是等腰三角形,得①②③正确.故选A.A4.用反证法
证明命题“一个三角形的三个外角中,至多有一个锐角”的第一步是 .?假
设三角形的三个外角中,有两个锐角解析:根据等腰三角形的性质可知AB=AC.故填AB=AC.5.已知AD是△ABC的外角∠EAC的平
分线,要使AD∥BC,则△ABC的边一定满足 .?AB=AC解析:可证△ADE是等腰三角形,∴AD=AE=2 cm.6.在△
ABC中,∠C=∠B,D,E分别是AB,AC上的点,AE=2 cm,且DE∥BC,则AD= .?2 cm7.如图所示,已知A
B=AC,E,D分别在AB,AC上,BD与CE交于点F,且∠ABD=∠ACE,求证BF=CF.证明:连接BC,∵AB=AC,∴∠A
BC=∠ACB.∵∠ABD=∠ACE,∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC.8.如图所示,在△ABC中,BA=BC,点D是AB延长线
上一点,DF⊥AC于F交BC于E,求证△DBE是等腰三角形.证明:∵BA=BC,∴∠A=∠C.∵DF⊥AC,∴∠C+∠FEC=90°,∠A+∠D=90°.∴∠FEC=∠D. ∵∠FEC=∠BED,∴∠BED=∠D.∴BD=BE,即△DBE是等腰三角形. |
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