用心想一想,马到功成 如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置 ? 线段垂直平分线的性质: 定理:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是 C,且AC=BC,P是MN上的点.求证:PA=PB.证明:∵MN⊥AB, ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC,PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS) ; ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). 用心想一想,马到功成你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 如果有一个点到线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平 分线上. 当我们写出逆命题时,就想到判断它的真假.如果真,则需证明它;如果假,则需用反例说明. 已知:线段AB,点 P是平面内一点且PA=PB.求证:P点在AB的垂直平分线上.证明:过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB,PC=PC, ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL). ∴AC=BC, 即P点在AB的 垂直平分线上.证法二:取AB的中点C,过P,C作直线. ∵AP=BP,PC=PC.AC=CB, ∴△APC≌△BPC(SSS). ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的 对应角相等). 又∵∠PCA+∠PCB=180°, ∴∠PCA=∠PCB= ∠90°,即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上.已知:线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.求证 :P点在AB的垂直平分线上.已知:线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.求证:P点在AB的垂直平分线上.证法三:过P点作∠APB 的角平分线交AB于点C. ∵AP=BP,∠APC=∠BPC,PC=PC, ∴△APC≌△BPC(SAS). ∴AC=BC,∠PCA=∠PCB 又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90° ∴P点在线段AB的垂直平分线上 .线段垂直平分线的判定: 定理:到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.想一想,做一做已知:如图 1-1 8,在 △ABC 中,AB = AC,O 是 △ABC 内一点,且 OB = OC.求证:直线 AO 垂直平分线段BC .课堂小结, 畅谈收获:一、线段垂直平分线的性质定理.二、线段垂直平分线的判定定理. 三、用尺规作线段的垂直平分线. 补充练习 : 1.已知:△ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P.求证:点P在AC的垂直平分线上. 2.如图,求作一点P,使PA=PB,PC=PD |
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