方法技巧专题一 数形结合思想训练
数形结合思想是指从几何直观的角度利用几何图形的性质研究数量关系寻求代数问题的解决方法(以形助数)或利用数量关系来研究几何图形的性质解决几何问题(以数助形)的一种数学思想．一、选择题1．我们学习了( )演绎 ．数形结合抽象 ．公理化2．若实数a在数轴上对应的点如图－1所示则下列式子中正确的是( )
图－1＞bc－b|＝a－b－a＜－b＜－c－a－c＞－b－c3．[2017·怀化一次函数y＝－2x＋m的图象经过点P(－2)，且与x轴、y轴分别交于点A、B则△AOB的面积是( ) B. C．4 D．8
4．[2017·聊城端午节前夕在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中甲、乙两队500米的赛道上所划行的路程y()与时间x()之间的函数关系式如图－2所示下列说法错误的是( )
图－2乙队比甲队提前0.25 到达终点当乙队划行110 时落后甲队15 后乙队比甲队每分钟快40 自1.5 开始甲队若要与乙队同时到达终点甲队的速度需提高到255 5．[2016·天津已知二次函数y＝(x－h)＋1(h为常数)在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下与其对应的函数值y的最小值为5则h的值为( )或－5 ．－1或5或－3 ．或36．[2017·鄂州如图－3抛物线y＝ax＋bx＋c的图象交x轴于A(－20)和点B交y轴负半轴于点C且OB＝OC.下列结论：①2b－c＝2；②a＝；③ac＝b－1；④＞0.其中正确的个数有( )
图－3个 ．个 ．个 ．个二、填空题7．如图－4是由四张全等的矩形纸片拼成的图形请利用图中空白部分面积的不同表示方法写出一个关于a的恒等式：________．
图－48．[2017·十堰如图－5直线y＝kx和y＝ax＋4交于A(1)，则不等式kx－6
图－59．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰日取其半万世不竭”意思是：一根一尺的木棍如果每天截取它的一半永远也取不完如图－6所示．由图易得：＋＋＋…＋＝________．
图－610．当x＝m或x＝n(m≠n)时代数式x－2x＋3的值相等则x＝m＋n时代数式x－2x＋3的值为________．11．已知实数a、b满足：a＋1＝＋1＝则2018－b|＝________．12．[2017·荆州观察下列图形：
图－7它们是按一定规律排列的依照此规律第9个图形中共有________个点．13．(1)观察下列图形与等式的关系并填空：
图－8(2)观察图－9根据(1)中结论计算图中黑球的个数用含有n的代数式填空：
图－9＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(________)＋(2n－1)＋5＋3＋1＝__________．三、解答题14．[2016·菏泽如图－10在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax＋bx＋2过B(－2)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D求△BCD的面积；(3)若直线y＝－x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包B、C)部分有两个交点求b的取值范围．
【例l】设，则的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）
解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．＝
，于是问题转化为：在轴上求一点C(，0)，使它到两点A（－1，1）和B(2，3)的距离之和（即CA＋CB）最小.
[来源:Z&xx&k.Com
【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是厘米，面积是平方厘米，这样的直角三角形 ( )
A．不存在 B．至多1个 C．有4个 D．有2个
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．
【例3】如图，在△ABC中，∠A＝，∠B＝2∠C，∠B的平分线交AC于D，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F. 求证：.
（湖北省竞赛试题）
解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分别计算出各个线段，利用代数法证明．
【例4】 当在什么范围内取值时，方程有且只有相异的两实数根？ （四川省联赛试题）
解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数与函数(≥0)图象有且只有相异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得的取值范围．
【例5】 设△ABC三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC为正三角形． （江苏省竞赛试题）
解题思路：设△ABC三边长分别为，，，对应边上的高分别为，，，△ABC的面积为，则易得三个内接正方形边长分别为，，，由题意得，即．则，，适合方程.
【例6】设正数，，满足方程组，求的值．
参考答案
1． 2. 3. 4. [解析] (1)如图①当x＝3取得最小值时解得h＝5(h＝1舍去)；
(2)如图②当x＝1取得最小值时解得h＝－1(h＝3舍去)． [解析] 在y＝ax＋bx＋c中当x＝0时＝c(0，c)，∴OC＝－c.∵OB＝OC(－c)．(－2)，∴－c、－2是一元二次方程ax＋bx＋c＝0的两个不相等的实数根－c·(－2)＝＝正确；∵a＝－c、－2是一元二次方程x＋bx＋c＝0的两个不相等的实数根c＋(－2)＝－即2b－c＝2正确；把B(－c)代入y＝ax＋bx＋c得0＝a(－c)＋b·(－c)＋c即ac－bc＋c＝0.∵c≠0－b＋1＝0＝b－1正确；∵抛物线开口向上＞0.∵抛物线的对称轴在y轴左侧－＜0＞0＋b＞0.∵抛物线与y轴负半轴交于点C＜0.∴＜0不正确．(a－b)＝(a＋b)－4ab [解析] 将A(1)代入y＝ax＋4得a＋4＝k将a＋4＝k代入不等式kx－61所以不等式的解集是1
∵y＝x－x＋2＝(x－1)＋抛物线的顶点坐标是(1)．由B(－26)和C(2)求得直线BC的解析式为＝－x＋4.对称轴与直线BC的交点是H(1)．＝.＝S＋S＝××3＋××1＝3.(3)如图．由消去y得x－x＋4－2b＝0.当Δ＝0时直线与抛物线只有一个公共点
∴(－1)－4(4－2b)＝0解得b＝.当直线y＝－x＋b经过点C时＝3当直线y＝－x＋b经过点B时＝5.综上可知＜b≤3.
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