八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）不等式x3的解集是（ ）
A． B．x6 C．x6 D．
2．（3分）若a0，则不等式﹣axa＜0的解集是（ ）
A．x1 B．x1 C．x﹣1 D．x﹣1
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）在RtABC中，C=90°，A=30°，BD是ABC的平分线，交AC于点D，若CD=1，则AB的长是（ ）
A．2 B． C． D．4
5．（3分）若等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．80° B．50° C．80°或50° D．80°或20°
6．（3分）如图，在 RtABC中，C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则ACD的周长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．（3分）如图，已知AB=AC=AD，CAD=20°，则CBD的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
8．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果a0，b0，则a﹣b0 B．两直线平行，同旁内角互补
C．四边形是多边形 D．若a0，则a|=a
9．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小
B．在平面直角坐标系中，一个点向右平移2个单位，则纵坐标加2
C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行
10．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（2，）绕原点O顺时针旋转90°后得到点P′，则点P′的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）已知点A（a，3）与点B（﹣5，b）关于原点对称，则ab= ．
12．（3分）已知长度为3 cm，4 cm，x cm的三条线段可以构成一个三角形，则x的取值范围是 ．
13．（3分）直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是 度．
14．（3分）将直线y=2x3向下平移2个单位，得直线 ．
15．（3分）已知O为三边垂直平分线交点，BAC=80°，则BOC= ．
16．（3分）将点A向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点A′（4，5），则点A的坐标是 ．
17．（3分）用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于”时，首先要假设 ．
18．（3分）如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则ACBD的最小值是 ．
三、解答题（共46分）
19．（10分）解不等式（组）：
（1）﹣＞﹣．
（2）．
20．（7分）已知：如图，在RtABC中，C=90°，BC=AB．求证：A=30°．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的顶点都在格点上，点A的坐标为（1，1）．
（1）将RtABC先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到RtA1B1C1，请在图中画出RtA1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）再将RtA1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到RtA2B2C2，请在图中画出RtA2B2C2，并直接写出RtA1B1C1在上述旋转过程中点B1所经过的路径长．
22．（6分）如图，在四边形BCDE中，C=∠BED=90°，B=60°，延长CD、BE，两线相交于点A，已知CD=2，DE=1，求RtABC的面积．
23．（8分）某餐厅计划购买12张餐桌和一批椅子（不少于12把），现从甲、乙两商场了解到同一型号的餐桌报价都为每张200元，餐椅报价都为每把50元．甲商场规定：每购买一张餐桌赠送一把餐椅；乙商场规定：所有餐桌、餐椅均按报价的八五折销售，那么，什么情况下到甲商场购买更优惠．
24．（7分）如图，在四边形ABCD中，BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AC=4，求四边形ABCD的面积．
2017年陕西省西安市碑林区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）不等式x3的解集是（ ）
A． B．x6 C．x6 D．
【解答】解： x3，
两边都乘以2得：x6，
故选C．
2．（3分）若a0，则不等式﹣axa＜0的解集是（ ）
A．x1 B．x1 C．x﹣1 D．x﹣1
【解答】解：﹣axa＜0，
﹣ax﹣a，
a＜0，
﹣a0，
x＜1，
故选A．
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
4．（3分）在RtABC中，C=90°，A=30°，BD是ABC的平分线，交AC于点D，若CD=1，则AB的长是（ ）
A．2 B． C． D．4
【解答】解：C=90°，A=30°，
ABC=180°﹣A﹣C=60°，
BD是ABC的平分线，
CBD=∠ABC=30°，
即在RtBCD中，CBD=30°，
BD=2CD=2（含30度角的直角三角形的性质），
由勾股定理得：BC==，
A=30°，C=90°，
AB=2BC=2，
故选：B．
5．（3分）若等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．80° B．50° C．80°或50° D．80°或20°
【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°2=20°．
故选D．
6．（3分）如图，在 RtABC中，C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则ACD的周长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：AB的垂直平分线交BC于点D，
AD=BD，
BC=4，AC=3，
CD+AD=CD+BD=BC=4，
ACD的周长为：43=7．
故选A．
7．（3分）如图，已知AB=AC=AD，CAD=20°，则CBD的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【解答】解：AC=AD，CAD=20°，
ACD=∠ADC=80°，
设ACB=β，CBD=α，
AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=β，
ABD=β﹣α，
AB=AD，
ADB=∠ABD=β﹣α，
BDC=∠ADC﹣ADB=80°﹣（β﹣α），
在BCD中，CBD+∠BDC+∠BCD=180°，
α+80°﹣（β﹣α）β+80°=180°，
α=10°，
即：CBD=10°，
故选A．
8．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果a0，b0，则a﹣b0 B．两直线平行，同旁内角互补
C．四边形是多边形 D．若a0，则a|=a
【解答】解：A、如果a0，b0，则a﹣b0的逆命题为如果a﹣b0，则a0，b0，此逆命题为假命题；
B、两直线平行，同旁内角互补的逆命题为同旁内角互补，两直线平行，此逆命题为真命题；
C、四边形是多边形的逆命题为多边形为四边形，此逆命题为假命题；
D、若a0，则a|=a的逆命题为若a|=a，则a0，此逆命题为假命题．
故选B．
9．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小
B．在平面直角坐标系中，一个点向右平移2个单位，则纵坐标加2
C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行
【解答】解：A、平移不改变图形的形状和大小，旋转也不改变图形的形状和大小，故此选项错误；
B、在平面直角坐标系中，一点向右平移2个单位，横坐标加2，故此选项错误；
C、在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都被对称中心平分，此选项正确；
D、在平移中，对应角相等，对应线段相等且平行，旋转则对应线段有可能不平行，故此选项错误．
故选：C．
10．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（2，）绕原点O顺时针旋转90°后得到点P′，则点P′的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，点P′的坐标是（，﹣2）．
故选D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）已知点A（a，3）与点B（﹣5，b）关于原点对称，则ab= 2 ．
【解答】解：点A（a，3）与点B（﹣5，b）关于原点对称，
a=5，b=﹣3，
ab=2，
故答案为：2．
12．（3分）已知长度为3 cm，4 cm，x cm的三条线段可以构成一个三角形，则x的取值范围是 1x＜7 ．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得4﹣3x＜4+3，即1x＜7．
故答案为1x＜7．
13．（3分）直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是 45 度．
【解答】解：如图所示
ACB为Rt，AD，BE，分别是CAB和ABC的角平分线，AD，BE相交于一点F．
ACB=90°，
CAB+∠ABC=90°
∵AD，BE，分别是CAB和ABC的角平分线，
FAB+∠FBA=∠CAB+∠ABC=45°．
故答案为：45．
14．（3分）将直线y=2x3向下平移2个单位，得直线 y=2x1 ．
【解答】解：将直线y=2x3向下平移2个单位，得到直线y=2x3﹣2，即y=2x1．
故答案为：y=2x1．
15．（3分）已知O为三边垂直平分线交点，BAC=80°，则BOC= 160° ．
【解答】解：已知点O为三边垂直平分线交点，
点O为ABC的外心，
BOC=2∠BAC，
BAC=80°，
BOC=160°，
故答案为：160°．
16．（3分）将点A向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点A′（4，5），则点A的坐标是 （2，8） ．
【解答】解：把点A′（4，5）向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得对应点A的坐标为（2，8）．
故答案为（2，8）．
17．（3分）用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于”时，首先要假设 这五个数都小于 ．
【解答】解：首先要假设这五个数都小于．
故答案为：这五个数都小于．
18．（3分）如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则ACBD的最小值是 ．
【解答】解：如图所示，以AB，BD为边构造平行四边形ABDE，作点C关于x轴的对称点F，连接AF，则DEy轴，OF=OC=1，
四边形ABDE是平行四边形，
BD=AE，DE=AB=1，
AB垂直平分线CF，
AC=AF，
AC+BD=AE+AF，
如图，当点E，A，F在同一直线上时，AEAF=EF（最短），
此时，Rt△DEF中，DE=1，DF=21=3，
EF===，
AC+BD的最小值是．
故答案为：．
三、解答题（共46分）
19．（10分）解不等式（组）：
（1）﹣＞﹣．
（2）．
【解答】解：（1）﹣＞﹣，
去分母得5（2x1）﹣（1﹣3x）﹣2，
去括号得10x5﹣13x＞﹣2，
移项得10x3x＞﹣2﹣51，
合并同类项得13x﹣6，
系数化为1得x﹣；
（2），
由得x2，
由得x﹣1．
故不等式组的解集是﹣1x≤2．
20．（7分）已知：如图，在RtABC中，C=90°，BC=AB．求证：A=30°．
【解答】证明：取AB的中点D，连接CD，
C=90°，点D是AB的中点，
CD=AD=BD=AB，
A=∠DCA，
BC=AB，
CD=BD=BC，
BCD是等边三角形，
BDC=60°，
A=∠DCA=30°．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的顶点都在格点上，点A的坐标为（1，1）．
（1）将RtABC先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到RtA1B1C1，请在图中画出RtA1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）再将RtA1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到RtA2B2C2，请在图中画出RtA2B2C2，并直接写出RtA1B1C1在上述旋转过程中点B1所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图所示，RtA1B1C1即为所求，点A1的坐标为（﹣4，0）．
（2）如图所示，RtA2B2C2即为所求；
A1B1==5，B1A1B2=90°，
点B1所经过的路径长为=π．
22．（6分）如图，在四边形BCDE中，C=∠BED=90°，B=60°，延长CD、BE，两线相交于点A，已知CD=2，DE=1，求RtABC的面积．
【解答】解：C=90°，B=60°，
A=30°，
AD=2DE=2，
AC=AD+CD=4，
设BC=x，则AB=2x，
由勾股定理得，（2x）2﹣x2=16，
解得，x=，即BC=，
则RtABC的面积=×BC×AC=．
23．（8分）某餐厅计划购买12张餐桌和一批椅子（不少于12把），现从甲、乙两商场了解到同一型号的餐桌报价都为每张200元，餐椅报价都为每把50元．甲商场规定：每购买一张餐桌赠送一把餐椅；乙商场规定：所有餐桌、餐椅均按报价的八五折销售，那么，什么情况下到甲商场购买更优惠．
【解答】解：设学校计划购买x把餐椅，到甲、乙两商场购买所需要费用分别为y甲、y乙，
当椅子的数量小于12时，
y甲=2400；
y乙=（20012+50x）85%；
当y甲y乙时，24002040+x，
解得：x8.47，即x9．
y甲=20012+50（x﹣12），
即：y甲=180050x；
y乙=（20012+50x）85%，
即y乙=2040x；
当y甲y乙时，180050x＜2040+x，
x＜32，又根据题意可得：x12，
12≤x＜32，
综上所述，当购买的餐椅大于等于9少于32把时，到甲商场购买更优惠．
24．（7分）如图，在四边形ABCD中，BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AC=4，求四边形ABCD的面积．
【解答】解：作AECD于E，AFCB于F．
AEC=∠ECF=∠F=90°，
四边形AECF是矩形，
EAF=∠DAB=90°，
DAE=∠BAF．
AD=AB，AED=∠F=90°，
AED≌△AFB，
AE=AF，AED与AFB的面积相等，
四边形AECF是正方形，
S四边形ABCD=S正方形AECF=?AC2=8．
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