九年级数学下册《锐角三角函数》单元测试卷（附答案解析）一、单选题1．在Rt中，，若，，则的值为（ ）A．B．C．D．2．已知α是锐角，若s
inα= ，则α的度数是（ ）A．30°B．45°C．60°D．75°3．在下列实数中，无理数是（ ）A．sin45°B．C．
0.3D．tan45°4．如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（ ）A．B．C．D．5．如图，是电杆的一根拉线，测得米，，
则拉线的长为（ ）A．米B．米C．米D．米6．计算sin 45°+cos45°的值为（ ）A．1B．2C．D．27．如图，河坝
横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC=4m，则AB的长度为（ ）A．2mB．4mC．4mD．6m8．如图，在平面直角坐标系中，
过点O的⊙O 1与两坐标轴分别交于A、B两点，A（5，0），B（0，3），点C在弧OA上，则tan∠BCO=（ ）A．B．C．D
．9．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠ABC＝（ ）A．B．C．D．10．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥
AB，垂足为E，且∠BCD＝30°，CD＝4．则图中阴影部分的面积S阴影＝（ ） A．2πB．πC．πD．π二、填空题11．在
△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3，BC＝1，则cosA的值为 ．12．若cosα=0.5，则锐角α为 度．13．如果一个正六
边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为 cm．14．如图，正方形ABCD的边长为4，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G
，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是 .三、计算题15．计算 16．17．计算：·sin 60°－·cos 45
°＋－.18．观察下列等式： ①sin30°= ，cos60°= ；②sin45°= ，cos45°= ；③si
n60°= ，cos30°= ．（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）= ． （2）计算：sin21
°+sin22°+sin23°+…+sin289°． 四、作图题19．如图，在中，，点D在边BC上，连接，过点D作射线.（1）在
射线上求作点M，使得，且点M与点C是对应点 (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若， ，求的长五、解
答题20．如图，从热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为 ， ，此时热气球C处所在位置到地面上点A的距离为400米.求地面上
A，B两点间的距离.21．如图，小丽家住在巴河畔的电梯公寓AD内，她家的河对岸新建了一座大厦BC. 为了测量大厦的高度，小丽在她家
的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为45°，爬上楼顶D处得大厦顶部B的仰角为30°. 已知小丽家所住的电梯公寓高36米，请你帮助小丽计
算出大厦高度BC，结果保留整数.（参考数据：，）六、综合题22．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一
块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，
同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好
与地面CE平行．（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度A
B（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．23．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F
，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DFA；（2）如果AD＝10，AB＝6，求sin∠EDF的值．参考答案与解析1．【答案】B【解
析】【解答】解：在Rt△ABC中， ， ，，.故答案为：B.【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据余弦函数的概念进行计算.2．
【答案】A【解析】【解答】解：∵a是锐角，sina=，∴a=30°. 故答案为：A. 【分析】根据特殊角的锐角三角函数值可知，
sin30°= ，即可判断a的度数.3．【答案】A【解析】【解答】解： ，∵、0.3与1是有理数，是无理数，∴选项A满足题意.故
答案为：A.【分析】根据特殊角的三角函数值可得sin45°=，tan45°=1，常见的无理数有四类：①根号型的数：开方开不尽的数，
② 与有关的数，③构造型：像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④三角函数型：如sin60°等，根
据定义即可一一判断得出答案.4．【答案】B【解析】【解答】，，， A不符合题意；，B符合题意；， C不符合题意；， D不符合题意；
故答案为：B． 【分析】利用正弦、余弦和正切的定义逐项判断即可。5．【答案】D【解析】【解答】解： ，，米， 米；故答案为：D．【
分析】利用解直角三角形的方法可得 。6．【答案】C【解析】【解答】 解： . 故答案为：C. 【分析】直接代入特殊角的三
角函数值，然后再合并同类二次根式即可得出答案.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：，∴，即，解得，AC＝4，
由勾股定理得，AB＝=4（m），故答案为：C.【分析】坡比等于坡角的正切函数值，据此结合BC的值可得AC，然后根据勾股定理求解即可
.8．【答案】D【解析】【解答】解：连接AB，则∠BCO=∠BAO．∵A（5，0），B（0，3），∴OB=3，OA=5，∴tan∠
BCO=tan∠BAO=，故答案为：D． 【分析】根据圆周角的性质可得∠BCO=∠BAO，再利用正切的定义可得tan∠BCO=ta
n∠BAO=。9．【答案】B【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，如图，AB＝＝3，BC＝＝，根据题意可得，S△ABC＝＝，即＝
，解得：CD＝，在Rt△BCD中，sin∠ABC＝＝＝．故答案为：B．【分析】过点C作CD⊥AB，先利用勾股定理求出AB和BC的长
，再利用等面积法求出CD＝，最后利用正弦的定义可得sin∠ABC＝＝＝。10．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦
CD⊥AB，∴CE＝ED＝2，又∵∠DCB＝30°，∴∠DOE＝2∠BCD＝60°，∴OE＝22，OD＝4，∴S阴影＝S扇形BOD
﹣S△DOE+S△BEC2×2．故答案为：B.【分析】根据垂径定理可得CE＝ED＝2，由圆周角定理可得∠DOE＝2∠BCD＝60°
，根据三角函数的概念求出OE、OD，然后根据S阴影＝S扇形BOD-S△DOE+S△BEC结合扇形、三角形的面积公式进行计算.11．
【答案】【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，∴AC＝ ，∴cosA＝ ，故答案为： ．【分析】先求
出AC的长，再利用余弦的定义求解即可。12．【答案】60【解析】【解答】解：∵， ∴锐角α =60° 故答案为：60. 【分析
】根据特殊角三角函数值直接得出答案.13．【答案】2【解析】【解答】解：如图： 由题可知：是正六边形，，∴，∵，∴为等边三角形，∵
，∴，∵，∴．故答案为：2． 【分析】由正六边形的性质可得△OAB为等边三角形，由，可得，，利用锐角三角函数即可求出OA的长.14
．【答案】【解析】【解答】解：正方形ABCD中，BC=CD=4， ，连接BD，交EF于点O，如图所示： 则 ，在 中，由勾股定理
，得： ，∵EF平分正方形ABCD的面积，∴EF一定经过正方形得中心，即点O是正方形的中心，∴ ，∵EF⊥BP交BP于G，∴ ，∴
以OB为直径作 ，如上图，则点G在 上， ，∴连接CM，如上图，则点G在CM与 的交点处时，CG的值最小，此时， ，过点M 作MN
⊥BC于点N，如上图，则 ，在 中， ， ，∴ ，在 中，由勾股定理，得： ，∴ ，即 的最小值是 .故答案为： . 【分析】连
接BD，交EF于点O，则∠ABD=∠CBD=45°，由勾股定理求出BD，由题意可得EF一定经过正方形的中心，据此可得OB=OD，以
OB为直径作 ，则点G在上， 可得BM=GM=，连接CM，则点G在CM与的交点处时，CG的值最小，此时MG=BM=，过点M 作MN
⊥BC于点N，利用三角函数的概念可得BN、MN，进而求出CN，由勾股定理求出CM，然后根据CG=CM-MG进行计算.15．【答案】
解：原式= =1【解析】【分析】运用二次根式，底数非零的零指数幂，三角函数值等来运算．16．【答案】解： ，= = = 【解析】
【分析】根据负整数指数幂、算术平方根、绝对值和特殊角三角函数值得到原式= ，然后进行乘法运算后合并即可.17．【答案】解：原式＝
×－×＋2－2＝－1＝【解析】【分析】考查特殊角的三角函数值。18．【答案】（1）1（2）sin21°+sin22°+sin23°
+…+sin289° =（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°=1+1+…1+ =
44+ = ．【解析】【解答】解：（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）=cosα，∴sin2α+sin2（90°﹣
α）=1；（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=（sin21°+sin289）+（sin22°+si
n288°）+…+sin245°=1+1+…1+ =44+ = ． 【分析】（1）根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α
）=cosα，根据同角的正弦和余弦之间的关系即可求解；（2）利用（1）的结论即可直接求解．19．【答案】（1）解：如图点M即为所求
.解法一（作∠BAC＝∠DAM）：解法二（作∠CAM＝∠BAD）：（2）解：∵△ADM∽△ABC，∴，∵在Rt△ABD中， cos
∠BAD＝， ∵cos∠BAD＝ ， ∴，∴，∵BC＝6，∴DM＝9.【解析】【分析】（1）作∠BAC＝∠DAM即可求解；（2）由
题意证△ADM∽△ABC，利用相似三角形的性质求解即可．20．【答案】解: 过点C作 于点D由题意得 , ∵在Rt△ACD中,
, ∴CD=AC = =400× =200(m)AD= AC = =400× =200 （m）∵在Rt△BCD中
, tanB= ∴BD= = =200 (m)∴AB=AD+BD= m答：地面上A，B两点间的距离为 m .【解析】【分析
】 过点C作CD⊥AB于点D，先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°可求出∠B与∠A的度数，再由直角三角形
的性质求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结论.21．【答案】解：过B作于E，如图所示：楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为
30°，，在中，，，可得，即，在Rt△ABC中，，，可得，即，又，，，，解得，答：大厦高度BC约为米.【解析】【分析】过B作BE⊥
DE于E，由题意可得∠DBE=30°，∠BAC=45°，利用三角函数的概念可得DE=BE，BC=AC，结合AC=BE可得BC=AE
=AD+DE，据此可得BC.22．【答案】（1）解：过点F作FG⊥EC于G， 依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，∴
四边形DEGF是矩形，∴FG＝DE，在Rt△CDE中，DE＝CE?tan∠DCE＝6×tan30 o ＝2 （米），∴点F到地面的
距离为2 米；（2）解：∵斜坡CF的坡度为 i＝1：1.5． ∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3（米），∴FD＝E
G＝（3+6）（米）．在Rt△BCE中，BE＝CE?tan∠BCE＝6×tan60 o ＝6（米），∴AB＝AD+DE﹣BE＝3+
6+2﹣6＝6﹣≈4.3 （米）．答：宣传牌的高度约为4.3米．【解析】【分析】（1）过点F作FG⊥EC于G，易得四边形DEGF是
矩形，根据矩形的性质得FG＝DE，在Rt△CDE中，根据正切函数的定义，由DE＝CE?tan∠DCE即可算出答案； （2）根据坡比
的定义，Rt△CFG中，可得CG＝1.5FG，进而可得FD＝EG＝（3+6）（米），在Rt△BCE中，根据正切函数的定义，由BE＝
CE?tan∠BCE求出BE，最后根据AB＝AD+DE﹣BE算出答案.23．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，BC＝AD，AD
∥BC，∠B＝90°， ∴∠DAF＝∠AEB．∵DF⊥AE，AE＝BC，∴∠AFD＝90°，AE＝AD．∴△ABE≌△DFA．（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA． ∴AB＝DF＝6在直角 中， ，在直角 中， ，【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°， 从而得出∠DAF＝∠AEB，AE＝AD，根据垂直的定义得出∠AFD＝90°，利于AAS即可证出△ABE≌△DFA；（2）根据全等三角形的性质得出AB＝DF＝6，根据勾股定理求出AF=8，从而求出EF=2，再根据勾股定理求出DE=，再根据锐角三角函数的定义即可得出答案.第 1 页 共 17 页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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