九年级数学下册《直角三角形的边角关系》单元测试卷(附答案解析)一、单选题1．如图，在中，，，则的值为（ ）A．2B．3C．D．2．在中，，
都是锐角，，，则对的形状最确切的判断是（ ）A．锐角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形3．在Rt△ABC中，∠
C=90°，∠B=2∠A，则cosB等于（ ）A．B．C．D．4．如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则的正切值为（
）A．2B．C．D．5．下列三角函数的值是无理数的是（ ）A．B．C．D．6．已知是锐角，，则的值是（ ）A．B．C．D．
7．如图，为测楼房的高，在距楼房50米的处，测得楼顶的仰角为，则楼房的高为( )A．米B．米C．米D．米8．如图，在△ABC中，
BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示的式子为（ ）A．B．C．D．9．如图，∠α的顶点为O
，一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P（3，4），则sinα＝（ ）A．B．C．D．10．如图所示，菱形 的周长为，，垂足为E
，，则下列结论正确的个数有（ ）①，②，③菱形的面积为，④.A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．如图，大坝横截面的迎
水坡AB的坡比为1：2（即BC：AC＝1：2），若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为 米.12．在中，，则的值等于
．13．某山坡的坡度，若沿该山坡坡面前进，则升高了 .14．如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得
到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交
AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝ .三、计算题15．计算：．16． （1）解方程：；（2）计算：17．计算：18．计算（1
）2sin30°＋tan45°（2）四、解答题19．如图，在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底
部D处的俯角是45°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度.（参考数据
：≈1.73，≈1.41，结果保留整数）.20．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地
政府决定对一段如图（1）所示的坡路进行改造．如图（2）所示，改造前的斜坡的高度米，坡角；将斜坡的高度降低20米后，斜坡改造为斜坡，
其坡度为1：4，改造后的斜坡多占多长一段地面？（结果保留根号）21．先化简，再求代数式的值，其中．22．如图，禁止捕鱼期间，某海上
稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们西北方向距离6海里的B处有一艘捕鱼船正在沿南偏西75°方向以每小时10
海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以14海里的速度沿北偏西某一方向航行，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所
用的时间．五、综合题23．如图，在中，，cm，cm，点M从点A出发，沿折线→以2cm/s速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿方向
以1cm/s的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线的对称点N，连接交于点E
，连接，．设运动时间为t（s）（），请解答下列问题：（1）当t为何值时，？（2）点M在线段上运动时，是否存在某一时划t使得∽？若存
在，请求出此刻的t值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，为直角三角形？参考答案与解析1．【答案】D【解析】【解答】解：在中
，，， ∴，∴可设，则，∴， ∴，故答案为：D. 【分析】根据余弦函数的定义得，设AC=x，则AB=3x，根据勾股定理表示出BC，
进而再根据正切函数的定义即可求出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：由，，得 ，..则对形状的判断最确切的是等腰直角三角形.故
答案为：B. 【分析】根据特殊锐角三角函数值可得∠B=45°，∠C=45°，根据三角形的内角和定理可得∠A=90°，从而即可得出结
论.3．【答案】B【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠B=2∠A，∴∠A+2∠A=90°，∴∠A=30°
，∴∠B=60°，∴cosB=故答案为：B.【分析】根据三角形的内角和定理并结合已知可得∠B的度数，进而根据特殊锐角三角函数值即可
得出答案.4．【答案】D【解析】【解答】解：延长CB交网格于D，连接AD，如图所示：则，，，的正切值；故答案为：D.【分析】延长C
B交网格于D，连接AD，利用方格纸的特点易得∠ADC=90°，根据勾股定理算出AD、CD的长，进而根据正切函数的定义即可算出∠AC
B的正切值.5．【答案】D【解析】【解答】解：A．，1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；B．，是分数，属于有理数，故本选项不
符合题意；C．，是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；D．，是无理数，故本选项符合题意．故答案为：D．【分析】根据特殊角三角函数
值分别求出各项的值，再根据无理数的定义判断即可.6．【答案】A【解析】【解答】解：，， 又，，解得，故答案为：A．【分析】由可得，
利用特殊角三角函数值可得，继而得解.7．【答案】A【解析】【解答】解：在直角△ABC中，sinα=，cosα=，∴=tanα，∴B
C=AC?tanα=50tanα．故答案为：A.【分析】由题意知AC=50米，利用tanα=即可求解.8．【答案】C【解析】【解答
】解：∵ BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，∴∠A+∠ACE=90°，∠ACE+
∠COD=90°，∴∠COD=∠A， 又∵∠COD=∠BOE，∴∠A=∠BOE，∴sinA=sin∠DCE=sin∠BOE， 又∵
，，，，∴. 故答案为：C. 【分析】根据垂直的定义得∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，根据同角的余角相等及对顶角相
等得∠A=∠BOE=∠COD，进而根据等角的同名三角函数值相等得sinA=sin∠DCE=sin∠BOE，进而根据正弦函数的定义可
得，据此一一判断得出答案.9．【答案】C【解析】【解答】 解：∵l上有一点P（3，4），∴点P到x轴距离为4，到y轴距离为3，OP
＝=5，∴sina＝.故答案为：C．【分析】已知点P的坐标，可得点P到x轴距离为4，到y轴距离为3，根据勾股定理就可以求出OP的长
．最后根据三角函数的定义求解即可．10．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可得， ∵菱形 的周长为，∴，∵，∴，故①正确；∴ ，
∴，故②正确∴菱形的面积为③正确；∴故④错误，故答案为：C. 【分析】利用菱形的周长可求出菱形的边长，再在Rt△ADE中，利用解直
角三角形求出DE的长，可对①作出判断；利用勾股定理求出AE的长，即可得到BE的长，可对②作出判断；利用菱形的面积公式，可求出菱形A
BCD的面积，可对③作出判断；然后在Rt△BED中，利用勾股定理求出BD的长，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.11．
【答案】【解析】【解答】解：∵大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，AC＝12米，∴∴BC＝6（米），∴AB＝＝（米）.故答案为：
.【分析】根据坡比的概念建立方程求出BC的长，进而利用勾股定理即可算出AB的长.12．【答案】【解析】【解答】解：∵在中，， ∴，
∴．故答案为：． 【分析】由勾股定理求出AB，利用即可求解.13．【答案】【解析】【解答】解：由题意可知中， ∵，，，∴，设，则，
根据勾股定理有，即解得， (负值舍去) 故答案为： . 【分析】根据坡度为1：3可得AC：BC=1：3，设AC=xm，则MC=3
xm，然后利用勾股定理计算即可.14．【答案】【解析】【解答】解：∵点E，F分别是BC，AD的中点，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴
∠A=90°，AD∥BC，AD=BC，∴，∴四边形ABEF是矩形，由题意知，AD=2AB，∴AF=AB，∴矩形ABEF是正方形，∴
AB=BE，∠ABE=∠BEF=90°，∵BG=EH，∴△ABG≌△BEH（SAS），∴∠BAG=∠EBH，∴∠BAG+∠ABO=
∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°，∴∠AOB=90°，∵BG＝EH＝BE＝2，∴BE=5，∴AF=5，∴，∵∠OAB=∠BAG
，∠AOB=∠ABG，∴△AOB∽△ABG，∴，即，∴，∵OM⊥ON，∴∠MON=90°=∠AOB，∴∠BOM=∠AON，∵∠BA
G+∠FAG=90°，∠ABO+∠EBH=90°，∠BAG=∠EBH，∴∠OBM=∠OAN，∴△OBM～△OAN，∴，∵点N是AF
的中点，∴，∴，解得：BM=1，∴AM=AB-BM=4，∴.故答案为：.【分析】易得AF=AD，BE=BC，由矩形的性质可得∠A=
90°，AD∥BC，AD=BC，则AF=BE=AD，由题意知：AD=2AB，则AF=AB，推出矩形ABEF是正方形，证明△ABG≌
△BEH，得到∠BAG=∠EBH，进而得到∠AOB=90°，由已知条件可知BG＝EH＝BE＝2，则BE=AF=5，利用勾股定理求出
AG，证明△AOB∽△ABG，根据相似三角形的性质可得OA、OB，由等角的余角相等可得∠OBM=∠OAN，证明△OBM～△OAN，
然后相似三角形的性质可得BM，由AM=AB-BM可得AM，然后根据三角函数的概念进行计算.15．【答案】解：原式【解析】【分析】先
代入特殊锐角三角函数值，再计算二次根式的乘法，最后合并同类二次根式即可.16．【答案】（1）解：(x+1)(x-4)=0∴x1=-
1，x2=4（2）解：原式=+-2×=【解析】【分析】（1）首先将方程整理成一般形式，进而将方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据
两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，求解即可得出原方程的解；（2）先代入各个特殊锐角的三
角函数值，再计算乘方和乘法，最后合并同类二次根式即可.17．【答案】解：原式＝-3﹣2×+|1﹣|+1＝-3﹣+﹣1+1＝-3.【
解析】【分析】先代入特殊角的三角函数值，进行负整数指数幂和零次幂的运算，再去绝对值，最后合并同类二次根式和进行有理数的加减运算即可
.18．【答案】（1）解：原式=（2）解：原式=【解析】【分析】（1）由，，计算可得结果； （2）由，计算可得结果。 19．【答
案】解：由题意知，AB⊥AD、CD⊥AD垂足为点A和点D，∠CAD＝30°，∠ABD＝45°，AB=24，则，∴是等腰直角三角形，
∴AD=AB=24， 在Rt△ADC中，， ∴（米），即办公楼的高度约为14米.【解析】【分析】易求△ABD是等腰直角三角形，可得
AD=AB=24，根据即可求出CD的长.20．【答案】解：∵，米，，∴米，∴米，∵米，∴米，∵斜坡的坡度为，即，∴，即，∴米，∴（
米），答：改造后的斜坡多占的地面为米．【解析】【分析】先利用解直角三角形的方法求出，，再利用线段的和差求出即可。21．【答案】解：
原式=；∵，∴原式【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简，再求出a的值，最后将a的值代入计算即可。22．【答案】解：设
巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时由题意得：过点A作交其延长线于点D在中，，∴，∴在中，由勾股定理得：，解得(不合题意，舍去)
答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为1小时．【解析】【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意可得出∠ABC，AB=
6，BC=10x，AC=14x，过点A作 ADCB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出 CD=1
0x+3.在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可。23．【答案】（1）解：在Rt中，由勾股定理得，，当时，∴∽，∴，∴，
解得，∴时，；（2）解：当∽时，∴，∴，解得，∴时，∽；（3）解：当点M在上时，如图，设与交于点H，∵点M关于直线的对称点N，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，解得，当点M在上时，同理可得，则，∵，，∴，，∴，解得，综上：或时，为直角三角形．【解析】【分析】（1）由勾股定理求出AC=10，当时，可证∽，利用相似三角形的对应边成比例即可求解；（2）由题意可得CD=t，CM=14-2t， 当∽时， 利用相似三角形的对应边成比例即可求解；（3）分两种情况：①当点M在上时 ，② 当点M在上时 ，据此分别画出图形，由轴对称的性质知△DMN为等腰直角三角形，从而知点D为直角顶点，利用三角函数表示出MH，AH的长，继而求解.第 1 页 共 17 页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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