2.5 一元二次方程的根与系数的关系
1．了解一元二次方程的根与系数的关系．
2．利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．
阅读教材P49～50，完成下列问题：
(一)知识探究
如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝________，x1x2＝________.
(二)自学反馈
1．设方程x2－4x－1＝0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是( )
A．－4 B．－1
C．1 D．0
2．如果x1，x2是一元二次方程x2－6x－2＝0的两个实数根，那么x1＋x2的值是( )
A．－6 B．－2
C．6 D．2
3．设一元二次方程x2－7x＋3＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2＝________，x1x2＝________.
活动1 小组讨论
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积：
(1)x2＋7x＋6＝0; (2)2x2－3x－2＝0.
解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6.
Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25＞0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
x1＋x2＝－7，x1x2＝6.
(2)这里a＝2，b＝－3，c＝－2.
Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－2)＝9＋16＝25＞0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
x1＋x2＝，x1x2＝－1.
先将方程化为一般形式，找对a、b、c.
例2 已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．
解：设另一根为x，由根与系数的关系得
－3·x＝－，解得x＝.
又∵－3＋＝－，解得k＝3.
∴另一根是，k的值是3.
本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数关系解答．
活动2 跟踪训练
1．两根均为负数的一元二次方程是( )
A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0
C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝0
两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．
2．已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2)(x2－2)＝________.
3．利用根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：
(1)x2－3x＝15; (2)5x2－1＝4x2；
(3)x2－3x＋2＝10; (4)4x2－144＝0；
4．已知x1，x2是方程x2－4x＋2＝0的两根，求代数式＋的值．
活动3 课堂小结
1．一元二次方程的根与系数的关系．
2．一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件．
【预习导学】
(一)知识探究
－
(二)自学反馈
1．B 2.C 3.7 3
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2.－4 3.(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－15.(2)x1＋x2＝0，x1x2＝－1.(3)x1＋x2＝3，x1x2＝－8.(4)x1＋x2＝0，x1x2＝－36. 4.由根与系数的关系，得x1＋x2＝4，x1x2＝2.∴＋＝＝＝2.
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