4.7 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形的性质定理(一)
理解相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系，会运用它求相关线段的长．(重点)
阅读教材P106～107，自学“想一想”、“议一议”与“例1”，完成下列内容：
(一)知识探究
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于________．
(二)自学反馈
如图，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′.
(1)你能发现图中还有其他的相似三角形吗？
(2)△ABC与△A′B′C′的对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于________．
活动1 小组讨论
例 如图，AD是△ABC的高，AD＝h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当SR＝BC时，求DE的长，如果SR＝BC呢？
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，
∴SR∥BC.
∴∠ASR＝∠B，∠ARS＝∠C.
∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)．
∴＝(相似三角形对应高的比等于相似比)，
即＝.
当SR＝BC时，得＝.解得DE＝h.
当SR＝BC时，得＝.解得DE＝h.
活动2 跟踪训练
1．如果两个相似三角形对应中线的比为8∶9，则它们的相似比为( )
A．8∶9 B．9∶8
C．64∶81 D．2∶3
2．已知△ABC∽△DEF，且相似比为2∶3，则△ABC与△DEF的对应高之比为( )
A．2∶3 B．3∶2
C．4∶9 D．9∶4
3．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝5 m，点P到CD的距离是3 m，则点P到AB的距离是( )
A. m B. m
C. m D. m
4．如图，DE∥BC，则△________∽△________.若AD＝3，BD＝2，AF⊥BC，交DE于点G，则AG∶AF＝________∶________，△AGE∽△________，它们的相似比为________
5．若△ABC∽△A′B′C′，且AB＝2 cm，A′B′＝1cm，则它们对应角平分线的比为________．
6．若△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的高，AD∶A′D′＝3∶4，△A′B′C′的一条中线B′E′＝16 cm，则△ABC的中线BE＝________cm.
活动3 课堂小结
相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
【预习导学】
(一)知识探究
相似比
(二)自学反馈
(1)△ABD∽△A′B′D′，△ADC∽△A′D′C′. (2)k
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．A 2.A 3.C 4.ADE ABC 3 5 AFC 3∶5 5.3∶2
6．12
第2课时 相似三角形的性质定理(二)
理解相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，并会运用它解决相关问题．(重点)
阅读教材P109～110，自学“例2”，完成下列内容：
(一)知识探究
相似三角形的周长比等于________，面积比等于__________．
(二)自学反馈
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′.
(1)你能发现图中还有其他的相似三角形吗？
(2)△ABC与△A′B′C′中，＝________，＝________.
在运用相似三角形的性质时，要注意周长的比与面积的比之间的区别，不要混为一谈，另外面积的比等于相似比的平方，反过来相似比等于面积比的算术平方根．
活动1 小组讨论
例 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，已知BC＝2，求△ABC平移的距离．
解：根据题意，可知EG∥AB.
∴∠GEC＝∠B，∠EGC＝∠A.
∴△GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)．
∴＝()2＝(相似三角形的面积比等于相似比的平方)，
即＝.
∴EC2＝2.
∴EC＝.
∴BE＝BC－EC＝2－，
即△ABC平移的距离为2－.
活动2 跟踪训练
1．已知△ABC∽△A′B′C′，且＝，则S△ABC：S△A′B′C′＝( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶4 D．4∶1
2．已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1∶2，若BC＝1，则对应边EF的长是( )
A. B．2
C．3 D．4
3．设两个相似多边形的周长比是3∶4，它们的面积差为70，那么较小的多边形的面积是( )
A．80 B．90
C．100 D．120
4．若两个相似三角形的周长比为2∶3，则它们的面积比是________．
5．如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G，则△FGA与△BGC的面积之比是________．
6．已知△ABC∽△DEF，＝，△ABC的周长是12 cm，面积是30 cm2.
(1)求△DEF的周长；
(2)求△DEF的面积．
活动3 课堂小结
相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
【预习导学】
(一)知识探究
相似比 相似比的平方
(二)自学反馈
(1)△ABD∽△A′B′D′，△ADC∽△A′D′C′.(2)k k2
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2.A 3.B 4.4∶9 5.1∶4
6．(1)∵＝，∴△DEF的周长＝12×＝8(cm)．(2)∵＝，∴△DEF的面积＝30×()2＝13(cm2)．
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