第章x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,及满足什么条件时方程有两个不等的实根,有两个相等的实根和没有实根;
2.理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h(h是实数)图象交点的横坐标。
教学重点:
理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,及满足什么条件时方程有两个不等的实根,有两个相等的实根和没有实根
教学难点:
理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h(h是实数)图象交点的横坐标
二、教学过程
第一环节 课前5分钟
1 一元二次方程-5t2+40t=0的根为:
2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = 。
当△﹥0方程根的情况是:
当△=0时,方程根的情况是:
当△﹤0时,方程根的情况是:
3. 抛物线y = x2 + 2x - 4 的对称轴是_______, 开口方向是______,顶点坐标是___________.
4.抛物线y=2(x-2)(x-3)与x轴的交点为_______________,与y轴的交点为___________.
5.已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) 并经过点M(0,1), 则 此抛物线的解析式为_______________
第二环节 探索新知
1.我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t (s)的关系如图所示,那么
(1) 图象上每个点的横、纵坐标含义是什么?
(2) h和t的关系式是什么?
(3)小球经过多少秒后落地?
你有几种求解方法?与同伴进行交流.
2.分别求出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴的交点的坐标,并快速作出草图.
思路点拨: 与x轴交点就是求当 y=0 时这个方程的解, 然后写成点的坐标.
(1)观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象,每个图象与x 轴有几个交点?
(2) 一元二次方程x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗?
(3)说说二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
3.归纳整理:
a.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
1、 有两个交点,
2、 有一个交点,
3、 没有交点.
b.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
c.完成下列表格,观察二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根及一元二次方程的根的判别式有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac 有两个交点 有两个相异的实数根 b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac <0 4对应练习
1)若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3,则二次函数
y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是 。
2)抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是( )
A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点 D 画出图象后才能说明
3)抛物线y=x2-4x+4与X轴有 个交点,坐标是
4)在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm?你是如何知道的?
5)一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(m)可以用公式h=-4.9t2+19.6t 来表示.其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间.
(1)当t=1时,足球的高度是多少?
(2)t为何值时,h最大?
(3)经过多长时间球落地?
(4)方程-4.9t2+19.6t =0的根的实际意义是什么?你能在图上表示吗?
(5)方程14.7=-4.9t2+19.6t 的根的实际意义是什么?你能在图上表示吗?
解:(1)t=1时,h=14.7
(2)∵h=-4.9(t-2) 2+19.6 ∴当t=2时,h最大
(3)对于h=-4.9t2+19.6t 球落地表示h=0
即-4.9t2+19.6t=0,
解得t1=0(舍去),t2=4 .
即足球被踢出后经过4s后球落地.
(4)方法一:解方程 0=-4.9t2+19.6t 得t=0, t=4
根t=0,t=4分别表示足球离开地面和落地的时刻
方法二:直接观察抛物线与直线x轴的交点(0,0),(4,0)即可
图形表示方程的根就是抛物线与x轴的两个交点
(5)方法一:解方程 14.7=-4.9t2+19.6t 得t=1, t=3
方法二:图象法,过点(0,14.7)作一条与y轴垂直的直线,找到它与抛物线的交点,再分别过交点作x轴的垂线,找出两个垂足的横坐标即可。
表明球被踢出1秒和3秒时,离地面的高度都是14.7秒
6) 已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围为什么?
错解:由△=(-7)2-4×k×(-7)=49+28k>0,
得k>- .
正确解法:此函数为二次函数,∴k≠0,又与x轴有交点,
∴△=(-7)2-4×k×(-7)= 49+28k≥0,
得k≥- ,
故k≥- 且k≠0
点拨:①因为是二次函数,因而k≠0;
②有两个交点,但未点明为两个不同点,所以应为△≥0.
5 归纳小节
第二环节课后5分钟
1.抛物线y=-3(x-2)(x+5)与x轴的交点坐标为_____
2.抛物线y=x2-2x+3与x轴的交点个数为 个.
3.抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个交点,则m=______
4.二次函数y=kx2+3x-4的图象与x轴有两个交点,则k 的取值范围 .
5.若a>0,b>0,c>0,△>0,那么抛物线y=ax2+bx+c 经过 象限.
3
y=x-2x+2
y=x-2x+1
y=x+2x
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