数与代数
●数的认识
学习目标
1.在具体的情境中，回顾和整理小学阶段所学习的数：整数（包括自然数）、小数、分数，以及正数和负数等，沟通各种数之间的关系，构建数的认识的知识网络。
2.从现实生活中解决实际问题的需要和数学运算的需要两个不同的角度体会数的扩充过程，进一步体会数的作用，感受数系扩充的必要性，会用数来表示事物并进行交流。
编写说明
本节内容是对小学阶段学过的数的整体梳理和复习，教科书设计了四个问题引领学生整体回顾和梳理小学阶段学过的数，沟通各种数之间的关系，构建数的认识的知识网络，并从现实生活中解决实际问题的需要和数学运算的需要两个不同的角度体会数的扩充过程，感受数系扩充的必要性。
1.在小学阶段，我们学过哪些数？你能用自己的方式整理一下吗？
这个问题是让学生自己回顾整理小学阶段学过的各种数，并尝试运用图等方式构建知识网络。这个活动的重点是帮助学生沟通各种数之间的联系，构建关于数的知识体系，因为在头脑中将知识形成一定的结构更利于学生记忆和运用。教科书中呈现了一种用“图”整理的方式。需要说明的是：教科书呈现的这种整理方式是将数分成了整数和分数两个维度去展开整理的，在小学阶段由于学生没有学习无理数（除π以外），所以在有理数范畴内分数和小数是一致的，因此在图中用“分数（小数）”进行了表示。实际上，分数与小数是有区别的，分数都是有理数，而小数中，有限小数和无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，教师在描述时需要适当注意，但不需要在这个问题上与学生过多讨论。
2.可以用下图中的点表示学过的数，你还能表示出其他的数吗？试一试，与同伴交流。
数轴为学习数提供了一个直观的模型，数与形的结合，有利于学生理解数，并进一步沟通整数、分数、小数等数之间的联系，而且借助数轴还可以直观地进行数的大小比较。因此，教科书设计了让学生用数轴上的点表示学过的数的活动。需要说明的是，教科书中也没有出现数轴的名称，学生只要能用数轴上的点表示数，能认识数轴上的数即可，小学阶段也没有必要让学生记忆数轴的三要素（原点、方向和单位长度）。
3.看一看，说一说，读一读。
这个活动的目的是使学生回顾新数产生的过程，再次感受数的发展过程，感受数与现实世界的密切联系，使学生体会现实生活的需要是数的扩充的一个重要原因。这个活动也体现了总复习的作用，总复习不仅仅是对以前所学内容的简单回顾和整理，还需要从整体上重新将所学内容串起来，帮助学生在数学思想上加以提升。教科书呈现的是学生曾经经历过的一些熟悉的生活情境：第一幅，学生在用1，2，3，4，…表示苹果的个数，使学生认识到为了表示数量的多少，产生了1，2，3，4，…等正整数；第二幅，提出了如何表示“没有”的问题，也就是0的产生；第三幅，提出了如何表示“一个蛋糕平均分成4份后的一份”的问题，也就是需要引入分数；第四幅，提出了如何表示“零下2℃”的问题，也就是需要引入负数。然后，教科书呈现了“数的扩充（一）”，介绍了自然数、分数、负数等的产生，学生从中了解到现实生活的需要是扩充数的一个重要原因。
4.算一算，想一想，读一读。
这个活动是从运算的角度引导学生对“数”进行再认识，让学生体会数的运算的需要也是数的扩充的一个重要原因。这些内容实际上是对学生认识的提升，由于学生没有学习正负数运算等知识，这个内容可以不作为全班基本要求。教科书分别呈现了两组有规律的算式，让学生从算式中感知：为了满足运算的需要也是产生分数和负数的重要-因，从而拓展学生对分数和负数的认识，加深对分数、负数意义的理解，从而体会满足数运算的需要也是数的扩充的重要原因。教科书还呈现了“数的扩充（二）”进一步进行了解释和说明。
教学建议
1.在小学阶段，我们学过哪些数？你能用自己的方式整理一下吗？
教学时，要为学生提供充分整理、思考、交流的平台，建议先让学生独立思考、尝试整理，然后在小组内交流，最后在全班进行汇报。学生有困难的，也可以先让学生说说已经学过了哪些数，将这些数全部板书在黑板上，再让学生尝试整理、交流讨论。教科书只提供了一种知识整理的网络图，但学生的学习经验、理解和思考等不同，所以肯定会有不同的整理方式，教师要善于收集、展示好的学生作品，组织学生交流、讨论，让学生自己说说为什么这样整理，并说说数与数之间的关系，即使一些不够完善的整理方式，也要发掘其合理的成分。教师还可以鼓励学生对每一类数都举出一些例子，促进学生更好地理解。
这个活动的关键，一是要让学生自己尝试整理数的相关知识，并提高整理知识的能力；二是通过整理复习，引领学生更全面、更系统地回顾和掌握数的认识的内容。课后，教师还可以把学生用不同方式整理的数的知识体系，在班级进行展览和交流，让学生进一步互相学习、互相启发。
2.可以用下图中的点表示学过的数，你还能表示出其他的数吗？试一试，与同伴交流。
教学时，可以让学生看着书上的数轴说说可以表示什么数，再让学生自己尝试表示几个其他的数，最后结合数轴说说这些数之间的大小关系。还可以先让学生独立在一个数轴上尝试表示一些数，再组织学生交流讨论。
3.看一看，说一说，读一读。
教学时，可以先让学生讨论为什么需要自然数、分数、负数等这些不同的数，然后观察教科书中的情境，并读读“数的扩充（一）”这段话，在此基础上，鼓励学生根据情境说说数的产生、发展过程，感受引入分数、负数的必要性，体会数的扩充过程，感受数系扩充的必要。同时，还可以让学生结合生活举出一些具体的例子，进一步说一说各种数在生活中的应用。
4.算一算，想一想，读一读。
教学时，教师可以让学生观察这些算式，说说结果是多少，再结合算式想一想为什么需要有分数、负数，并组织学生交流自己的想法。在此基础上，可以再让学生读一读“数的扩充（二）”，感受数系扩充的必要。
（一）整数
学习目标
1.进一步理解整数的意义、表示方法等知识，回顾总结整数比较大小的方法，在估计大数、刻画数之间的相对大小关系等活动中，发展数感。
2.回顾整理有关因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数等概念，巩固求公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的方法。
回顾与交流
编写说明
本节内容是对“整数”内容的整理和回顾，主要是帮助学生对整数的意义、数的表示、比较大小、0的再认识、实际应用等有个全面认识，使学到的知识更加系统，并能综合运用所学内容。
1.下面的信息中有哪些数，你知道它们的具体意义吗？与同伴交流一下。
本问题的目的是帮助学生全面梳理整数的意义：基数（表示物体的个数）、序数（表示顺序）、测量的结果、编码。教科书呈现了生活中的一些信息，这些信息不仅体现了数的应用，而且也体现了正整数的不同意义。教科书提出了让学生思考和讨论的问题：“下面信息中有哪些数，你知道它们的具体含义吗？”目的是让学生进一步理解这些数的具体意义。对于整数的意义，不要求学生抽象地讲，学生能结合具体数说明即可，比如“11个省、市、自治区”中的11表示省、市、自治区的个数。
2.你能用尽可能多的方式表示1243吗？
本问题是让学生用多种方式表示1243这个数，目的是帮助学生回顾和整理所学过的表示整数的各种方式，如：计数器、计数单位的直观模型（方块模型）、数等，从多角度再次理解十进制计数法和计数单位。教科书呈现了三种表示方式。
3.举例说明怎样比较两个多位数的大小。
复习比较整数大小的方法。比较多位数大小的方法，一般是先比较位数，如四位数比三位数大，三位数比两位数大。位数相同的先比最高位，再一位一位往下比。教科书安排了让学生举例说明的活动，有利于学生用自己的语言表达比较数的大小的方法。
4.在小学阶段，你在哪些地方用到过0？说一说你对0的认识。
本问题是总结梳理对0的认识。教科书按照所学内容的顺序，呈现了“0”的四种意义，从“0可以表示‘没有’”“0可以表示‘起点’”“0可以用来‘占位’”“0可以表示‘分界’”等各个方面，对“0”进行全面系统的再认识。
5.关于倍数和因数，我们学习了哪些内容？请你整理一下。
本问题是让学生整理倍数和因数的相关知识。教科书设计了让学生自己整理相关知识的活动，整理的方法不是唯一的，目的是让学生通过梳理形成自己的知识体系。对于这部分内容，在复习时应注意遵照课程标准的要求，如这部分内容教学时没有给出整除的概念和短除法，学生求公因数、公倍数等利用的是它们的含义和列举的方法，复习时不要随意增加内容，不要拔高要求。
6.举两个不同的例子，向同学解释1万有多大、1亿有多大。
本问题是让学生从两个不同的角度解释1万有多大，1亿有多大，目的是帮助学生感受大数的含义，进一步发展学生的数感。
教学建议
1.下面的信息中有哪些数，你知道它们的具体意义吗？与同伴交流一下。
教学时，教师可以先让学生阅读这些信息，体会这些数的意义，再组织学生充分交流。教师还让学生自己收集一些关于整数的学习材料，让学生在现实、生动的情境中去回顾与整理小学阶段学过的各种数，联系实际来体会它们所表示的意义，在数学活动中进一步发展数感。
2.你能用尽可能多的方式表示1243吗？
教学时，教师要引导学生用不同方式，用尽可能多的方式表示1243，教科书只提供了三种，学生可以根据对十进制的理解用自己的方式表示数，只要合理都应给予肯定。比如，1243=1100+110+33。如果能这样表示1243，就能很快算出1243÷11=113。
3.举例说明怎样比较两个多位数的大小。
提出问题后，建议先让每一个学生自己举两个例子说明比较两个多位数大小的方法，然后再组织小组交流、全班交流。教师应注意引导学生举例的普遍性，如：数位不同怎样比较，数位相同怎样比较，引导学生用自己的语言表达清楚多位数比较大小的一般方法。
4.在小学阶段，你在哪些地方用到过0？说一说你对0的认识。
教学时，可以自己先说说“0”的意义，并尝试举例说明。在此基础上，教师可以进一步拓展关于“0”的知识，如：还可以引导学生从运算的角度认识“0”，如：0加上任何数都等于任何数；0和任何数相乘都得0；0不能做除数等。教师还可以向学生介绍“0”的发展历史。
5.关于倍数和因数，我们学习了哪些内容？请你整理一下。
本部分知识涉及内容比较多，如倍数、因数、质数、合数、奇数、偶数、2，3和5的倍数特征、公倍数和最小公倍数、公因数与最大公因数等。教学时，教师可以引导学生先说说这些倍数和因数的相关内容，再尝试用图等方式表示这些知识之间的联系。然后，再让学生结合自己整理的结构图说说对相关知识的理解，并鼓励学生提出自己的疑问。
6.举两个不同的例子，向同伴解释1万有多大、1亿有多大。
教学时，可直接让学生结合自己的感受，谈自己对1万、1亿有多大的认识，以充分展示学生对大数的理解，并复习利用身边熟悉的事物体会大数意义的方法。学生可以从多种角度对1万、1亿加以解释，只要学生的解释合理就可以。如：我们学校大约有2000人，1万人就是有5个我们学校这么多的人数等。虽然是复习，教师也可以根据学生的实际情况，设计一些体会大数的活动，帮助学生进一步发展数感。
巩固与应用
第1题
可以鼓励学生独立写数，再交流是怎么想的，进一步体验表示数的多种方法和理解十进制。
答案：12064，3010，408。
第2题
鼓励学生独立完成，然后进行交流。对于比较大小，学生可能选择不同的策略：直接比较大小；改写以后再比较。交流时，可以引导学生说说自己是如何读写数和比较大小的，也可以说说需要注意的地方。
答案：
2011年我国在校生情况（节选） 指标 在校生/人 在校生/万人 研究生 一百六十四万五千八百 1645800 164.58 普通高等教育 二千三百零八万五千一百 23085100 2308.51 中等职业教育 二千二百零五万三千三百 22053300 2205.33 普通高中 二千四百五十四万八千二百 24548200 2454.82 初中 五千零六十六万八千 50668000 5066.8 普通小学 九千九百二十六万三千七百 99263700 9926.37 99263700>50668000>24548200>23085100>22053300>1645800。
第3题
借助“小红家五月份收支情况”这一具体情境复习正负数的意义。练习时让学生独立完成，计算结余虽然是问号题（在小学阶段不要求负数的运算），但教师应鼓励学生借助经验尝试进行解决。
答案：（1）
日期 收支情况 结余/元 4日 +3000 3000 10日 -1180 1820 12日 -60 1760 15日 +2800 4560 18日 -150 4410 20日 -350 4060 25日 +200 4260 28日 -430 3830 31日 -2680 1150 （2）3000-1180-60+2800-150-350+200-430-2680=1150（元）。
第4题
学生估计的方法可能是不同的，一般的，可以将要估计的东西分成基本相等的几份，通过数一份的数量从而对总数进行估计。学生的方法只要合理，数目接近120就可以。
第5题
学生独立完成，再交流。
答案：（1）千万，9，43010万；
（2）10000，9999，1000。
（3）2，3，5，7；4，6，8，9，10。
（4）5，35。
第6题
学生独立完成，再交流。
答案：（1）72，52；75，57，72，27；75，25。
（2）75。
（3）752，257。
第7题
本题既复习了公因数、公倍数等内容，又使学生进一步体会集合的思想。在填3和5的公倍数的时候，注意是有范围的（32以内）。可以让学生说一说为什么要设定范围，体会公倍数的个数是无限的。
答案：
第8题
这是一个很有意义的实践活动，学生在给自己图书分类编码的过程中，将体会编码给人们生活带来的方便，体会数与生活的密切联系。建议提前把这个任务布置给学生，学生有了一定想法后集体交流。可以把自己的编码过程记录下来，可写编码前的思考，编码过程中遇到的一些困难，编码后的感受等。
（二）小数、分数、百分数
学习目标
1.复习整理小数、分数、百分数的意义等，会用多种方式解释分数，进一步梳理整数、小数的数位顺序表及相关知识，进一步理解十进制计数法。
2.进一步理清小数、分数、百分数之间的关系，理清分数与除法、商不变性质与分数基本性质之间的关系，完善知识网络。
回顾与交流
编写说明
本节内容是对小数、分数、百分数相关知识的整理与复习，教科书从数的意义、相互联系、十进制计数法等角度设计了几个问题和活动，引导学生回顾梳理相关知识，建构数的知识的整体结构。
1.用尽可能多的方式解释“”的含义。
本问题是让学生用多种方式解释的含义，进一步使学生从多种角度体会分数的意义，并且在这个过程中，自然地把分数、除法的关系巧妙地联系起来。教科书呈现了4种方式：方式1是用实际问题解释分数的意义；方式2是用图表示分数的意义；方式3表示了分数与除法的关系。方式4用“4m的长度为单位，3m的长为4m的”，“”等。
2.结合具体的例子说一说。
本问题的目的是使学生回顾小数、分数、百分数、除法等之间的关系，建构知识联系。
（1）小数、分数、百分数之间的关系。首先，小数、分数、百分数是形式的不同，如0.2，，20%是同一个数的不同形式，因为它们在数轴上都表示同一个点，因此小数、分数和百分数之间可以互相转化。同一个数有不同的形式，主要是因为它在不同的场合有不同的意义，不同的意义需要用不同的形式来区别。其次，从意义上分析它们之间的区别与联系，小数的意义与分数的意义的本质是一致的，有限小数是十进分数的另一种形式，即分母是10，100，1000，…的小数都可以用分数表示。分数的意义可以从多个方面理解，如表示整体与部分的关系、两个量之间的倍比关系等，百分数是表示一个数是另一个数的百分之几。分数既可以表示一个具体的量（即可以加计量单位），也可以表示两个量的关系；而百分数只能表示两个量之间的关系，即表示一个量是另一个量的百分之几，即不能带上计量单位来表示具体的量。
（2）分数、除法之间的关系：可以举例说明，如。分数与除法比较，分数的分子相当于除法中的被除数，分数的分母相当于除法中的除数。除法是一种运算；分数是一种数，既可以表示具体数量，又可以表示两个量之间的关系。
（3）商不变的规律与分数基本性质的关系：有了上述除法和分数之间的关系，商不变的规律与分数基本性质的关系就清楚了，它们所叙述的规律其实质是一致的。
3.想一想，填一填。
目的是复习十进制计数法，进一步理解数级、数位和计数单位之间的对应关系。整数与小数的计数方法是一致的，相邻两个计数单位的进率都是“十”，小数的计数方法是整数的扩展。小数中的小数点的作用是确定小数的个位上的数。所以，在一个整数末尾补零，必须先在整数末尾添上小数点后再补零。对这部分内容进行回顾和整理，主要是让学生再次体验数位顺序表的逐步扩充过程；通过让学生填写数位顺序表，让他们再次感受数级、数位和计数单位之间的对应关系；在整理了数位顺序表之后，通过对整数和小数相邻单位之间进率的回忆和整理，从而加深理解位值原理，进一步体会十进制计数法。
教学建议
1.用尽可能多的方式解释“”的含义。
教学时，教师可以先直接提出问题：“请你用尽可能多的方式解释‘’的含义”，用学习任务驱动起学生已有的经验，教师要注意收集、了解学生不同的解释方式，在独立思考、全班交流的过程中，进一步理解分数的意义，并进一步体会分数与除法、比的联系。还可以这样启发，先用“看到你想到了什么”来激发学生的思考，交流中完善“”的含义的理解。
2.结合具体的例子说一说。
教学时，对于这些关系，学生只要能借助具体例子，用自己的语言说清上述这些关系即可，不需要学生抽象地背诵。对于“小数、分数、百分数”的关系，教师可以先让学生写三个数值相等的数，如0.2，，20%，然后让学生结合这三个数说说小数、分数、百分数的联系与区别。教师还可以让学生结合数轴体会，发现在数轴上这三个数可以用同一个点表示。对于（2）（3）两个问题可以一起复习讨论，可以让学生想一想“分数与除法”的关系，再写出一组算式，如，进行解释说明，说明两者之间的关系，说明商不变规律和分数基本性质之间的关系等。除了形式上的说明，“分子相当于被除数，分母相当于除数”，还可以结合实例来说关系，如把3个苹果平均分给4个人，根据除法的意义可以列出除法算式“3÷4”，同时根据分数的意义，可以得到结果是每人分到个等，增进学生的理解。
3.想一想，填一填。
教学时，可先让学生自己填写数位顺序表，再让学生说说有什么发现，引导学生回顾数级、数位、计数单位等知识，还可以让学生写几个数，如3215.68，说说每个数字分别在什么数位上，表示的是多少，在上述交流的基础上，再总结十进制计数法等知识，使学生在头脑中建构起完整的计数系统。
巩固与应用
第1题
本题的目的是利用现实生活中的数据，复习百分数的意义。主要是让学生根据具体的例子，用自己的语言说出数据的具体意义。如其中工业用水占24.0%，可以这样解释：可以把全国总用水量看成100份，工业用水就是其中的24份。可以先让学生读一读教科书中给出的资料，解释其中各个数据的具体意义，最后可以让学生谈一谈自己读后的感想，进行节约资源、保护环境的教育。
第2题
目的是学生通过自己的实践活动，再次复习分数、小数、百分数的意义，体会分数、小数、百分数在生活中的应用。可以事先布置学生收集，课堂组织交流，也可以引导学生绘制成数学小报进行展览。
第3题
进一步复习分数的意义。答案：，；，；，；，。
第4题
进一步复习分数的意义，答案不唯一。
第5题
复习分数、小数、百分数之间的互化以及比较大小。
答案：>，>，=，>；=，<，=，=。
●数的运算
（一）运算的意义
学习目标
1.结合具体情境，回顾梳理四则运算的意义，进一步理解四则运算在现实生活中的应用。
2.通过举例说明，进一步体会加与减、乘与除的互逆关系。
回顾与交流
编写说明
本节内容是对四则运算意义的回顾和梳理。运算意义是运用运算解决实际问题的基础，教科书十分注重对四则运算意义的理解。对于这部分内容的复习，教科书主要是从两方面进行的：第一，结合具体问题情境，在解决实际问题的过程中，复习四则运算的意义；第二，收集生活中使用四则运算的例子。课程标准和教科书中都淡化了应用题类型，强调对问题实际意义和四则运算意义等的真正理解，鼓励学生通过实际操作、思考讨论，寻找问题中所隐含的数量关系，结合四则运算的意义，探索解决问题的策略。教科书另外还设计了两个问题引导学生回顾整理加减法、乘除法之间的关系，以及四则运算中各个部分之间的关系。
1.庆祝“六一”。你能提出哪些数学问题？在解决问题的过程中，你用了哪些运算？
结合具体情境复习四则运算的意义。研究表明，当运算与所代表的情境相联系时，学生能够获得对运算意义的更好的理解。因此，教科书创设了“庆祝六一”的情境，鼓励学生利用对话中的数学信息，结合具体的情境提出一些数学问题，并解决这些问题。在解决的过程中，通过总结运用了哪些运算，让学生重新体验各种运算的实际意义。
2.举例说明生活中哪些地方会用到乘法运算。其他运算呢？
加法、减法、乘法、除法每一种运算都有不同的模型和意义，如：加法可以作为合并、移入、增加、继续往前数等的模型；减法可以作为剩余、比较、往回数、减少或加法逆运算等模型；乘法可以作为相同数的和、面积计算、倍数（包括几分之几）等的模型；除法可以作为平均分配、两个量的比或乘法逆运算等的模型。教科书通过引领学生回顾在小学阶段学习过的运算，并举例说明在哪些地方还会用到这些运算，让学生在集体交流的过程中，寻找所学过运算的原型，系统地梳理每一种运算的意义，促进知识体系的形成。教科书以乘法为例，提供了乘法运算的一些原型，加法、减法、除法运算需要学生自己回顾和整理。
3.举例说明加减法之间有什么关系。乘除法呢？
本问题的目的是让学生通过举例说明，回顾并进一步理解加法与减法、乘法与除法的互逆关系。对于小学生来说，不要简单地用“减法是加法的逆运算”或“加法与减法互为逆运算”这样的结论让学生记忆，关键是让学生结合算式来说明运算之间的关系，如3+6.8=9.8，9.8-6.8=3；12÷3=4，4×3=12等。学会举出例子也是需要发展的能力，而且更有利于学生的理解。
4.举例说明加法算式各部分之间有什么关系。减法、乘法、除法呢？
本问题是帮助学生梳理每种运算中各个部分之间的关系，作为拓展问题，不作为全班学生的基本要求。在小学阶段，教科书没有正式归纳每种运算各个部分之间的关系，如“加数+加数=和，和-一个加数=另一个加数”等，但在最后总复习中作为讨论的问题，目的是使学生对四则运算有更深刻的认识。
教学建议
1.庆祝“六一”。你能提出哪些数学问题？在解决问题的过程中，你用了哪些运算？
教学时，可直接给出情境，让学生根据信息自由提问，并独立解决，同时引导学生思考：你使用了哪些运算，是怎么想的。也可以先回顾小学阶段学过的运算，举例说明某种运算的意义，在交流中，教师引领学生适时总结、归纳、概括所学过的运算的意义，然后再走进教科书，通过提问题，进一步理解各种运算的意义。在第一个场景中，学生可以提出“两位同学一共折了多少只纸鹤”“装饰教室还需要折多少只纸鹤”的问题，并运用加法和减法加以解决。在第二个场景中，学生可以提出“一共需要多少钱”的问题，并运用乘法加以解决。在第三个场景中，学生可以提出“扎礼品盒、蝴蝶结分别需要用多少米彩带”的问题， 并运用乘法加以解决。在第四个场景中，学生可以提出“每个小组有多少人”的问题，并运用除法加以解决。
2.举例说明生活中哪些地方会用到乘法运算。其他运算呢？
教学时，教师要注意引导学生尽可能从不同角度列举运用四则运算的例子，并结合原型谈谈何时运用何种运算，促进对每一种运算意义的理解，并为运用运算意义解决问题奠定基础。对于运算的多种不同的模型，学生只要能运用自己的语言进行描述即可，不要机械地背诵。
3.举例说明加减法之间有什么关系。乘除法呢？
教学时，应给学生独立思考的时间和空间，让学生自己回顾并尝试举出一些例子，然后在全班进行交流。学生可以直接举出算式的例子，如7+8=15，15-7=8；48÷4=12，4×12=48；10÷4=2.5，2.5×4=10等。教师还可以利用教科书提供的实际问题，使学生再次感受加法与减法、乘法与除法之间的互逆关系。比如，“48个学生做游戏分成4个小组，每个小组多少人”用除法，而“每个小组有12个人，4个小组共有多少个学生”用乘法。
4.举例说明加法算式各部分之间有什么关系。减法、乘法、除法呢？
教学时，建议先让学生分别写出加法、减法、乘法、除法算式各一个，然后说说每个算式中各部分的名称，再说说每种运算中各部分之间的关系，在学生充分举例交流的基础上，可以引导学生借助实例进行适当归纳。如：加数+加数=和，和-一个加数=另一个加数；被减数-减数=差，被减数-差=减数，减数+差=被减数；乘数×乘数=积，积÷一个乘数=另一个乘数；被除数÷除数=商，被除数÷商=除数，除数×商=被除数或除数×商+余数=被除数等。当然，对于这些结论不要求学生背诵，主要是让学生能结合具体的算式说出各部分关系即可。
巩固与应用
第1题
在提出问题、解决问题的过程中巩固四则运算的意义。答案如下：
（1）
2014年第17届亚运会奖牌榜 枚
排名 代表团 金牌 银牌 铜牌 总数 1 中国 151 108 83 342 2 韩国 79 71 84 234 3 日本 47 76 77 200 （2）鼓励学生提出数学问题，结合提出问题、解决问题，进一步让学生说说所运用的运算的意义。
第2题
在解决问题的过程中巩固四则运算的意义。可以让学生说说题中的数量关系，再说说用什么运算解决问题，是怎么想的。
答案：（1）0.7×12=8.4（元）；
（2）43.2÷7.2=6（分）；
（3）5.4÷27=0.2（元）。
第3题
在解决问题的过程中巩固四则运算的意义。应使学生明确题目中的数量关系，并鼓励学生说一说解决问题的过程，说说是怎么想的。
答案：（1）120+60=180（本），180×3=540（本）；
（2）180÷120=1.5；
（3）540÷5=108（本）。
第4题
本问题是鼓励学生根据算式来想可以解决的实际问题，目的是鼓励学生找生活中的原型与相应的运算对应，进一步促进理解各种运算的意义以及与解决问题的结合。由于有前面学习的基础，可以放手让学生自己想，交流时应注意尽可能呈现学生从不同角度列举的例子。
（二）计算与应用
学习目标
1.回顾和整理整数、小数、分数的加法、减法、乘法、除法的计算方法及相应的算理，能正确进行相应的计算，并通过比较沟通这些计算方法之间的联系。
2.复习四则混合运算的运算顺序，能正确进行简单的四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。
3.再次经历解决实际问题的过程，复习解决问题的一般过程和方法，提高分析数量关系的能力，能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。
回顾与交流
编写说明
数的运算在整个小学阶段的学习中占有相当大的比重，计算与应用是人们在日常生活中应用最多的数学内容之一，因此它历来是小学数学课程的基本内容，培养小学生的计算能力和解决问题的能力也一直是小学数学教学的主要目标之一。为了使学生从整体上把握数的运算的内容，教科书把整数、小数和分数的运算融合在一起，进行回顾和整理。同时，教科书也将数的运算与解决实际问题结合起来，注重数学与现实的联系，使学生在现实情境中复习和巩固有关数学知识，进一步提高学生运用四则运算解决简单实际问题的能力。
教科书分别从四则运算的方法、四则混合运算、整理自己计算中容易出错的地方、运用计算解决实际问题的过程等方面设计了六个问题或活动，引导学生对这部分内容进行回顾与反思。教科书在引领学生回顾这部分内容时，注重让学生体验计算在日常生活中的广泛应用，注重培养学生基本的计算技能，注重在计算中发展学生的思维能力，注重解决简单实际问题能力的培养，更注重学生回顾和反思能力的提高。
1.（1）你是怎样计算“15×13”的？你能在右图中圈一圈，说明这样计算的道理吗？（2）下面各题怎样计算？想办法说明计算的道理。
目的是让学生通过结合直观模型、举例等多种方式回顾并进一步理解加法与减法、乘法与除法的计算方法及其算理，即进一步让学生明确“怎样算”以及“为什么可以这样算”。其中，第（1）个小问题是让学生在“点子图”上圈一圈说明“15×13”的算理，可以有多种圈法：如先算15×3（3个15），再算15×10（10个15），再加起来（13个15）；又如可以先算13×5（5个13），再算13×10（10个13），再加起来（15个13）；还可以用其他的不同圈法、算法。第（2）小题继续让学生说算法和算理，发展基本运算能力。要求学生先说明自己的算法，再结合自己的算法解释算理，学生可以用小棒、计数器、画图、人民币模型、长度单位模型等多种方式解释，进一步理解“相同计数单位上的数相加减”（位值制）、“满十进一”（十进制）等算理。
2.算一算，再说说整数、小数和分数加减法的计算方法有什么共同点。
目的是沟通整数、小数和分数加减法的计算方法之间的联系，让学生进一步体会，尽管这些运算的算法有所不同，如整数加减法的竖式计算强调“个位对齐”，小数加减法的竖式计算强调“小数点对齐”，异分母分数加减法强调“先通分，再计算”，其实这些运算的本质是一致的“都是相同计数单位的数相加减”。
3.算一算，再说说小数乘除法与整数乘除法的计算方法有什么联系。
目的是复习沟通整数乘除法与小数乘除法的计算方法之间的联系，实际上小数乘除法的计算方法与整数乘除法的计算方法是一致的，即计算前先转化，再按整数乘除法进行计算。小数乘法是直接先按整数乘法的计算方法计算，再根据两个乘数中有几位小数，处理积的小数位数。小数除法中，除数是整数的直接按整数除法进行计算，只要根据被除数处理商的小数点位置即可，而除数是小数的，先将除数转化为整数（除数和被除数同时扩大），再按除数是整数的除法计算。
4.算一算，说一说。
复习四则混合运算的运算顺序，即：只有加减法或只有乘除法的，按从左往右的顺序进行计算；既有加减法，又有乘除法的，按“先乘除，后加减”的顺序进行计算；有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。有中括号的，要先算小括号里的，再算中括号里的，最后算中括号外面的。
5.整理自己经常做错的题目，说一说计算中应该注意的地方。
让学生对自己以往学习中经常出错的题目进行整理和回顾，明确计算中应注意的问题。计算的复习要特别注重学生的实际情况，教师要做“有心人”，平时注意收集学生的错题，分析自己班学生错误的主要类型及主要原因，复习时有针对性地设计一些练习。同时，也要引导学生自己整理自己的错题，分析、反思，提高学生自我反思的能力。
6.（1）先画图理解题意，再解决问题。（2）与同伴交流你是如何解决实际问题的。
目的是帮助学生梳理解决问题的一般过程，复习一些解决问题的基本策略，提高学生分析数量关系的能力。对于可以直接利用运算意义加以解决的实际问题已经在前面运算的意义中复习过，这里主要解决数量关系相对复杂一些、往往需要用多步计算解决的问题的复习，包括运用整数、小数、分数、百分数计算的解决问题。对于用方程解决问题的复习，安排在后面“式与方程”的内容中进行。“画图”是解决问题的重要策略，本套教科书一直重视引导学生利用“画图”帮助解决问题，教科书中第一个问题，是让学生先“画图”分析数量关系，再尝试解决问题。第二个问题是让学生回顾梳理解决问题的一般过程，即“读题、审题” —“分析数量关系”—“选择解题方法，列式计算”—“检验、反思”的基本过程。
教学建议
1.（1）你是怎样计算“15×13”的？你能在右图中圈一圈，说明这样计算的道理吗？（2）下面各题怎样计算？想办法说明计算的道理。
教学时，第（1）小题要让学生先想一想、圈一圈，再结合自己的算法和“点子图”说明算法、算理。第（2）小题，要先让学生用自己的方法算一算，即根据运算法则与运算律进行正确的运算，然后再结合具体的计算过程说明算法、算理。关键要说明每一个计算步骤的根据或理由，同一道计算题算法多样，算法不同，所根据的算理也可能不同，说算理时教师要注意引导学生用小棒、计数器、画图、人民币模型、长度单位模型等多种方式解释，进一步理解“相同计数单位上的数相加减”（位值制）、“满十进一”（十进制）等算理。需要注意的是，学生只要能运用自己的语言说出计算的方法和计算的道理就可以了，不要求叙述统一。
2.算一算，再说说整数、小数和分数加减法的计算方法有什么共同点。
教学时，先让学生独立算一算，并想一想算法、算理，再组织交流是“怎样算的”以及“为什么这样算”，最后引导学生思考这些计算方法之间的共同点，沟通算法之间的联系，其实这些运算的本质是一致的——“都是相同计数单位的数相加减”，体会数学本质，减少记忆容量。
3.算一算，再说说小数乘除法与整数乘除法的计算方法有什么联系。
教学时，先让学生算一算，并想一想“小数乘除法的计算方法与整数乘除法的计算方法”有什么联系。再组织交流，交流时，要让学生结合算式来说明“小数乘除法的计算方法与整数乘除法的计算方法是一致的，即计算前先转化，再按整数乘除法进行计算”。讨论后，还可以让每一个学生再举一个其他的例子说明“转化”的过程。
4.算一算，说一说。
复习四则混合运算的运算顺序，即：只有加减法或只有乘除法的，按从左往右的顺序进行计算；既有加减法，又有乘除法的，按“先乘除，后加减”的顺序进行计算；有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。有中括号的，要先算小括号里的，再算中括号里的，最后算中括号外面的。教学时，可以先让学生说说四则混合运算的运算顺序，然后让学生独立计算，教师注意收集学生的典型错误组织交流讨论。
5.整理自己经常做错的题目，说一说计算中应该注意的地方。
教学时，可以先让学生课前整理、思考，课堂上在小组内交流各自的错误，并整理出错误的类型，最后在全班交流。教师应鼓励学生说说自己出错的原因和计算中需要注意的地方，也可以鼓励学生自己出一些题目来了解目前是否已经掌握了相关的知识。教师要注意了解学生的学习方法，如果有学生平时就有做“错题集”的习惯，教师可以组织学生交流。
6.（1）先画图理解题意，再解决问题。（2）与同伴交流你是如何解决实际问题的。
教学时，可以先让学生“画图”并分析第（1）小题中的数量关系，并组织学生交流。在此基础上，引导学生回顾交流解决问题的一般过程，以及每一步需要注意的问题。
学会分析问题情境中蕴含的数量关系，运用计算解决实际问题，提高分析和解决问题的能力是数学学习的重要目标。在回顾这部分内容时，教师还应利用后面的习题或者适当补充一些实际问题，也可以鼓励学生自己寻找或提出实际问题，鼓励学生经历从实际问题中抽象出数量关系，并运用所学知识加以解决的过程。在解决问题的过程中，引导学生根据所求的问题和情境中的条件，运用图、表格等多种形式分析数量关系；要引导学生根据运算的意义，将问题情境中的数量关系表达出来，建立数学模型；要鼓励学生向别人解释自己所列模型的实际意义；鼓励学生自己总结一些解决问题的例子和解决问题的策略。
巩固与应用
在这部分内容的练习中，首先应注重将计算与应用结合起来，鼓励学生运用所学计算解决实际问题，并在此过程中巩固基本的计算技能。其次，对于计算问题，应按照标准的要求，避免繁杂的计算；注重针对学生的错误，开展有针对性的联系；注重开展形式多样的练习，在练习过程中发展学生的思维能力。对于解决问题的巩固，应避免对应用题进行机械的程式化训练，要鼓励学生多交流解决问题的策略。
第1题
本题是计算方法及其算理的复习。第（1）小题是让学生结合直观模型解释整数除法的算理，可以先让学生圈一圈，再算一算，说一说；第（2）小题是结合竖式计算的过程解释小数除法的算理。
答案：368÷2=184。0.1；0.1。
第2题
本题练习时，可以先让学生寻找算式中的错误，并分析错误的原因，再改正。组织交流时，注意引导学生小结笔算加、减、乘、除中需要注意的事项。
答案：3.62-2.7=0.92，83.6÷4=20.9，72×38=2736。
第3题
让学生独立计算，教师注意收集学生不同的算法或典型的错误，组织交流。
答案：3.21，0.75，104，，1.2；
9.5，3.93，10，12，。
第4题
让学生先独立计算，再组织交流，可以选取其中的一些典型题目让学生说说运算顺序。另外，由于计算步骤多，学生容易出错，教师注意收集学生出现的典型错误，提醒学生进行四则混合运算时需要注意的地方。
答案：5.75，2.68，29；
，，；
14，，48。
第5题
本题要关注学生能否看懂这张电表读数记录表，然后再回答下面的3个问题，其中第（2）个问题计算用电总量时有两种计算方法。第一种方法，可以把第一问5个月的用电度数相加，也可以用电表读数记录中的第6个月和第1个月的度数相减。
答案：（1）19，19，19，24，35；
（2）（19×3+24+35）÷5=23.2（千瓦时）或（380-264）÷5=23.2（千瓦时）；
（3）0.5×23.2=11.6（元）。
第6题
本题蕴含着“三角形两边之和大于第三边”的知识，学生独立分析数量关系解决问题后，可以引导学生体会。
答案：（10+14）÷2=12（千米/时），
21÷12=1.75（时），
2-1.75=0.25（时）。
第7题
在回答最后一个问题时，要根据问题情境具体分析进行回答，因为买7本《儿童歌谣》还剩下2.2元，已经不够再买1本，所以，只能买7本。
答案：（1）4.8×20+6.2×15=189（元）；
（2）50-6.2×5=19（元），19÷2.4=7（本）……2.2（元），只能买7本。
第8题
本题是关于大数的估计，教师应鼓励学生回顾估计的策略，其中非常重要的是：将整体分成几个差不多的几块，估计每一块的数，再估计出整体的数。
答案：估计每个方阵的人数都是64，估计出8个方阵的运动员大约是500人。
第9题
本题是一个综合性较强的问题。
（1）关于每批人数怎样安排的问题，鼓励学生设计安排的策略，全班进行交流。学生可能会用以下的策略：如果各年级的师生人数按从小到大的顺序排列，把最多的人数与最少的人数安排在一起，即五年级与一年级一起去；把人数次多的与次少的安排在一起，即六年级与二年级一起去；最后三、四年级安排在一起去，可以一次搭配成功。
（2）设计派车方案时，可以按照第（1）题的安排，学生只要选择其中一批进行计算，学生设计的方案只要合理都应鼓励。
第10题
答案：（1）篮球76.8元，排球67.2元，足球57.6元，乒乓板9.6元，羽毛球2.4元，羽毛球拍32元。
（2）此问题解决方法多样，可以分别先计算出所买商品的原价和与打折后的价钱和，再求出一共便宜多少钱；也可以分别计算每一种商品单件各便宜多少钱，再算出买这些商品一共比打折前便宜多少钱。结果是52元。
第11题
主要是让学生根据实际问题情境处理运算结果，得出合理的答案，100÷3.5=28（辆）……2（元），即买28辆还多2元，2元不够再买1辆，所以只能买28辆。
第12题
学生可以有不同的思考问题的方法，引导学生独立思考后交流。可以先算出单价，也可以先算出2.2kg里有几个500g。
答案：98÷0.5×2.2=431.2（元）或2.2÷0.5×98=431.2（元）
第13题
答案：（1）注意计算车费要考虑双程。25×2+25÷2=62.5（元），62.5×2=125（元）；（2）480÷3×2=320（元）。
第14题
建议引导学生先“画图”分析数量关系，再解答。
答案：。
第15题
关注学生能否理清解决问题的思路，即先求出分别攒了多少个1角和5角的硬币，再计算攒了多少元。
答案：，60×1+40×5=260（角）=26（元）。
第16题
通过本题的计算，让学生了解一些生活中的常识，同时据此整理自己的学习用品。
答案：40×15%=6（kg）。
第17题
本题的关键是结合本题情境理解“增长率”，即“增加的产量÷2011年的产量=增长率”。
答案：5，16.7，3。
第18题
答案：3000×3.14%×3+3000=3282.6（元）。
（三）估算
学习目标
1.在回顾交流中，总结估算的方法，能用估算把握运算结果的范围或用估算解决实际问题，进一步体会估算的作用。
2.在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法进行估算，并解释估算的过程，逐步养成估算的习惯。
回顾与交流
编写说明
在日常生活中，估计的运用是非常普遍的。有学者将估计的形式分为了三种：对数量的估计（大约有多少，有人称之为估数），对测量的估计（即我们所说的估测）和对计算的估计（即我们所说的估算），本内容复习的是估算。
估算在日常生活中有着广泛的应用，它有利于人们事先把握运算结果的范围，是发展学生数感的重要方面。估算的能力和习惯，依赖于对数的理解（如数的相对大小，数的等价形式、数与数之间的关系），因此合理运用估算能帮助学生发展对数及运算的理解，增强学生运用数及运算的灵活性，提高学生对结果的合理性的认识。同时，对于运算结果的把握，也有利于减少运算中的错误，培养学生对运算结果负责的态度。因此，本教科书注重培养学生运用估算解决问题和在精确计算前后进行估算的意识和能力，并专门安排了此内容的复习，并设计了两个问题引领学生回顾和复习。
1.在生活、学习中，哪些时候要用到估算呢？请总结一下。
本问题的目的是总结应用估算的例子，进一步发展学生的估算意识。在估算教学中，培养学生的估算意识是应注重的首要方面，在复习中也不例外，所以安排了这个问题。教科书通过对话呈现了估算两个方面的作用：解决问题有时不需要精确结果，如买东西时要估算带的钱够不够等；估算能够帮助人们把握运算结果，计算之前的估算可以有利于人们对运算结果有大致了解，计算之后的估算可以有利于人们对运算结果进行检验。
2.学校组织六年级同学看电影。估一估，两个影院都能去吗？
很多情况下直接通过估算就能解决问题，得出结论，估算要尽可能结合具体问题情境进行，本问题通过设计一个问题情境，让学生在解决问题的过程中选择恰当的方法进行估算，并解释估算的过程，让学生再次体会估算的实际意义，并总结出一些估算的方法策略。
教学建议
1.在生活、学习中，哪些时候要用到估算呢？请总结一下。
教学时，建议先让学生独立思考，尝试举出运用估算的例子，可以提示学生从两个角度思考，一是生活中运用的角度，引导学生举一些实际例子说明什么时候要用到估算，如“带了100元钱，要买四本书，价格分别是28元、36元、27元、18元，够吗”，在充分交流的基础上小结估算的主要作用，提高学生运用估算的意识；二是计算的角度，如计算之前、计算之后估算“商是几位数”“积大约是多少”“差大约是多少”等，特别是引导学生学会确定和判断计算结果的数量级。
2.学校组织六年级同学看电影。估一估，两个影院都能去吗？
教学时，建议先让学生进行小组讨论，引导学生通过估算得出结论，要引导学生说说是怎么估的，为自己的结论作出合理的解释。选择估算方法需要根据实际问题的需要，这个问题讨论的是“两个电影院都能去吗”，需要估算6个班的总人数，如果将6个班的学生数都“往大估”，即都看成是50，50×6=300，也就是即使每个班都是50人，总人数最多300人，而实际就肯定少于300人，因此希望影院肯定容纳得下。如果将6个班的学生数都“往小估”，即都看成是40，40×6=240，因此总人数肯定大于235人，可以得出结论，东方影院容纳不下，应该去希望影院。
教学中，对于不同的方法，教师应鼓励学生交流，解释估算的思路和理由，对于合理的估算策略和结果都应肯定。同时，在进行完估算后，教师可以引导学生进行进一步反思，要引导学生总结、比较不同的估算策略，思考在具体情境下什么策略肯定能解决问题，提高学生的估算“直觉”。比如，“都往大估，都看成50，能确定希望影院肯定容纳得下。关键是要想办法确定是否有影：容纳不下”。另外，教师要善于收集和设计一些能用估算解决的具体问题，在解决问题中发展学生的估算意识。
巩固与应用
第1题
在解决问题的过程中进一步发展学生的估算意识，选择合理的估算策略。第一个问题“500元够吗”，学生可能有不同的估算策略，如：将“168+288”，估成“170+290，等于460元，500元肯定够的；或者估成“200+288”，等于488元，500元也肯定是够的；或者还可以估成“200+300”，等于500元，因为都估大了，所以500元也肯定是够的。练习时，要鼓励学生说明自己估算的方法和理由。
第二个问题“1000元够吗”，学生也可能有不同的估算策略，如：将“798+260”估成“790+260”，等于1050元，因为已经估小了，所以1000元肯定不够；学生也可以估成“800+260”，等于1060元，比1000元多了60元，实际只多估了2元，所以也能确定1000元肯定不够。
学生的估算策略和估算结果合理就应给予肯定，但要引导学生反思和比较，选择最适合的估算策略，如，在这个情境中，要确定“带的钱够”，一般要“往大估”，即“即使估大了，也肯定够”；而要确定“带的钱不够”，一般要“往小估”，即“即使估小了，也肯定不够”。
第2题
通过利用估算判断结果是否正确，巩固估算的方法，进一步发展学生的估算意识。练习时，要引导学生先估算，并说明自己的估算方法和得出的结论，学生判断的方法可能是多样的，只要有其合理性都应肯定。如，估算“791+118”，可以估算成“790+110”，这样能肯定结果大于900，所以能确定809的答案是错误的，然后再精确计算把错误改正过来。再如，“3500-700=3200”，学生可以这样估算，因为500小于700，计算结果肯定小于3000，所以3200肯定是错的等。在学生估算后，再引导学生精确计算，并引导学生反思，也可以引导学生将估算结果与精确结果进行比较，这样的反思和比较有利于学生积累经验，发展估算意识和估算“直觉”。
答案：2800，909，68.31；
102，1421，。
第3题
让学生用估算解决问题，进一步发展学生的估算意识，进一步引导学生选择合理的估算策略。学生可能有不同的估算策略，如一般的策略是，将能打的字数“往大估”，即将“49×30”，估成“50×30”，等于1500字，因为将49估大了，所以实际能打的字小于1500字，因此这篇稿子1528字肯定打不完。
第4题
本题的目的在于引导学生通过观察、分析，确定估算的范围，加深对估算的理解和估算方法的掌握，进一步树立估算意识，发展估算“直觉”。答案不唯一，只要运算结果在350～500之间都是正确的。
第5题
通过把淘气和笑笑估算的结果与精确结果相比较，引导学生对估算结果进行分析与解释，同时进一步体会除法算式中被除数、除数、商之间的关系。
答案：笑笑将被除数估大、除数估小，所以估算的结果比精确结果大；淘气将被除数估小，除数估大，所以估算的结果比精确结果小。练习时，在独立思考、交流基础上，还可以引导学生比较后得出这样的结论：4104÷76的商肯定在50与60之间。
（四）运算律
学习目标
1.回顾整理加法交换律等学过的运算律，再次经历通过多种方式验证运算律的过程，加深对运算律的理解。
2.通过举例说明，进一步体会加法交换律等运算律在整数、小数、分数运算中都适用，能应用运算律进行一些简便运算。
回顾与交流
编写说明
小学所学的运算律主要包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。这些运算律在数与运算中起着重要的作用，比如加法结合律保证了加法运算结果的唯一性：几个数相加，先算哪两个结果是一样的。实际上，在数系的扩充过程中，运算律也起着非常重要的作用。本节内容设计了两个问题或活动是引导学生对小学所学运算律的回顾和梳理，进一步沟通知识联系。
1.（1）我们学过哪些整数运算的运算律？用字母表示出来。（2）用多种方式验证这些运算律。
首先是让学生回顾和总结学过的整数运算律，并尝试用字母表示出来，并让学生再次尝试用多种方式验证或说明这些运算律，促进学生对所学过的运算律的理解。教科书中呈现了三种验证说明的方式，如列举一些算式通过计算验证、通过解决实际问题的例子、面积计算的模型等。
2.整数运算的运算律在小数、分数运算中成立吗？举例说明。
通过举例说明，再次让学生认识到整数运算律在小数、分数运算中仍然成立，使学生初步感受运算律是否成立在数系的扩充过程中起着重要的作用。
教学建议
1.（1）我们学过哪些整数运算的运算律？用字母表示出来。（2）用多种方式验证这些运算律。
教学时，可以先让学生独立复习和整理学过的运算律，并用字母表达出来。再自己选择一两个运算律，用不同的方式验证说明，最后再组织全班交流。
2.整数运算的运算律在小数、分数运算中成立吗？举例说明。
教学时，在上述梳理总结运算律的基础上，教师可以让学生自己举例说明每一个运算律在小数、分数运算中是否继续成立，再组织交流。
巩固与应用
第1题
本题的目的是让学生用运算律解释算理，进一步体会运算律的作用。教科书呈现了25×48的三种计算方法，第一种利用了乘法结合律，第二种利用了乘法分配律，第三种竖式计算其实质也是用了乘法分配律。练习时，先让学生说说用了什么运算律，再对比第二种算法和第三种算法，引导学生发现其实质是一样，只是不同的表达形式而已。
第2题
复习的是运用运算律进行简便运算。通过利用运算律进行简便运算，有利于学生在运算的过程中熟悉运算律的“结构”，能灵活运用运算律进行计算，使计算简便、合理，并促进学生数感和思维灵活性的发展。需要注意的是，对于简便运算，学生能掌握教科书提供的类似形式的练习就可以了，教师不必再补充更复杂的问题。
答案：132，1185，15；
4900，36000，100；
27，90500，132.6。
第3题
学生在解决实际问题的过程中，通过不同解题方法的比较，建构数学模型，并再一次体会乘法分配律。练习时，要引导学生用两种方法解决，并进行比较体会。
方法一：26×4+74×4=400（元）；
方法二：（26+74）×4=400（元）。
●式与方程
学习目标
1.回顾和整理小学阶段有关代数的初步知识，再次经历用字母或含有字母的式子表示数或数量关系的过程，进一步体会方程的意义和思想，能用等式的性质解简单的方程。
2.能用方程表示简单情境中的等量关系，能用方程解决简单的实际问题，进一步体会方程的价值。
回顾与交流
编写说明
方程是刻画现实世界数量关系的重要模型。从算术到代数，是数学发展也是数学学习的重要转变，人们的思考方式开始从具体到抽象、从特殊到一般、从静止到变化。这部分内容也是中学代数后继学习的重要基础。教科书从用字母表示、解方程、列方程解决问题等角度设计了四个问题或活动引导学生回顾梳理式与方程的有关知识。
1.（1）淘气利用圆片摆出下面的图案。（2）生活中还有哪些规律能利用这个式子表示？
用字母表示数是从算术到代数的重要标志。运用字母代替具体的数，就可以表达一般的规律，由此就可以产生方程、函数等重要的刻画现实世界数量关系和变化规律的重要模型。用字母、含有字母的式子可以表示数或数量关系，如：a-5既可以表示两个数的差（一个结果），又可以表示数a与数5相差的“关系”；进一步，对于表示数实际上对应的是方程的解，对于表示数量关系对应的是函数思想的初步。字母表示数是代数学习的开始，理解字母表示数的意义是学习代数的关键，也是运用代数式、方程、不等式、函数等进行交流的前提条件。
教科书首先呈现了淘气用圆片摆图案的问题情境，让学生再次经历探索规律的过程，并运用字母表示所探索出来的规律，教科书所提供的规律实际上是“平方数”，通过圆片图案有利于数与形结合进行观察、思考。教科书的第2个小问题是让学生自己举出能用表示的例子，让学生体会一个含有字母的式子可以表示多个类似的规律，体会用字母表示数或关系的一般性，这样的情况有很多，教科书中列举了“正方形面积”“方阵人数”等两种，都可以用表示。
2.我们已经学过一些公式和规律，请你用含有字母的式子把它们表示出来。
目的是让学生对用含有字母的式子表示曾经学过的一些常见的数量关系、运算定律、图形的面积和体积计算公式等，这既是对以前所学知识的全面回顾复习，更重要的是使学生进一步体会到规律的一般性和用字母表示规律的简洁性。
3.解下面的方程，并说一说你是怎么解的。
目的是复习解方程。教科书呈现了两个不同类型的方程，让学生通过解方程回顾复习解方程的方法和依据。
4.列方程解决下面的问题。
复习列方程解决问题。教科书呈现了三个实际问题，让学生再次经历寻找数量之间的相等关系、列出方程并解决问题的过程，深化对列方程解决问题的方法的理解。
教学建议
1.（1）淘气利用圆片摆出下面的图案。（2）生活中还有哪些规律能利用这个式子表示？
教学中，建议首先鼓励学生观察摆图案所用扣子的规律，并通过用含有字母的式子表示第n个图案一共用多少个扣子，唤起学生对用字母表示数的记忆，可以用表示规律。在此基础上，教师可以鼓励学生联想还有哪些规律也能用这个式子表示，从多个方面寻找符合这一规律的“原型”，以使学生进一步体会数学规律的一般性和用字母表示规律的简洁性。
2.我们已经学过一些公式和规律，请你用含有字母的式子把它们表示出来。
教学时，建议先让学生自己回顾用字母表示这些规律或公式，再展示交流，可以引导学生用列表的方式整理，以更加清晰。这里主要需要回顾的是加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等运算定律；正方形、长方形、圆的周长计算方法；正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等图形面积的计算方法；正方体、长方体、圆柱、圆锥等图形的体积计算方法等。
3.解下面的方程，并说一说你是怎么解的。
教学时，可以先让学生独立解方程，并让学生在解方程后说一说是怎样解的，每一步的依据是什么，结合解方程的过程复习等式的性质。按照课程标准的要求，学生应会用等式解方程，这是每一位学生需要掌握的基本要求。解方程过程中，如果学生出现运用运算各部分之间的关系解等其他的方法解方程，教师也应认可，但不作全班要求。
4.列方程解决下面的问题。
教学中，教师可以先引导学生独立分析每道题的数量关系，并写出等量关系式，再列方程解决。教师要重点组织学生交流找等量关系的方法，以及如何根据等量关系式列出方程。最后，教师要引导学生反思，一方面是检验结果是否正确，同时体会用方程解决类似问题的优越性。教科书呈现的三道题对应于传统的“分数除法问题”“和倍问题”“相遇问题”，类似这样的问题要鼓励学生用方程解决，但教学中教师不要让学生记忆题型，关键是学生能借助图等方式找到问题中的等量关系，并列出方程。
巩固与应用
第1题
主要是用含有字母的式子表示数量关系。教师还可以整理以前所做过的有关题目，针对学生不熟悉的数量关系进行有针对性的练习。
答案：（1）x-25；（2）5n-m；
（3）2a+6；（4）80%a。
第2题
用含有字母的式子表示“路程、时间、速度”的数量关系，并将数代入含有字母的式子进行计算。
答案：（1）2.5（a+b）或者2.5a+2.5b。
（2）当a=45，b=60时，代入上面含有字母的式子，可得两地间的距离为262.5km。
第3题
本题的关键是理解图中的圆的半径和正方形边长之间的关系，然后根据正方形的周长和面积公式，用含有字母的式子表示。
答案：8r和。
第4题
这是一个有趣的探究规律的问题，可以先根据前三组图形所需小棒的根数之间的变化关系发现规律，如“每搭一个正方形增加3根小棒”“所需小棒根数=1+正方形个数×3”，在此基础上，用含有字母的式子表示，如“1+3n”。组织交流时，关键是要引导学生交流是“怎样思考这个问题的”。
答案：（1）1+3n；（2）当n=100时，需要301根。
第5题
答案：（1）x=4；（2）x=4.2；（3）x=10.5；
（4）x=13；（5）x=37.5（6）x=15。
第6题
先让学生根据每个情境找出等量关系，再列方程求解。
答案：（1）60%x=1200，x=2000；
（2）7s=4.2，s=0.6；
（3）3x=x+10，x=5；
（4）x+3x=11.2，x=2.8。
第7题
关键是找出等量关系：科普系列丛书的总价+童话故事丛书的总价=120元，再根据“两种丛书的本数相同”的条件，假设“每种丛书有x本”即可列出方程解答。
答案：8.2x+6.8x=120，x=8。
第8题
根据题意找出数量关系，并列出方程。
答案：（1）5x+5=100，x=19；
（2），x=8。
第9题
本题的关键是根据问题的实际意义找出等量关系列出方程，这样的问题情境学生不是很熟悉，可以进行讨论或图示说明。第（1）小题是用含有字母的式子表示；第（2）小题的等量关系式：甲队修的总米数+乙队修的总米数=3000m，还可以是，（甲队一天修的米数+乙队一天修的米数）×修的天数=3000m，根据等量关系可以列出方程。
答案：（1）8（a+b）；
（2）设修完这条公路需要x天，（85+65）x=3000，x=20。
第10题
本题的关键是根据题意理清原正方形的边长、扩大后正方形边长之间的关系，并找到等量关系列出方程。本题有一定的挑战性，教师不要再补充比此题难度更高的问题。
答案：设原正方形的边长为x cm。，x=9。
●正比例与反比例
学习目标
1.复习整理比和比例的有关知识，进一步理解比的意义和比例的意义，深化理解比与分数、除法的关系，能运用比和比例的知识解决一些简单的实际问题。
2.结合具体情境，进一步理解正比例、反比例的意义，在正比例、反比例的回顾与反思中，体会函数的思想。
回顾与交流
编写说明
比，比例和正比例、反比例是小学阶段数与代数领域的重要内容。其中正比例、反比例关系作为正比例函数、反比例函数的雏形，是刻画现实世界的重要模型之一，也是小学阶段渗透函数思想的重要内容。学习正比例和反比例，研究现实世界中的变化规律，使学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式。教科书设计了五个问题或活动引领学生回顾和梳理比，比例和正比例、反比例的相关知识。
1.举例说明什么是比，什么是比例，以及它们的应用。
本问题的目的是让学生回顾比和比例的相关知识。两个数相除又叫作两个数的比，表示两个比相等的式子叫作比例。比的基本性质：“比的前项和后项都乘或除以同一个数（0除外），比值不变”。可以根据这个规律“化简比”。“在比例里两个内项的乘积等于两个外项的乘积”，可以根据这个规律解比例。教学时，可以直接让学生举例说明什么是比，什么是比例等。也可以通过例子驱动学生的回忆，如先让学生说说“2:3”表示的是什么意思。
2.填一填，说一说比、分数、除法之间的联系。
复习比、分数、除法之间的关系。教科书设计了先让学生填一填，再结合两组式子说一说，如比的前项相当于分子、比的后项相当于分母、比号相当于分数线。在此基础上，还可以让学生说说比的基本性质、分数基本性质、商不变规律之间的联系。
3.……一个长方形住宅在图上长1cm，宽0.5cm，它的实际占地面积是多少平方米？
复习比例尺的相关知识。教科书结合示意图设计了三个问题，让学生回顾复习比例尺的意义、求图上距离、求实际距离，在交流中回顾相关知识。
4.举例说说生活中有哪些成正比例的量，有哪些反比例的量。
正比例和反比例是刻画变量之间关系的两个重要的模型。由于这两个内容是本学期才学习的，因此，教科书让学生先自己举例回顾和反思。在学生举例的基础上，教师要引导学生说明自己举的例子为什么是成正比例或者成反比例，如何思考和判断两个量成正比例或者成反比例，加深对正、反比例关系的认识。
5.一辆汽车在高速路上行驶，速度保持在100千米/时，说一说汽车行驶的路程随时间变化的情况，并用多种方式表示这两个量之间的关系。
教科书创设了路程和时间之间关系的问题情境，并运用表格、图、关系式等多种方式来描述这一关系，使学生体会刻画变量之间关系的多种形式。可以先让学生独立做一做，再进行交流，并说说这几种表达形式分别是怎样表示出两个量之间的关系的，最后，再说明路程与时间是否成正比例，是依据什么判断的。在此基础上，再引导学生举出一个量随另一个量变化的例子，并判断是否成正比例或成反比例，还可以引导学生通过表格、图等大致地刻画变量之间的关系。
教学建议
本节课的复习内容基本都是六年级学习的内容，对学生来说还比较熟悉。教学时，可以不采用一个问题一个问题的梳理、讨论的教学方式，而采用先按照教科书设计的问题自主复习、做一做有关的题。然后，组织学生在小组内交流。小组交流的要求是：①组内人员轮流说每个问题的答案，其他成员参与讨论是否正确，以及是否有补充；②记录讨论中有争议的内容；③提出对这部分内容还存在的问题，提交全班讨论。最后，组织全班交流，全班交流主要交流每组中有争议的内容或者提出的问题，教师可以采用先请每个组将有争议的内容或问题列出来，板书在黑板上，然后请其他组解决，并展开全班讨论。在此基础上，教师可以针对学生的实际情况，就梳理中的几个关键问题进行总结、点拨。
巩固与应用
第1题
答案：（1）1:3，1:9；
（2）9:2，4.5；
（3）150:3，50。
第2题
比的化简的方法可以用多种方式，可以是比的前项与后项同时乘或除以同一个数，也可以转化为分数、除法再进行化简。
答案：1:4，4:3，6:1，1:15
5:12，5:32，30:1，1:2。
第3题
本题是有关比例尺的应用问题。
答案：（1）14，5，28000；
（2）240，1256；
（3）4200，15%。
第4题
答案：8，1.25，3.5。
第5题
这样的问题信息较少，部分学生判断会比较困难，要关注学生是怎么思考判断的，可以引导学生用举例、列表等方式来说明自己的思考过程。
答案：（1）不成比例；（2）成反比例；（3）成反比例。
第6题
鼓励学生用自己的语言说明自己的思考过程。
答案：（1）成反比例；（2）不成比例；（3）成反比例。
第7题
答案：（1）略；（2）在一条直线上；（3）2.5分时路程是17.5km。
第8题
复习看图找关系的内容，图能直观地刻画出两个变量之间的关系，学生要根据所描述的情况进行选择，并说明自己是怎么看懂图和怎么想的。
答案：第一幅图符合。
●常见的量
学习目标
2.结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。
回顾与交流
编写说明
常见的量这部分内容主要涉及的是，质量单位：千克、克、吨；时间单位：时、分、秒和年、月、日等；人民币单位：元、角、分。知道这些量及其单位的实际意义，了解单位之间的关系，并解决相关的简单问题是这部分内容的重要目标。对常见的量的复习，应充分让学生列举生活中的实例，并注重让学生亲自体验，体验这些量及其单位的实际意义。
教科书呈现了一些现实生活中的信息，信息中有质量单位、时间单位，然后提出“上面的信息中有哪些量？哪些是质量单位，哪些是……”。目的是让学生能结合实际问题回顾这些量及其单位。
教学建议
教学时，教师可以先让学生说说上面信息中有哪些量及其单位，主要是质量及质量单位，时间及时间单位，然后让学生说说还有哪些质量单位及时间单位，补充完整。接下来，让学生举例说明1时大约多长，1kg，1g大约有多重，进一步回顾和体会这些单位的实际意义，帮助学生建立质量单位的观念和时间单位的观念。最后，再与学生一起回顾复习人民币单位的有关知识。
巩固与应用
第1题
复习单位之间的换算，学生先独立完成，交流时让学生说说是怎样思考的。
答案：1700；1，12；3，12；3.04；150；4000。
第2题
答案：在校时间6时。
第3题
答案：
离开起点站时间 15:00 15:20 15:40 16:05 16:25 16:40 17:15 到达终点站时间 15:40 16:00 16:20 17:05 17:05 17:20 17:55
第4题
复习课也应鼓励学生实际调查，再次体会1分的实际意义。
●探索规律
学习目标
进一步经历探索给定情境中隐含规律的过程，体验用含有字母的式子表示规律，发展应用规律解决问题的意识。
回顾与交流
编写说明
探索规律是重要的数学学习内容，小学数学学习涉及的规律主要是数之间隐含的规律、图形之间隐含的规律、生活中隐含的规律等。对于规律的探索，不仅仅能加深对所学的数、图形的理解，而且能够发展学生观察、归纳、概括的能力，初步体会函数思想。
1.将乘法表填写完整，你发现了什么规律？与同伴交流。
本题是让学生探索乘法表中的规律。乘法表中隐含着丰富的规律，如横着看，每一行都是一个数的倍数；竖着看，每一列都是一个数的倍数；找出积相等的数，这些数所对应的两个因数成反比例关系等，如下图：
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.找一找生活中存在的数学规律，并与同伴分享。
这是一个开放性问题，学生可以列举出数、图形排列中的规律；数之间的规律和运算规律；生活中一些现象中隐含的规律等。
教学建议
1.将乘法表填写完整，你发现了什么规律？与同伴交流。
教学时，要给学生留下充分观察和思考的时间，让学生独立填表并寻找规律，要鼓励学生尽可能多地发现数与数之间的规律，并尝试用语言、表格、图、关系式等方式刻画所发现的规律。再组织学生交流发现的规律，学生发现的规律只要有其合理性，都应肯定和鼓励。如果学生独立发现规律有困难，教师也可以引导学生有序地进行观察，横看、竖看、斜看等。
2.找一找生活中存在的数学规律，并与同伴分享。
教学时，可以事先布置这个活动，放手让学生自己寻找规律，如数、图形排列中的规律；数之间的规律和运算规律；生活中一些现象中隐含的规律等，再组织小组内展示交流，再集体反馈。可能会出现好多的例子，教师要适时点拨引导，关键是让学生说说规律是什么，是怎样找到规律的。课后可让学生整理出自己最喜欢的规律，并做简要说明，可以在教室或适当的地方展示学生的作品交流、评比等。
巩固与应用
第1题
答案：（1）规律是后一个数比前一个数多3。20，26。
（2）规律是从2开始的平方数。36。
（3）规律是从1开始的立方数。64，216。
（4）规律是把的分子、分母不断地扩大2倍、3倍等。，，。
第2题
规律是5个一组，即“红黄红红黄”。可以通过全部列举出来得到答案，也可以通过计算，20÷5=4（组），即第20个是第四组的最后一个是黄色。
答案：第20个气球的颜色：黄；第27个气球的颜色：黄。
第3题
主要是需要发现加一张桌子增加4个人。教科书表格中呈现的是一种规律表述方式，学生有其他的规律发现，教师也应肯定鼓励，如2+4，2+2×4，2+3×4，…
答案：（1）10；（2）6+3×4，6+4×4，6+（n-1）×4或2+4n。
第4题
规律就是每一堆都是从1开始的连续自然数相加，加到表示堆数的自然数为止。学生还有可能发现不同的规律，教师应肯定鼓励。
答案：第5堆小球数是：1+2+3+4+5=15；第8堆小球数是：1+2+3+4+5+6+7+8=36。
第5题
这是一道探究活动题，学生可以通过观察和实际“框一框”来进行解答。
（1）9个数之和是90，是正中间数10的9倍。学生也可能有其他答案，比如比10多80，如果出现其他答案，教师应延迟判断，鼓励学生继续完成第2题，再作判断。
（2）让学生再“框一框”，找几组这样的数进行尝试，可以发现每一组9个数之和都是正中间数的9倍。
（3）如果用x表示正中间的数，那么9个数之和为9x。对此感兴趣的学生，教师可以鼓励学生先用含有x的式子表示每一框中的其他8个数，再证明“9个数之和为9x”的关系，即其他8个数可以分别表示成x-8，x-7，x-6，x-1，x+1，x+6，x+7，x+8，9个数相加可以得到和为9x。
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