聚焦中考数学规律探究性问题
一、新定义型
例1 我们知道，一元二次方程x2＝－1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝－1（即方程x2＝－1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝－1，i3＝i2·i＝（－1）·i＝－i，i4＝（i2）2＝（－1）2＝1．从而对任意正整数n，我们可得到i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可得j4n＋2＝－l，i4n＋3＝－i·i4n＝1，那么，i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2012＋i2013的值为( )
(A)0 (B)l (C)－1 (D)i
解析 ∵i＋i2＋i3＋i4
＝i－l－i＋l＝0．
而2013＝4×503＋1，
i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2012＋i2013＝i．
5×5＝0l×l00＋25，
[10(n－1)＋5]2＝100n(n－1)＋25．
例3如图1，每一幅图中均含有若干个正方形．第①幅图中含有1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；…按这样的规律下去，则第(6)幅____．[来源:学科网]
解析 第①幅图中含有1个正方形；
第②幅图中含有5个正方形；
第③幅图中含有14个正方形…
又l＝12；5＝12＋22；14＝12＋22＋32…．
可知第⑥幅图中含有12＋22＋32＋42＋52＋62
＝91个正方形．
方法指导 首先，分类讨论正方形的类型及个数，做到不重不漏，是发现规律的关键；其次，探究数据之间的联系及规律，要将数据作恰当的分解．
归纳总结 图形变化型问题主要是观察
图形变化过程中的特点，分析其联系和区别，利用相应的算式，由特殊到一般描述其中的规律，这需要有敏锐的观察能力和计算能力．
四、点坐标变化规律型
例4如图2，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4、…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是_______，A22的坐标是______．
解析 由于22÷3＝7余1，而A1的坐标为（－1，－1），A4的坐标为（－2，－2），A7的坐标为（－3，－3），…，可得A22的坐标为(－8，－8)．∽△A''B''C''，且沿周界ABCA与A''B''C''A''环绕的方向相同，因此△ABC和△A''B''C''互为顺相似；如图4(2)，△ABC∽△A''B''C''，且沿周界ABCA与A''B''C''A''环绕的方向相反，因此△ABC和△A''B''C''互为逆相似．
(1)根据图5(1)，图5(2)和图5(3)满足的条件，可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ．其中，互为顺相似的是____；互为逆相似的是 （填写所有符合要求的序号）
(2)如图6，在锐角AABC中，∠A<∠B<∠C，点P在△ABC的边上（不与点A，B，C重合）．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似，请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．
解析 (1)①②；③．
(2)根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况．
第一种情况：如图7(1)，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、PQ2，分别使∠CPQ1＝∠A，∠BPQ2＝∠A，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似．
第二种情况：如图7(2)，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作∠CBM＝∠A，BM交AC于点M．
当点P在AM(不含点M)上时，过点P．只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q＝∠ABC，此时△AP1Q与△ABC互为逆相似；
当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2 Q2，分别使∠AP2Q1＝∠ABC，∠CP2Q2＝∠ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似．
第三种情况：如图7(3)，点P在AB（不含点A、B）上，过点C作∠BCD＝∠A，∠ACE＝∠B，CD、CE分别交AC于点D、E．
当点P在．4D(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q＝∠ABC，此时△AQP，与△ABC互为逆相似；
当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2 Q2，分别使∠AP2Q1＝∠ACB，∠BP2Q2＝∠BCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；
当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q''，使∠BP3Q''＝∠BCA，此时△Q''BP3与△ABC互为逆相似．
方法指导 本题是创新型中考压轴题；主要考查了相似三角形的知识点、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中“顺相似”、“逆相似”的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．
归纳总结 这类题型主要考查学生自学能力和阅读能力、知识迁移能力、加工和利用信息的能力．要求学生运用范例，形成科学的思维方式和思维策略，或利用归纳与类比作出合理的判断和推理，找出规律，进而解决问题．
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