正方形的性质与判定 补充习题（一）
（一）选择题
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
2．下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形
B．一条对角线平分一组对角的矩形
C．对角线相等的棱形
D．对角线互相垂直的矩形
3．在平行四边形、菱形、矩形、正方形中能够找到一点，使该点到各边的距离相等的图形是（ ）
A．平行四边形、菱形 B．菱形、矩形
C．菱形、正方形 D．矩形、正方形
4．正方形的对角线长为，则它的两条对角线的交点到它的一边的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图1，已知：正方形的边长为3，以为一边向两侧作等边三角形和等边三角形，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
图1 图2
6．如图2，正方形中，，，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分
C．四条边相等 D．一条对角线平分一组对角
8．下列命题中，假命题是（ ）
A．四个内角都相等的四边形是矩形
B．四条边都相等的平行四边形是正方形
C．既是菱形又是矩形的四边形是正方形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
9．如图3，是正方形内一点，且△是等边三角形，则等于（ ）
图3
A． B．
C． D．
10．在四边形中，是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，，
（二）填空题
1．若正方形对角线的长为，则它的边长是______。
2．在正方形中，、、分别是、、上一点，它们与顶点组成一个矩形，若正方形的周长是，则矩形的周长是______。
3．以正方形边为边作等边△，则。
4．正方形的两条对角线___________，并且互相____________，每条对角线平分一组____________。
5．有一组邻边相等的_____________形是正方形，有一个角是直角的___________形是正方形．
6．边长为的正方形，在一个角上剪掉一个边长为的小正方形，则所剩图形的周长是______________。
7．正方形中，，，交于，则△的周长为__________，△的面积为____________。
（三）解答题
1．如图1，矩形中，平分，于。求证：四边形是正方形。
图1
2．如图2，已知是正方形的边上的任意一点，直线交、于、。求证：。
图2
3．如图3，为正方形对角线的交点，是上任意一点，于点，且交于点，求证：。
4．如图4，△是直角三角形，，分别以，为边作正方形和，求证：。
图3 图4
5．如图5，已知在正方形中，为上一点，的延长线交于，交的延长线于，为的中点，求证：。
6．如图6，在正方形的各边上截取，连结，，，。依次相交于点，，，，求证：四边形是正方形。
图5 图6
7．如图7，，分别为正方形的边，上的点，，在的延长线上，且，的延长线交于，求证。
图7
8. 在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BECDEC；
（2）延长BE交AD于F，当BED=120°时，求EFD的度数．
答案
（一）选择：
1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C
（二）填空：
1． 2．2 3．或4．相等；垂直平分；对角5．矩形；菱形 6． 7．；1
（三）解答：
1．略
2．过作于，易证△，于是
3．〔提示：先证，再证△，所以。〕
4．〔提示：证△，所以。〕
5．〔提示：先证，因为，所以，因为是△斜边上的中线，所以。所以。因为。所以。所以。〕
6．〔提示：△≌△≌△，△≌△≌△，。〕
7．〔提示：因为，，所以。所以。因为，所以△，所以，因为，所以。因为。所以，所以，因为，所以。〕
8.答案：（1）证明：四边形ABCD是正方形
BC＝CD，ECB＝ECD＝45°
又EC＝EC
ABE≌△ADE
（2）ABE≌△ADE
∴∠BEC＝DEC＝BED
∵∠BED＝120°BEC＝60°＝AEF
∴∠EFD＝60°+45°＝105°
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第22题图
A
F
D
E
B
C
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