2.6 菱形
2.6.1 菱形的性质
要点感知1 一组邻边相等的__________四边形叫作菱形.
要点感知2 菱形的四条边都__________，对角__________，对角线__________.菱形的对角线__________.
预习练习2-1 若一个菱形的一条边长为4 cm，则这个菱形的周长为( )
A.20 cm B.18 cm C.16 cm D.12 cm
要点感知3 菱形是中心对称图形，__________是它的对称中心.菱形是轴对称图形，__________都是它的对称轴.
要点感知4 菱形的面积等于两条对角线乘积的__________.
预习练习4-1 菱形的两条对角线长分别为3 cm、4 cm，它的面积为__________cm2.
知识点1 菱形的定义
1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是__________(写出一个即可).
知识点2 菱形的性质
2.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是( )
A.1 B. C.2 D.2
3.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )
A.10 B.8 C.6 D.5
4.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )
A.3.5 B.4 C.7 D.14
5.若菱形的周长20 cm,则它的边长是__________cm.
6.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长.
7.如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点.求证：AE=CF.
知识点3 菱形的面积计算
8.如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足(a-1)2+=0，那么菱形的面积等于__________.
9.如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD=6，则菱形ABCD的面积是( )
A.6 B.12 C.24 D.48
10.如图，已知AC，BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是( )
A.△ABD与△ABC的周长相等
B.△ABD与△ABC的面积相等
C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
11.如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
12.已知一个菱形的周长是20 cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是( )
A.12 cm2 B.24 cm2 C.48 cm2 D.96 cm2
13.如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )
A.4 B. C. D.5
14.如图，两个连续在一起的菱形的边长都是1 cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2 014 cm时停下，则它停的位置是( )
A.点F B.点E C.点A D.点C
15.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接EF，则△AEF的面积是__________.
16.如图，将菱形纸片ABCD折叠.使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A＝120°，则EF＝__________cm.
17.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.
18.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：OE＝BC.
19.如图所示，等边三角形CEF的边长与菱形ABCD的边长相等.
(1)求证：∠AEF=∠AFE；
(2)求∠B的度数.
参考答案
要点感知1 平行
要点感知2 相等 相等 互相平分 互相垂直
预习练习2-1 C
要点感知3 C
预习练习3-1 对角线的交点 两条对角线所在直线
要点感知4 一半
预习练习4-1 6
1.答案不唯一，如AB=AD 2.C 3.D 4.A 5.5
6.∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且BO=DO.
在Rt△AOB中，∵AB=5，AO=4，
由勾股定理得BO=3.
∴BD=6.
7.证明：∵ABCD是菱形，∴AD=CD.
∵E，F分别是CD，AD的中点，
∴DE=CD，DF=AD.
∴DE=DF.
又∵∠ADE=∠CDF，
∴△AED≌△CFD(SAS).
∴AE=CF.
8.2 9.C 10.B
11.C 12.B 13.C 14.A 15.3 16.
17.证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠COD=90°.
∵DH⊥AB于H，
∴∠DHB=90°.
在Rt△DHB中，OH=OB，
∴∠OHB=∠OBH.
又∵AB∥CD，
∴∠OBH=∠ODC.
∴∠OHB=∠ODC.
在Rt△COD中，∠ODC+∠OCD=90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，
∴∠DHO=∠DCO.
18.证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠DOC＝90°.
∴四边形OCED是矩形.∴OE＝CD.
∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝BC.
∴OE＝BC.
19.(1)证明：∵等边三角形CEF的边长与菱形ABCD的边长相等，
∴BC=CE.∴∠B=∠BEC.
同理∠D=∠CFD.
又∵∠B=∠D，∴∠BEC=∠CFD.
∵EC=FC，∴∠CEF=∠CFE.
∵∠BEC+∠CEF+∠AEF=∠CFD+∠CFE+∠AFE=180°，
∴∠AEF=∠AFE.
(2)连接AC.
设∠BCE=y°.∠B=x°.
∵△CEF是等边三角形，∴∠ECF=60°.
又根据对称性得到CA为∠ECF的平分线，因而∠ACE=30°.
∴在△ABC和△BCE中，根据三角形内角和定理分别得到方程组
解得
即∠B的度数是80°.
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