利用配方法解题举例作为一个重要的数学方法，配方法在中学数学中的应用极为广泛，下面举例说明． 一、用于因式分解 例1 分解因式： (1)x4+
4； (2)a2-4ab+3b2-2bc-c2 解：(1)原式＝x4+4x2+4-4x2[来源:~中国教育%出版&网@] ＝(x
2+2)2-(2x)2[中国^教#育~出&版%网] ＝(x2+2x+2)(x2-2x+2)． (2)原式＝(a2-4ab+4b2)
-(b2+2bc+c2) ＝(a-2b)2-(b+c)2 ＝(a-b+c)(a-3b-c)． 二、用于求值 例2 已知x2+y2+
4x-6y+13＝0，x，y为实数，则xy＝_______． 解：由已知等式配方，得(x+2)2+(y-3)2＝0．[中国教@育出
版%~#&网] 因x，y为实数，故x＝-2，y＝3． 故xy＝(-2)3＝-8． 三、用于化简根式[www.z~^&z#step.
com@] [中国#&教@育出^版网] [来@源&:中国教育出版网~#] 四、用于解方程(组) 例4 解方程(x2+2)(
y2+4)(z2+8)＝64xyz(x，y，z均为正实数)． 解：原方程变形，得[来源^:z#~z&step@.com] x2y2
z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64-64xyz＝0． 各自配方，得(xyz-8)2+2(4
x-yz)2+4(2y-xz)2+8(z-xy)2＝0． [中国教育出版&网^%#] 解：显然，x＝y＝z＝0适合方程组． 当
x≠0，y≠0，z≠0时，原方程组可变形为：[来源:%zzste^p.co~m@] [来@#源:~&中教网%] ∴ x＝1，
y＝1，z＝1． 五、用于求最值[来源^:中~#&教网] [来源:&@#^中教网] 解：所求式变形配方，得 [来%源&~:
zzstep.co@m] ∴ 当x＝1时，y有最小值1． 六、用于证明恒等式 例7 四边形的四条边长a，b，c，d满足等式a4+
b4+c4+d4＝4abcd．求证：a＝b＝c＝d． 证明：已知等式变形，得 a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d2+2a
2b2+2c2d2-4abcd＝0． 配方，得(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2＝0． ∴ a2＝b2，c2＝
d2，ab＝cd．故a＝b＝c＝d．[来源:&%@中国教育出版网#] 七、用于证明不等式 例8 若a，b，c为实数，求证：a2+
b2+c2-ab-bc-ac≥0．[来源~#:中国教育出版网&%] 证明：∴2(a2+b2+c2-ab-bc-ac) ＝(a2-
2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)[来#源%:^~中教网&] ＝(a-b)2+(b-c)2+(a-c)
2≥0， ∴ a2+b2+c2-ab-bc-ac≥0． 八、用于判定几何图形的形状 例9 已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+
b2+c2-ab-bc-ca＝0，试判定△ABC的形状． 解：仿上例，已知等式可化为(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2＝0．
∴ a-b＝0，b-c＝0，c-a＝0．即 a＝b＝c． 故 △ABC是等边三角形． |
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