2022年湖北省荆州市中考数学试卷
一、选择题(本大题共有10个小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)(2022?荆州)化简a﹣2a的结果是( )
A.﹣a B.a C.3a D.0
2.(3分)(2022?荆州)实数a,b,c,d在数轴上对应点的位置如图,其中有一对互为相反数,它们是( )
A.a与d B.b与d C.c与d D.a与c
3.(3分)(2022?荆州)如图,直线l1∥l2,AB=AC,∠BAC=40°,则∠1+∠2的度数是( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
4.(3分)(2022?荆州)从班上13名排球队员中,挑选7名个头高的参加校排球比赛.若这13名队员的身高各不相同,其中队员小明想知道自己能否入选,只需知道这13名队员身高数据的( )
A.平均数 B.中位数 C.最大值 D.方差
5.(3分)(2022?荆州)“爱劳动,劳动美.”甲、乙两同学同时从家里出发,分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动.若甲、乙的速度比是3:4,结果甲比乙提前20min到达基地,求甲、乙的速度.设甲的速度为3xkm/h,则依题意可列方程为( )
A.+= B.+20=
C.﹣= D.﹣=20
6.(3分)(2022?荆州)如图是同一直角坐标系中函数y1=2x和y2=的图象.观察图象可得不等式2x>的解集为( )
A.﹣1<x<1 B.x<﹣1或x>1
C.x<﹣1或0<x<1 D.﹣1<x<0或x>1
7.(3分)(2022?荆州)关于x的方程x2﹣3kx﹣2=0实数根的情况,下列判断正确的是( )
A.有两个相等实数根 B.有两个不相等实数根
C.没有实数根 D.有一个实数根
8.(3分)(2022?荆州)如图,以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧,恰好与BC边相切,分别交AB,AC于D,E,则图中阴影部分的面积是( )
A.﹣ B.2﹣π C. D.﹣
9.(3分)(2022?荆州)如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC:BC=1:2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是( )
A. B. C. D.3
10.(3分)(2022?荆州)如图,已知矩形ABCD的边长分别为a,b,进行如下操作:第一次,顺次连接矩形ABCD各边的中点,得到四边形A1B1C1D1;第二次,顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点,得到四边形A2B2C2D2;…如此反复操作下去,则第n次操作后,得到四边形AnBn?nDn的面积是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)(2022?荆州)一元二次方程x2﹣4x+3=0配方为(x﹣2)2=k,则k的值是 .
12.(3分)(2022?荆州)如图,点E,F分别在?ABCD的边AB,CD的延长线上,连接EF,分别交AD,BC于G,H.添加一个条件使△AEG≌△CFH,这个条件可以是 .(只需写一种情况)
13.(3分)(2022?荆州)若3﹣的整数部分为a,小数部分为b,则代数式(2+a)?b的值是 .
14.(3分)(2022?荆州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,通过尺规作图得到的直线MN分别交AB,AC于D,E,连接CD.若CE=AE=1,则CD= .
15.(3分)(2022?荆州)如图,将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上,测得瓶高AB=20cm,底面直径BC=12cm,球的最高点到瓶底面的距离为32cm,则球的半径为 cm(玻璃瓶厚度忽略不计).
16.(3分)(2022?荆州)规定;两个函数y1,y2的图象关于y轴对称,则称这两个函数互为“Y函数”.例如:函数y1=2x+2与y2=﹣2x+2的图象关于y轴对称,则这两个函数互为“Y函数”.若函数y=kx2+2(k﹣1)x+k﹣3(k为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个交点,则其“Y函数”的解析式为 .
三、解答题(本大题共有8个小题,共72分)
17.(8分)(2022?荆州)已知方程组的解满足2kx﹣3y<5,求k的取值范围.
18.(8分)(2022?荆州)先化简,再求值:(﹣)÷,其中a=()﹣1,b=(﹣2022)0.
19.(8分)(2022?荆州)为弘扬荆州传统文化,我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛活动.某校举办选拔赛后,随机抽取了部分学生的成绩,按成绩(百分制)分为A,B,C,D四个等级,并绘制了如下不完整的统计图表.
等级 成绩(x) 人数 A 90<x≤100 m B 80<x≤90 24 C 70<x≤80 14 D x≤70 10 根据图表信息,回答下列问题:
(1)表中m= ;扇形统计图中,B等级所占百分比是 ,C等级对应的扇形圆心角为 度;
(2)若全校有1400人参加了此次选拔赛,则估计其中成绩为A等级的共有 人;
(3)若全校成绩为100分的学生有甲、乙、丙、丁4人,学校将从这4人中随机选出2人参加市级竞赛.请通过列表或画树状图,求甲、乙两人至少有1人被选中的概率.
20.(8分)(2022?荆州)如图,在10×10的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,顶点均在格点上的图形称为格点图形,图中△ABC为格点三角形.请按要求作图,不需证明.
(1)在图1中,作出与△ABC全等的所有格点三角形,要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边,且不与△ABC重叠;
(2)在图2中,作出以BC为对角线的所有格点菱形.
21.(8分)(2022?荆州)荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外.如图,某校学生测量其高AB(含底座),先在点C处用测角仪测得其顶端A的仰角为32°,再由点C向城徽走6.6m到E处,测得顶端A的仰角为45°.已知B,E,C三点在同一直线上,测角仪离地面的高度CD=EF=1.5m,求城徽的高AB.(参考数据:sin32°≈0.530,cos32°≈0.848,tan32°≈0.625).
22.(10分)(2022?荆州)小华同学学习函数知识后,对函数通过列表、描点、连线,画出了如图1所示的图象.
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ ﹣ 0 1 2 3 4 … y … 1 2 4 1 0 ﹣4 ﹣2 ﹣ ﹣1 … 请根据图象解答:
(1)【观察发现】①写出函数的两条性质: ; ;②若函数图象上的两点(x1,y1),(x2,y2)满足x1+x2=0,则y1+y2=0一定成立吗? .(填“一定”或“不一定”)
(2)【延伸探究】如图2,将过A(﹣1,4),B(4,﹣1)两点的直线向下平移n个单位长度后,得到直线l与函数y=﹣(x≤﹣1)的图象交于点P,连接PA,PB.①求当n=3时,直线l的解析式和△PAB的面积;②直接用含n的代数式表示△PAB的面积.
23.(10分)(2022?荆州)某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品,按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算,该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=24﹣x,第一年除60万元外其他成本为8元/件.
(1)求该产品第一年的利润w(万元)与售价x之间的函数关系式;
(2)该产品第一年利润为4万元,第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后,其他成本下降2元/件.①求该产品第一年的售价;②若第二年售价不高于第一年,销售量不超过13万件,则第二年利润最少是多少万元?
24.(12分)(2022?荆州)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点O是边AB上一个动点(不与点A重合),连接OD,将△OAD沿OD折叠,得到△OED;再以O为圆心,OA的长为半径作半圆,交射线AB于G,连接AE并延长交射线BC于F,连接EG,设OA=x.
(1)求证:DE是半圆O的切线:
(2)当点E落在BD上时,求x的值;
(3)当点E落在BD下方时,设△AGE与△AFB面积的比值为y,确定y与x之间的函数关系式;
(4)直接写出:当半圆O与△BCD的边有两个交点时,x的取值范围.
2022年湖北省荆州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共有10个小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)(2022?荆州)化简a﹣2a的结果是( )
A.﹣a B.a C.3a D.0
【分析】利用合并同类项的法则进行求解即可.
【解答】解:a﹣2a=(1﹣2)a=﹣a.
故选:A.
【点评】本题主要考查合并同类项,解答的关键是对合并同类项的法则的掌握.
2.(3分)(2022?荆州)实数a,b,c,d在数轴上对应点的位置如图,其中有一对互为相反数,它们是( )
A.a与d B.b与d C.c与d D.a与c
【分析】根据在数轴上,互为相反数的两个点位于原点的两侧,且到原点的距离相等判断即可.
【解答】解:∵c<0,d>0,|c|=|d|,
∴c,d互为相反数,
故选:C.
【点评】本题考查了相反数,实数与数轴,掌握相反数的两个点位于原点的两侧,且到原点的距离相等是解题的关键.
3.(3分)(2022?荆州)如图,直线l1∥l2,AB=AC,∠BAC=40°,则∠1+∠2的度数是( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
【分析】过点C作CD∥l1,利用平行线的性质可得∠1+∠2=∠ACB,再由等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC,从而可求解.
【解答】解:过点C作CD∥l1,如图,
∵l1∥l2,
∴l1∥l2∥CD,
∴∠1=∠BCD,∠2=∠ACD,
∴∠1+∠2=∠BCD+∠ACD=∠ACB,
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC,
∵∠BAC=40°,
∴∠ACB=(180°﹣∠BAC)=70°,
∴∠1+∠2=70°.
故选:B.
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质,平行线的性质,解答的关键是由平行线的性质得∠1+∠2=∠ACB.
4.(3分)(2022?荆州)从班上13名排球队员中,挑选7名个头高的参加校排球比赛.若这13名队员的身高各不相同,其中队员小明想知道自己能否入选,只需知道这13名队员身高数据的( )
A.平均数 B.中位数 C.最大值 D.方差
【分析】由于共有13名排球队员,挑选7名个头高的参加校排球比赛,故应考虑中位数的大小.
【解答】解:共有13名排球队员,挑选7名个头高的参加校排球比赛,所以小明需要知道自己是否入选.
我们把所有同学的身高按大小顺序排列,第7名学生的身高是这组数据的中位数,
所以小明知道这组数据的中位数,才能知道自己是否入选.
故选:B.
【点评】本题考查了用中位数的意义解决实际问题.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
5.(3分)(2022?荆州)“爱劳动,劳动美.”甲、乙两同学同时从家里出发,分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动.若甲、乙的速度比是3:4,结果甲比乙提前20min到达基地,求甲、乙的速度.设甲的速度为3xkm/h,则依题意可列方程为( )
A.+= B.+20=
C.﹣= D.﹣=20
【分析】根据甲、乙的速度比是3:4,可以设出甲和乙的速度,然后根据甲比乙提前20min到达基地,可以列出相应的方程.
【解答】解:由题意可知,甲的速度为3xkm/h,则乙的速度为4xkm/h,
+=,
即+=,
故选:A.
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的分式方程.
6.(3分)(2022?荆州)如图是同一直角坐标系中函数y1=2x和y2=的图象.观察图象可得不等式2x>的解集为( )
A.﹣1<x<1 B.x<﹣1或x>1
C.x<﹣1或0<x<1 D.﹣1<x<0或x>1
【分析】结合图象,数形结合分析判断.
【解答】解:由图象,函数y1=2x和y2=的交点横坐标为﹣1,1,
∴当﹣1<x<0或x>1时,y1>y2,即2x>,
故选:D.
【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用,掌握一次函数和反比例函数图象的性质,利用数形结合思想解题是关键.
7.(3分)(2022?荆州)关于x的方程x2﹣3kx﹣2=0实数根的情况,下列判断正确的是( )
A.有两个相等实数根 B.有两个不相等实数根
C.没有实数根 D.有一个实数根
【分析】由根的判别式的符号来判定原方程的根的情况.
【解答】解:∵关于x的方程x2﹣3kx﹣2=0根的判别式Δ=(﹣3k)2﹣4×1×(﹣2)=9k2+8>0,
∴x2﹣3kx﹣2=0有两个不相等实数根,
故选:B.
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2﹣4ac有如下关系:
①当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;
②当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;
③当Δ<0时,方程无实数根.
上面的结论反过来也成立.
8.(3分)(2022?荆州)如图,以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧,恰好与BC边相切,分别交AB,AC于D,E,则图中阴影部分的面积是( )
A.﹣ B.2﹣π C. D.﹣
【分析】作AF⊥BC,由勾股定理求出AF,然后根据S阴影=S△ABC﹣S扇形ADE得出答案.
【解答】解:由题意,以A为圆心、一定的长为半径画弧,恰好与BC边相切,
设切点为F,连接AF,则AF⊥BC.
在等边△ABC中,AB=AC=BC=2,∠BAC=60°,
∴CF=BF=1.
在Rt△ACF中,AF==,
∴S阴影=S△ABC﹣S扇形ADE
=×2×﹣
=﹣,
故选:D.
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质,求扇形面积,理解切线的性质,将阴影部分的面积转化为三角形的面积﹣扇形的面积是解题的关键.
9.(3分)(2022?荆州)如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC:BC=1:2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是( )
A. B. C. D.3
【分析】根据OP∥AB,证明出△OCP∽△BCA,得到CP:AC=OC:BC=1:2,过点P作PQ⊥x轴于点Q,根据∠AOC=∠AQP=90°,得到CO∥PQ,根据平行线分线段成比例定理得到OQ:AO=CP:AC=1:2,根据P(1,1),得到PQ=OQ=1,得到AO=2,根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值.
【解答】解:如图,过点P作PQ⊥x轴于点Q,
∵OP∥AB,
∴∠CAB=∠CPO,∠ABC=∠COP,
∴△OCP∽△BCA,
∴CP:AC=OC:BC=1:2,
∵∠AOC=∠AQP=90°,
∴CO∥PQ,
∴OQ:AO=CP:AC=1:2,
∵P(1,1),
∴PQ=OQ=1,
∴AO=2,
∴tan∠OAP===.
故选:C.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义,根据平行线分线段成比例定理得到OQ:AO=CP:AC=1:2是解题的关键.
10.(3分)(2022?荆州)如图,已知矩形ABCD的边长分别为a,b,进行如下操作:第一次,顺次连接矩形ABCD各边的中点,得到四边形A1B1C1D1;第二次,顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点,得到四边形A2B2C2D2;…如此反复操作下去,则第n次操作后,得到四边形AnBn?nDn的面积是( )
A. B. C. D.
【分析】连接A1C1,D1B1,可知四边形A1B1C1D1的面积为矩形ABCD面积的一半,则S1=ab,再根据三角形中位线定理可得C2D2=C1,A2D2=B1D1,则S2=C1×B1D1=ab,依此可得规律.
【解答】解:如图,连接A1C1,D1B1,
∵顺次连接矩形ABCD各边的中点,得到四边形A1B1C1D1,
∴四边形A1BCC1是矩形,
∴A1C1=BC,A1C1∥BC,
同理,B1D1=AB,B1D1∥AB,
∴A1C1⊥B1D1,
∴S1=ab,
∵顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点,得到四边形A2B2C2D2,
∴C2D2=C1,A2D2=B1D1,
∴S2=C1×B1D1=ab,
……
依此可得Sn=,
故选:A.
【点评】本题主要考查了矩形的性质,三角形中位线定理等知识,通过计算S1、S2发现规律是解决问题的关键.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)(2022?荆州)一元二次方程x2﹣4x+3=0配方为(x﹣2)2=k,则k的值是 1 .
【分析】根据配方法可以将题目中方程变形,然后即可得到k的值.
【解答】解:∵x2﹣4x+3=0,
∴x2﹣4x=﹣3,
∴x2﹣4x+4=﹣3+4,
∴(x﹣2)2=1,
∵一元二次方程x2﹣4x+3=0配方为(x﹣2)2=k,
∴k=1,
故答案为:1.
【点评】本题考查解一元二次方程—配方法,解答本题的关键是明确题意,会用配方法将方程变形.
12.(3分)(2022?荆州)如图,点E,F分别在?ABCD的边AB,CD的延长线上,连接EF,分别交AD,BC于G,H.添加一个条件使△AEG≌△CFH,这个条件可以是 BE=DF(答案不唯一) .(只需写一种情况)
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD,∠A=∠C,AB=CD,根据全等三角形的判定可得出结论.
【解答】解:添加BE=DF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∠A=∠C,AB=CD,
∴∠E=∠F,
∵BE=DF,
∴BE+AB=CD+DF,
即AE=CF,
在△AEG和△CFH中,
,
∴△AEG≌△CFH(ASA).
故答案为:BE=DF(答案不唯一).
【点评】本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定,平行线的性质,熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
13.(3分)(2022?荆州)若3﹣的整数部分为a,小数部分为b,则代数式(2+a)?b的值是 2 .
【分析】根据的范围,求出3﹣的范围,从而确定a、b的值,代入所求式子计算即可.
【解答】解:∵1<<2,
∴1<3﹣<2,
∵若3﹣的整数部分为a,小数部分为b,
∴a=1,b=3﹣﹣1=2﹣,
∴(2+a)?b=(2+)(2﹣)=2,
故答案为:2.
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用,解题的关键是求出a、b的值.
14.(3分)(2022?荆州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,通过尺规作图得到的直线MN分别交AB,AC于D,E,连接CD.若CE=AE=1,则CD= .
【分析】如图,连接BE,根据作图可知MN为AB的垂直平分线,从而得到AE=BE=3,然后利用勾股定理求出BC,AB,最后利用斜边上的中线的性质即可求解.
【解答】解:如图,连接BE,
∵CE=AE=1,
∴AE=3,AC=4,
而根据作图可知MN为AB的垂直平分线,
∴AE=BE=3,
在Rt△ECB中,BC==2,
∴AB==2,
∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线,
∴CD=AB=.
故答案为:.
【点评】本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质,同时也利用勾股定理进行计算.
15.(3分)(2022?荆州)如图,将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上,测得瓶高AB=20cm,底面直径BC=12cm,球的最高点到瓶底面的距离为32cm,则球的半径为 7.5 cm(玻璃瓶厚度忽略不计).
【分析】设球心为O,过O作OM⊥AD于M,连接OA,设球的半径为rcm,由垂径定理得AM=DM=AD=6(cm)然后在Rt△OAM中,由勾股定理得出方程,解方程即可.
【解答】解:如图,设球心为O,过O作OM⊥AD于M,连接OA,
设球的半径为rcm,
由题意得:AD=12cm,OM=32﹣20﹣r=(12﹣r)(cm),
由垂径定理得:AM=DM=AD=6(cm),
在Rt△OAM中,由勾股定理得:AM2+OM2=OA2,
即62+(12﹣r)2=r2,
解得:r=7.5,
即球的半径为7.5cm,
故答案为:7.5.
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识,熟练掌握垂径定理,由勾股定理得出方程是解题的关键.
16.(3分)(2022?荆州)规定;两个函数y1,y2的图象关于y轴对称,则称这两个函数互为“Y函数”.例如:函数y1=2x+2与y2=﹣2x+2的图象关于y轴对称,则这两个函数互为“Y函数”.若函数y=kx2+2(k﹣1)x+k﹣3(k为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个交点,则其“Y函数”的解析式为 y=2x﹣3或y=﹣x2+4x﹣4 .
【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点,分情况讨论求解.
【解答】解:∵函数y=kx2+2(k﹣1)x+k﹣3(k为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个交点,
∴函数y=kx2+2(k﹣1)x+k﹣3(k为常数)的图象与x轴也只有一个交点,
当k=0时,函数解析为y=﹣2x﹣3,它的“Y函数”解析式为y=2x﹣3,它们的图象与x轴只有一个交点,
当k≠0时,此函数是二次函数,
∵它们的图象与x轴都只有一个交点,
∴它们的顶点分别在x轴上,
∴=0,
解得:k=﹣1,
∴原函数的解析式为y=﹣x2﹣4x﹣4=﹣(x+2)2,
∴它的“Y函数”解析式为y=﹣(x﹣2)2=﹣x2+4x﹣4,
综上,“Y函数”的解析式为y=2x﹣3或y=﹣x2+4x﹣4,
故答案为:y=2x﹣3或y=﹣x2+4x﹣4.
【点评】本题考查了新定义,利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式,理解题意,利用分类讨论的思想是解题是关键.
三、解答题(本大题共有8个小题,共72分)
17.(8分)(2022?荆州)已知方程组的解满足2kx﹣3y<5,求k的取值范围.
【分析】用加减消元法求出方程组的解,代入2kx﹣3y<5即可得到k的取值范围.
【解答】解:①+②得:2x=4,
∴x=2,
①﹣②得:2y=2,
∴y=1,
代入2kx﹣3y<5得:4k﹣3<5,
∴k<2.
答:k的取值范围为:k<2.
【点评】本题考查了解二元一次方程组,解一元一次不等式,解二元一次方程组的基本思路是消元,把二元方程转化为一元是解题的关键.
18.(8分)(2022?荆州)先化简,再求值:(﹣)÷,其中a=()﹣1,b=(﹣2022)0.
【分析】把除化为乘,再用乘法分配律,约分后计算同分母的分式相加减,化简后将a、b的值代入即可得到答案.
【解答】解:原式=[﹣]?
=?﹣?
=﹣
=
=,
∵a=()﹣1=3,b=(﹣2022)0=1,
∴原式=
=.
【点评】本题考查分式化简求值,解题的关键是掌握分式基本性质,将分式通分和约分.
19.(8分)(2022?荆州)为弘扬荆州传统文化,我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛活动.某校举办选拔赛后,随机抽取了部分学生的成绩,按成绩(百分制)分为A,B,C,D四个等级,并绘制了如下不完整的统计图表.
等级 成绩(x) 人数 A 90<x≤100 m B 80<x≤90 24 C 70<x≤80 14 D x≤70 10 根据图表信息,回答下列问题:
(1)表中m= 12 ;扇形统计图中,B等级所占百分比是 40% ,C等级对应的扇形圆心角为 84 度;
(2)若全校有1400人参加了此次选拔赛,则估计其中成绩为A等级的共有 280 人;
(3)若全校成绩为100分的学生有甲、乙、丙、丁4人,学校将从这4人中随机选出2人参加市级竞赛.请通过列表或画树状图,求甲、乙两人至少有1人被选中的概率.
【分析】(1)由D的人数除以所占比例得出抽取的学生人数,即可解决问题;
(2)由全校共有学生人数乘以成绩为A等级的学生所占的比例即可;
(3)画树状图,共有12种等可能的结果,其中甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种,再由概率公式求解即可.
【解答】解:(1)抽取的学生人数为:10÷=60(人),
∴m=60﹣24﹣14﹣10=12,
扇形统计图中,B等级所占百分比是:24÷60×100%=40%,C等级对应的扇形圆心角为:360°×=84°,
故答案为:12,40%,84;
(2)估计其中成绩为A等级的共有:1400×=280(人),
故答案为:280;
(3)画树状图如下:
共有12种等可能的结果,其中甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种,
∴甲、乙两人至少有1人被选中的概率为=.
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及统计表和扇形统计图等知识.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
20.(8分)(2022?荆州)如图,在10×10的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,顶点均在格点上的图形称为格点图形,图中△ABC为格点三角形.请按要求作图,不需证明.
(1)在图1中,作出与△ABC全等的所有格点三角形,要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边,且不与△ABC重叠;
(2)在图2中,作出以BC为对角线的所有格点菱形.
【分析】(1)根据全等三角形的判定画出图形即可;
(2)根据菱形的定义画出图形即可.
【解答】解:(1)如图1中,△ABD1,△ABD2,△ACD3,△ACD4,△CBD5即为所求;
(2)如图2中,菱形ABDC,菱形BECF即为所求.
【点评】本题考查作图﹣复杂作图,全等三角形的判定,菱形的判定和性质等知识,解题的关键是掌握全等三角形的判定,菱形的判定,属于中考常考题型.
21.(8分)(2022?荆州)荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外.如图,某校学生测量其高AB(含底座),先在点C处用测角仪测得其顶端A的仰角为32°,再由点C向城徽走6.6m到E处,测得顶端A的仰角为45°.已知B,E,C三点在同一直线上,测角仪离地面的高度CD=EF=1.5m,求城徽的高AB.(参考数据:sin32°≈0.530,cos32°≈0.848,tan32°≈0.625).
【分析】延长DF交AB于点G,则∠AGF=90°,DF=CE=6.6米,CD=EF=BG=1.5米,设FG=x米,先在Rt△AGF中,利用锐角三角函数的定义求出AG的长,再在Rt△AGD中,利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程,进行计算即可解答.
【解答】解:延长DF交AB于点G,
则∠AGF=90°,DF=CE=6.6米,CD=EF=BG=1.5米,
设FG=x米,
∴DG=FG+DF=(x+6.6)米,
在Rt△AGF中,∠AFG=45°,
∴AG=FG?tan45°=x(米),
在Rt△AGD中,∠ADG=32°,
∴tan32°==≈0.625,
∴x=11,
经检验:x=11是原方程的根,
∴AB=AG+BG=11+1.5=12.5(米),
∴城徽的高AB约为12.5米.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
22.(10分)(2022?荆州)小华同学学习函数知识后,对函数通过列表、描点、连线,画出了如图1所示的图象.
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ ﹣ 0 1 2 3 4 … y … 1 2 4 1 0 ﹣4 ﹣2 ﹣ ﹣1 … 请根据图象解答:
(1)【观察发现】①写出函数的两条性质: 函数有最大值为4 ; 当x>0时,y随x的增大而增大 ;②若函数图象上的两点(x1,y1),(x2,y2)满足x1+x2=0,则y1+y2=0一定成立吗? 不一定 .(填“一定”或“不一定”)
(2)【延伸探究】如图2,将过A(﹣1,4),B(4,﹣1)两点的直线向下平移n个单位长度后,得到直线l与函数y=﹣(x≤﹣1)的图象交于点P,连接PA,PB.①求当n=3时,直线l的解析式和△PAB的面积;②直接用含n的代数式表示△PAB的面积.
【分析】(1)①根据函数图象可得性质;
②假设x1=﹣,则y1=1,再根据x2求出y2的值,可知y1+y2=0不一定成立;
(2)①首先利用待定系数法求出直线AB的解析式,当n=3时,直线l的解析式为y=﹣x,设直线AB与y轴交于C,利用平行线之间的距离相等,可得△PAB的面积=△AOB的面积,从而得出答案;
②设直线l与y轴交于D,同理得△PAB的面积=△ABD的面积,即可解决问题.
【解答】解:(1)①由图象知:函数有最大值为4,当x>0时,y随x的增大而增大(答案不唯一);
故答案为:函数有最大值为4,当x>0时,y随x的增大而增大(答案不唯一);
②假设x1=﹣,则y1=1,
∵x1+x2=0,
∴x2=,
∴y2=﹣8,
∴y1+y2=0不一定成立,
故答案为:不一定;
(2)①设直线AB的解析式为y=kx+b,
则,
解得,
∴直线AB的解析式为y=﹣x+3,
当n=3时,直线l的解析式为y=﹣x+3﹣3=﹣x,
设直线AB与y轴交于C,
则△PAB的面积=△AOB的面积,
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC===,
∴△PAB的面积为;
②设直线l与y轴交于D,
∵l∥AB,
∴△PAB的面积=△ABD的面积,
由题意知,CD=n,
∴S△ABD=S△ACD+S△BCD
=
=.
∴△PAB的面积为.
【点评】本题是反比例函数综合题,主要考查了函数图象的性质,待定系数法求函数解析式,平移的性质,三角形的面积等知识,利用平行线进行等面积转化是解题的关键.
23.(10分)(2022?荆州)某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品,按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算,该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=24﹣x,第一年除60万元外其他成本为8元/件.
(1)求该产品第一年的利润w(万元)与售价x之间的函数关系式;
(2)该产品第一年利润为4万元,第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后,其他成本下降2元/件.①求该产品第一年的售价;②若第二年售价不高于第一年,销售量不超过13万件,则第二年利润最少是多少万元?
【分析】(1)根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本,列出式子即可;
(2)①构建方程即可求出该产品第一年的售价;
②根据题意求出自变量的取值范围,再根据二次函数性质即可解决问题;
【解答】解:(1)根据题意得:w=(x﹣8)(24﹣x)﹣60=﹣x2+32x﹣252;
(2)①∵该产品第一年利润为4万元,
∴4=﹣x2+32x﹣252,
解得:x=16,
答:该产品第一年的售价是16元.
②∵第二年产品售价不超过第一年的售价,销售量不超过13万件,
∴,
解得11≤x≤16,
设第二年利润是w''万元,
w''=(x﹣6)(24﹣x)﹣4=﹣x2+30x﹣148,
∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=15,又11≤x≤16,
∴x=11时,w''有最小值,最小值为(11﹣6)×(24﹣11)﹣4=61(万元),
答:第二年的利润至少为61万元.
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识,解题的关键是理解题意,学会构建方程或函数解决问题,属于中考常考题型.
24.(12分)(2022?荆州)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点O是边AB上一个动点(不与点A重合),连接OD,将△OAD沿OD折叠,得到△OED;再以O为圆心,OA的长为半径作半圆,交射线AB于G,连接AE并延长交射线BC于F,连接EG,设OA=x.
(1)求证:DE是半圆O的切线:
(2)当点E落在BD上时,求x的值;
(3)当点E落在BD下方时,设△AGE与△AFB面积的比值为y,确定y与x之间的函数关系式;
(4)直接写出:当半圆O与△BCD的边有两个交点时,x的取值范围.
【分析】(1)证明OE⊥DE,可得结论;
(2)图2中,当点E落在BD上时,利用面积法构建方程求出x即可;
(3)图2中,当点E落在BD上时,利用面积法求出AJ,AE,再利用相似三角形的性质求解即可;
(4)当⊙O与CD相切时,x=3,当⊙O经过点C时,x2=(4﹣x)2+32,解得x=,结合图形,判断即可.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAO=90°,
∵将△OAD沿OD折叠,得到△OED,
∴∠OED=∠DAO=90°,
∴OE⊥DE,
∵OE是半径,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:如图2中,当点E落在BD上时,
在Rt△ADB中,∠DAB=90°,AD=3,AB=4,
∴BD===5,
∵S△ADB=S△ADO+S△BDO,
∴×3×4=×3×x+×5×x,
∴x=.
(3)解:图2中,当点E落在BD上时,
∵DA=DE,OA=OE,
∴OD垂直平分线段AE,
∵?AD?AO=?DO?AJ,
∴AJ=,
∴AE=2AJ=,
∵AG是直径,
∴∠AEG=∠ABF=90°,
∵∠EAG=∠BAF,
∴△AEG∽△ABF,
∴y==()2==(0<x<4);
(4)当⊙O与CD相切时,x=3,
当⊙O经过点C时,x2=(4﹣x)2+32,
∴x=,
观察图象可知,当<x<3或<x≤4时,半圆O与△BCD的边有两个交点.
【点评】本题属于圆综合题,考查了矩形的性质,切线的判定,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用面积法解决问题,学会寻找特殊位置解决问题,属于中考压轴题.
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