《數理精藴》和差角之三角函數公式上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：本文
主要談及《數理精藴》和差角之三角函數式，稱為“二簡法”，指有兩弧所對圓心角之正弦、餘弦，求兩弧相加、相減之正弦。關鍵詞：二簡法
正弦 餘弦本文數學題取材自《御製數理精藴?下編?卷十六?體部五》﹝簡稱為《數理精藴》﹞分題為“割圜”。《數理精藴》有所謂“二簡法
”，即和差角之三角函數。《數理精藴》注文簡介如下：二簡法：有兩弧之正弦、餘弦，求兩弧相加、相減之正弦。有距六十度前後相等弧之正弦，
求距弧之正弦。“弧”指圓弧所對之圓心角。“二簡法”指出以下二公式：sin (θ + α) = sin θ cos α + cos
θ sin αsin (θ – α) = sin θ cos α – cos θ sin α《數理精藴》曰若已知sin θ、cos
θ、sin α及cos α，則即可知 sin (θ + α) 及 sin (θ – α) 之值，《數理精藴》以幾何圖証明以上兩式
。以下為《數理精藴》之圖。今設圓半徑為 1，∠甲戊乙 = θ，∠乙戊丙 = α﹝為方便說明，今設 θ > α﹞，自丙畫垂線丙癸垂直
戊甲，又自乙畫垂線乙己垂直戊甲，自丙畫垂線丙庚子垂直戊乙，又自庚畫垂線庚辛垂直戊甲，自庚畫垂線庚壬垂直丙癸。以下為《數理精藴》之兩
角和圖：辛θθ庚α癸從圖可知∠丙戊癸 = θ + α，是為兩角之和。今求 sin (θ + α) 。在Δ丙戊癸中，顯然 丙癸 =
sin (θ + α) ----------------------- (1)在Δ丙戊庚中，丙庚 = sin α，在直角Δ丙壬庚中
，丙壬 = 丙庚cos θ，所以丙壬 = cos θ sin α。又在直角Δ丙戊庚中，戊庚 = cos α，在直角Δ戊庚辛中，庚辛
= 戊庚sin θ，所以庚辛 = sin θ cos α﹝前式代入﹞。又庚辛 = 壬癸，但丙癸 = 丙壬 + 壬癸 = 丙壬 +
庚辛。以相關式代入所以丙癸 = sin θ cos α + cos θ sin α ----------------------
------- (2)又比較 (1) 和 (2) 式即可知sin (θ + α) = sin θ cos α + cos θ si
n α。是為三角正弦和角函數式。以下為兩角差圖：θα庚θ – α 癸辛若∠甲戊乙 = θ，∠乙戊子 = α，所以∠子戊丑 = θ
– α，是為兩角之差。今求 sin (θ – α) 。自子畫垂線子丑垂直戊甲，又自子畫垂線子卯垂直庚辛。可知子丑 = 卯辛。從圖可
知在直角Δ戊子丑中，子丑 = sin (θ – α) --------------------- (3)在直角Δ戊子庚中，戊庚 =
cos α，庚辛 = 戊庚sin θ，所以庚辛 = cos α sin θ。在Δ子戊庚中，庚子 = sin α，又在直角Δ子庚卯
中，庚卯 = 庚子cos θ，注意∠子庚卯 = θ﹝証明略去﹞。所以庚卯 = sin α cos θ。從圖可知子丑 = 卯辛 =
庚辛 – 庚卯= sin θ cos α – cos θ sin α ------------------------------
- (4)比較 (3) 和 (4) 式即可知sin (θ – α) = sin θ cos α – cos θ sin α。是為三
角正弦差角函數式。以上兩式可推廣至 θ 與 α 大於90度。〈第一題〉設如四十五度之正弦七萬零七百一十﹝小餘六七八一一八六﹞，餘弦
亦七萬零七百一十﹝小餘六七八一一八六﹞；又有二十四度之正弦四萬零六百七十三﹝小餘六六四三○七五﹞，餘弦九萬一千三百五十四﹝小餘五四
五七六四二﹞。求：兩弧相加六十九度之正弦及兩弧相減二十一度之正弦各幾何？解：已知 θ = 45o，α = 24o﹝參閱以上之兩角和
圖及兩角差圖﹞，求sin (θ + α) = sin 69o，及 sin (θ – α) = sin 21o。已知 sin 45o
= 70710.6781186，cos 45o = 70710.6781186，sin 24o = 40673.6643075，
cos 24o = 91354.5457642。《數理精藴》之算法曰：法以半徑十萬為一率，四十五度之正弦七萬零七百一十﹝小餘六七八
一一八六﹞為二率，二十四度之餘弦九萬一千三百五十四﹝小餘五四五七六四二﹞為三率，求得四率六萬四千五百九十七﹝小餘四一八八○二○﹞。
先列出比例四率如下：一率：100000二率：sin 45o = 70710.6781186三率：cos 24o = 91354.5
457642四率：庚辛 = 壬癸。依比例四率得 一率：二率 = 三率：四率即一率 × 四率 = 二率 × 三率壬癸 = × 70
710.6781186 × 91354.5457642= 64597.4188020。以上之四率法其實算出 sin 45o 與 c
os 24o 之積。《數理精藴》又曰：又以半徑十萬為一率，四十五度之餘弦七萬零七百一十﹝小餘六七八一一八六﹞為二率，二十四度之正弦
四萬零六百七十三﹝小餘六六四三○七五﹞為三率，求得四率二萬八千七百六十﹝小餘六二三八四七六﹞。先列出比例四率如下：一率：10000
0二率：cos 45o = 70710.6781186三率：sin 24o = 40673.6643075四率：丙壬。依比例四率得
一率：二率 = 三率：四率即一率 × 四率 = 二率 × 三率四率丙壬 = × 70710.6781186 × 40673.6
643075= 28760.6238467。以上之四率法其實算出 cos 45o 與 sin 24o 之積。《數理精藴》又曰：乃以
兩四率相加得九萬三千三百五十八﹝小餘○四二六四九六﹞，即兩弧相加所得六十九度之正弦，如以兩四率相減餘三萬五千八百三十六﹝小餘七九四
九五四五﹞即兩弧相減所餘二十一度之正弦也。以上說法即：sin 69o = 64597.4188020 + 28760.623846
7 = 93358.0426496。sin 21o = 64597.4188020 – 28760.6238467 = 35836
.7949545。注意弦為 100000。寫成和差角公式以上即：sin (45o + 24o) = sin 45o cos 24o
+ cos 45o sin 24o。sin (45o – 24o) = sin 45o cos 24o – cos 45o si
n 24o。以下為其一般情況﹝証明見前文﹞：sin (θ + α) = sin θ cos α + cos θ sin α。sin
(θ – α) = sin θ cos α – cos θ sin α。《數理精藴》又解釋曰：如甲乙丙丁九十度之一象限，其乙甲弧
四十五度，乙己為四十五度之正弦，己戊為四十五度之餘弦。於乙甲弧四十五度加丙乙弧二十四度得丙甲弧六十九度，又於乙甲弧四十五度減乙子弧
二十四度餘子甲弧二十一度。試自丙至子作丙子線，則丙乙弧、乙子弧皆為二十四度，丙庚與庚子皆為二十四度之正弦，庚戊則為二十四度之餘弦。
今以乙戊半徑為一率，乙己四十五度之正弦為二率，庚戊二十四度之餘弦為三率，求得四率庚辛與壬癸等。又以乙戊半徑為一率，己戊四十五度之餘
弦為二率，丙庚二十四度之正弦為三率，求得四率丙壬。故以丙壬加於庚辛，庚辛原與壬癸等，共得丙癸，即丙甲弧六十九度之正弦。如於庚辛內減
與丙壬相等之庚卯，餘卯辛與子丑等，即子甲弧二十一度之正弦也。葢乙己戊與庚辛戊為同式勾股形，故乙戊與乙己之比同於庚戊與庚辛之比為相當
比例四率。又寅癸戊與乙己戊亦為同式勾股形，而寅癸戊勾股形之寅角與丙庚寅勾股形之寅角為兩尖相對角，其度等，癸角與庚角俱為直角其度又等
，則戊角必與丙角等，如作庚壬線成丙壬庚勾股形，則此形之丙角既與乙己戊勾股形之戊角等，而壬角又為直角與乙己戊勾股形之己角等，故亦為同
式勾股形，而乙戊與己戊之比同於丙庚與丙壬之比為相當比例四率也。以上之說見下圖﹝亦見前文之兩圖﹞：24o21o以下為《數理精藴》原文
：〈第二題〉設如八十四度之弧，距六十度二十四度，其正弦九萬九千四百五十二﹝小餘一八九五三六八﹞，又有三十六度之弧，距六十度亦二十四
度，其正弦五萬八千七百七十八﹝小餘五二五二二九二﹞，求：距弧二十四度之正弦幾何？解：先參閱下圖：36o24o上圖之∠甲戊己 = 6
0o，∠己戊丁 = 30o，∠乙戊己 =∠己戊丙 = 24o，∠丙戊丁 = 6o。∠甲戊丙 = 60o + 24o = 84o，∠
甲戊乙 = 60o – 24o = 36o。丙庚垂直戊甲，丙子乙為等邊Δ，戊癸為乙丙之中垂線，乙壬為丙子之中垂線。又已知 sin
84o = 99452.1895368，sin 36o = 58778.5252292，求sin 24o。從圖可知 sin 84o
= 丙庚，sin 36o = 乙辛，sin 24o = 乙癸。上文云Δ丙子乙是一等邊正三角形，戊癸乃乙丙之中垂線，乙壬乃丙子之中
垂線，所以可知乙癸 = 癸丙 = 丙壬 = 壬子，所以丙庚 – 乙辛 = 丙庚 – 壬庚 = 丙壬 = 乙癸，即 sin 84o
– sin 36o = sin 24o，即 sin 24o = 99452.1895368 – 58778.5252292 = 4
0673.6643076。注意弦即圓半徑為 100000。《數理精藴》又解釋曰：法以八十四度之正弦九萬九千四百五十二﹝小餘一八九五
三六八﹞內減三十六度之正弦五萬八千七百七十八﹝小餘五二五二二九二﹞，餘四萬零六百七十三﹝小餘六六四三○七六﹞，即距弧二十四度之正弦
也。以下為其証明：sin 84o = sin (60o + 24o) = sin 60o cos 24o + cos 60o si
n 24o ---------- (5)sin 36o = sin (60o – 24o) = sin 60o cos 24o –
cos 60o sin 24o ----------- (6)(5) – (6) 得 sin 84o – sin 36o = ?
sin 24o + ?sin 24o = sin 24o。注意cos 60o = 。以下為其一般情況：sin (60o + β)
= sin 60o cos β + cos 60o sin β -------------------------------
(7)sin (60o – β) = sin 60o cos β – cos 60o sin β ----------------
---------------- (8)(7) – (8) 得 sin (60o + β) – sin (60o – β) = ?
sin β + ?sin β = sin β ---- (9)(9) 式乃《數理精藴》提出之三角恆等式，但此恆等式用途不大。又 (
7) + (8) 得 sin (60o + β) + sin (60o – β)= ?√3 cos β + ?√3 cos β =
√3 cos β----------------------------------------------------- (1
0)與 (9) 相同，(10) 之恆等式用途亦不大。〈第三題〉本題其實為上題之移項，並無新意。(a)如有距六十度前二十四度為三十六
度，其正弦五萬八千七百七十八﹝小餘五二五二二九二﹞，距弧二十四度之正弦四萬零六百七十三﹝小餘六六四三○七六﹞，求：距六十度後二十四
度為八十四度之正弦？則以三十六度之正弦五萬八千七百七十八﹝小餘五二五二二九二﹞與距弧二十四度之正弦四萬零六百七十三﹝小餘六六四三○
七六﹞相加得九萬九千四百五十二﹝小餘一八九五三六八﹞即八十四度之正弦也。上文意指若已知sin 36o = 58778.525229
2，sin 24o = 40673.6643076，求 sin 84o。從上式可知sin 84o – sin 36o = sin
24o，移項得：sin 84o = sin 24o + sin 36o= 40673.6643076 + 58778.525229
2= 99452.1895368。答：sin 84o = 99452.1895368。(b)又如有距六十度後二十四度為八十四度，其
正弦九萬九千四百五十二﹝小餘一八九五三六八﹞，距弧二十四度之正弦四萬零六百七十三﹝小餘六六四三○七六﹞，求：距六十度前二十四度為三
十六度之正弦？則以八十四度之正弦九萬九千四百五十二﹝小餘一八九五三六八﹞與距弧二十四度之正弦四萬零六百七十三﹝小餘六六四三○七六﹞
相減，餘五萬八千七百七十八﹝小餘五二五二二九二﹞，即三十六度之正弦也。若已知sin 84o = 99452.1895368，sin
24o = 40673.6643076。從上式可知sin 84o – sin 36o = sin 24o，移項得：sin 36o
= sin 84o – sin 24o= 99452.1895368 – 40673.6643076= 58778.525229
2。以下之說明須回顧以上之圖，如甲乙丙丁九十度之一象限，其己甲弧六十度，丙甲弧八十四度，丙距己二十四度，乙甲弧三十六度，乙距己亦二
十四度，丙庚為八十四度之正弦，乙辛為三十六度之正弦，與壬庚等。丙壬為兩正弦之較，試自己至象限中心戊作己戊線，又自丙至乙作丙乙線，則
丙癸、癸乙皆為距弧二十四度之正弦，與丙壬兩正弦之較相等。葢己戊甲角六十度，則己戊丁角為三十度，丙庚與丁戊平行，則丙子己角與丁戊己角為二平行線，上所成之內外角必相等，皆為三十度，丙癸子角為直角，則子丙癸角必為六十度矣。又自乙至子作乙子線，則乙癸子與丙癸子為同形勾股形，癸乙子角亦必為六十度，癸子乙角亦必為三十度，兩勾股形合之共成一丙乙子三角形，而丙子乙角亦必為六十度矣。三角度既等，則三邊必相等，今丙壬為丙子之半，丙癸為丙乙之半。丙子既與丙乙等，故丙壬亦必與丙癸等也。有此法，凡有六十度以前各弧之正弦，則以各距弧之正弦，與之相加可得六十度以後三十度各弧之正弦。若有六十度以後，各弧之正弦則以各距弧之正弦與之相減，可得六十度以前三十度各弧之正弦，六十度前後三十度之正弦，用加減而即得，較之勾股比例諸法，甚為簡便也。以下為《數理精藴》原文：(1) |
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