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AMSS202201 构造一个次数尽可能低的多项式,并且满足 解 注意到,而当为或或时,都不存在满足题意的.由题意可知,设 代入可知求得,故 AMSS202202 设, 是素数. (1)证明: 在上无重根. (2)证明: 在上不可约. 证明 (1)由于,计算的结式可知 故,故在上无重根. (2)注意到素数满足,由Eisenstein判别法可知在上不可约. 注记 (1)也可用辗转相除法来求证,细节留给读者补充. AMSS202203 (1)对于矩阵满足 证明: . 证明 只需证明只有零解.若不然,则设非零解为,假定是其中绝对值最大者.将解代入该方程组的第个方程式,得到 即有 将上式两边同时取绝对值,利用三角不等式放缩有 这与条件矛盾,故只有零解,即. (2)已知矩阵的全部特征值为,求伴随矩阵的特征值. 证明 由于任意一个阶矩阵均相似于上三角阵,设 因为上三角矩阵的伴随矩阵仍然是上三角矩阵,经计算可知 故的全部特征值为AMSS202204 已知正交变换将二次型 化为标准型,求和正交变换.解 注意到求出.分别计算属于特征值和和的两两正交的特征向量有 单位化后得到正交变换对应的正交矩阵令,则所求正交变换为. AMSS202205 设是次数小于的实多项式环,有到的线性函数, 互不相同,定义 证明: 是上的线性无关函数.证明 注意到存在,使得 这个行列式的值是.而是线性无关的.故是上的线性无关函数. AMSS202206 已知 定义, .求的迹和行列式. 解法1(基础矩阵) 取的一组基,计算可知 故在这组基下的表示矩阵为故 解法2(Kronecker积) 由Kronecker积的性质可知 AMSS202207 定义上的线性变换 设的特征值为且求.证明 断言与无公共特征值,若不然,不妨取公共特征值记为,则存在,使得,即,这与题意矛盾.故矩阵方程只有零解.即,由维数公式可知 AMSS202208 设为正交矩阵, 是的一个复特征值.设是实向量,记是属于特征值的特征向量.证明: 与正交且模长相等. 引理 设是维内积空间, 是上的正规算子, 是中的非零向量,则是属于其特征值的特征向量的充要条件是是属于特征值的特征向量. 引理证明 断言由于 又因为,且故也是正规算子,即对任意成立,故当且仅当.证明 由题意知 比较实部和虚部可得由引理可知比较实部和虚部可得由于计算可知且AMSS202209 设是非零复数, 为正整数. (1)求的Jordan标准型; (2)证明:存在阶复方阵使得; (3)证明:对任意阶可逆复方阵都存在阶复方阵,使得. 证明 (1)注意到的特征值都是,考虑,有 于是,从而特征值的几何重数为,即只有一个Jordan块,故其Jordan标准型为.(2)由(1)可知,存在可逆矩阵,使得 取满足题意.(3)设为非异阵,使得 为的Jordan标准型.由于的特征值都非零,故取定,都有,由(1)可知存在可逆阵,使得.令则是非异阵,且,于是令,则有 |
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