|
女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。 本文从理论上分析了编结交织饰品中的纽结拓扑类型的统计分布。纽结类型的识别是计算机辅助的。分布是高度分化的：少数结类型是非常常见的，而很大一部分根本没有发现。 1.介绍 纽结的数学研究始于19世纪70年代，当时有人提出原子可能是以太中打结的漩涡。最初的目标之一是制作一个纽结的目录，到1900年，已经制作了一个包含84个素纽结，最多有9个交叉点的表。那时，物理学家已经从打结原子假说中走出来，这个项目的原始动机也消失了，但是拓扑学的主题正在兴起，而纽结提供了一个测试新代数工具的例子来源。结果表明，目录是完整的，没有重复。 数学的某些领域已经被几乎没有受过数学训练的人以一种直观的方式探索了，而且往往早在数学家意识到有一个学科可以研究之前就出现了。由于纽结目录是一个相当小的简单形式的集合，我认为他们的一个重要的比例可能会在交织装饰中找到。在凯尔特艺术中可以找到各种各样的纽结设计，我研究了这些，从目录中确定了它们的组成部分(主要因素)。我失望地发现同样的几个结类型反复出现:31、41、62、813和920。我想知道这是一种有意识的艺术选择，还是只是一种构造方法的结果，我系统地列举了各种可能性，并确定了每一个结。对枚举施加了限制，以排除那些艺术家似乎认为太简单而不具有视觉吸引力的配置。计数和鉴定均采用计算机辅助。结果表明，在各种形状的编结中，平滑交叉产生了非常不均匀的交替结类型分布，大约一半的设计只属于73种结类型中的7种，而25种结类型未被代表。 2.纽结及其衍生产品 最简单、最古老和最普遍的交错装饰的例子是用于镶边的纽结、链条和编织物。纽结是另一种基本设计，有时用于填充古代马赛克地板的嵌板。最简单的形式是在每条边的中点放置一个十字交叉，并以自然的方式连接自由端，从而构建出一个矩形的正方形网格。该过程可以在正方形网格的任何连通子集上执行，并且图1中展示了基于具有多达四个正方形的九个多联骨牌图的一些示例。
图1：由九个多联骨牌图导出的格子。 编结设计有一个明显的规律性，是由下面的正方形网格造成的。网格的存在可以被掩盖，简单重复的单调可以被更有趣的东西取代，同时仍然保持潜在的节奏。这是通过对一些交叉点进行简单的局部更改，将它们替换为“断点”来实现的。图2说明了可能性：(a)和(b)显示了交叉的两种可能方向；(c)和(d)显示消除或“平滑”每种方法的两种方法。破碎的圆不是设计的一部分，但表示修改的限制：圆外的设计不作任何更改，除了所指示的部分外，设计的任何部分都不包含在圆内。修饰包括用另一个圆的母题替换一个圆的母题。图2(c) - (d)所示的灰色水平线和垂直线，仅是指示已离开的十字路口位置的标记，并不是最终设计的一部分；它们被包括在下图中，作为可视化构造的辅助。
图2：可以在设计的一个小区域内进行的变化。 这种通过在大型编结工作中平滑交叉来构造交错装饰的技术是由Allen[2]在他花了20年时间研究凯尔特艺术后提出的构造凯尔特结设计的方法。这种方法现在在书籍[10]和互联网上有广泛的记录，人们还可以从那里下载交互式绘图工具[17]，只需点击鼠标就可以平滑地交叉。图3显示了通过以各种方式平滑交叉而从编织B派生出来的一些设计。
图3：可以从编织B中衍生出来的设计。 3.一些纽结理论 饰品的数学研究往往以对称性为基础，根据对称类型进行图案分析的理论也很完备[7,14,16]。交错设计的层次感意味着它们可以从上面或下面观看，所以它们是双面装饰的例子。两个侧面花纹的对称类型被分类为[14]，它们已被用于分析凯尔特结[4]中的饰带图案，但一般来说，交错图案的分析已在底层图案上进行，没有区分上下交叉[6,8]。 应当指出，这里提出的分析具有根本不同的性质。对平面装饰，甚至是双面装饰研究，本质上都是二维的。如果引入了拓扑，只允许设计平面内的变形。然而，结目录显示三维形式的图表。从纽结理论家的角度来看，交错的设计代表了一种灵活的空间结构，可以在三维空间中操作。例如，图4中所示的两个交错设计作为二维配置是不同的(无限区域遇到不同数量的交叉)。然而，它们是同一种三维形式的图表:一种设计可以重新排列，看起来像另一种设计，不是通过在平面上滑动线条，而是通过从页面上提起打结的结构，并以新的方式布局。这些设计据说是环境同位素。
图4：87的两张图。 我并不是建议用环境同位素来分类交错设计。这种充分的拓扑灵活性排除了以几何为基础的排列思想，而这是构成的基础。在交错设计中，交错始终次于底层模式中包含的结构。在这里，我更感兴趣的是看看艺术创造力是如何探索结的领域的，以及装饰艺术中有多少小结的拓扑类型。 我将简要回顾结理论的一些术语和结果。进一步的细节可参阅标准文本[1,3,5]。每个文本还包含一个副本的结目录作为附录。 “纽结”是一个圆在三维空间中的嵌入。“链环”是不相交的纽结的集合。两个链接被认为是等价的，如果一个可以使用R^3.的环境合痕变形到另一个“图表”是一个链接的二维表示，通常被认为是一个三维形式的常规投影，以便可以恢复双点处的“高于”关系。传统的注释是在投影中的每个双点擦除少部分的交叉链。带注释的双点称为“交叉点”。每一个环节都有无限多不同的图，即使平面上同胚的图被认为是等价的。 我们将把交错的图案解释为纽结图。在许多交错的设计中，几乎所有凯尔特的例子中，每条线在穿过十字路口时交替地穿过上方、下方、上方、下方。这样的图被称为“交替图”，我们将把注意力限制在它们上面。注意，有些链接不能用这种方式表示；特别是目录中的三个八十字节和八个九十字节没有交替图。 一个链接的复杂性的衡量标准是它的“交叉数”：在它的任何图中最小的交叉数。结目录是通过增加交叉数来排序的。每个结都有一个传统的Nm形式的标签，其中N和m都是整数；它表示有N个交叉的第m个结。 有时一个结可以被分割成一系列更小的结，连续地系在同一根绳子上。这种纽结被称为“复合纽结”，它们的基本组成部分被称为“素纽结”。我们在这里不需要三维的定义，因为一个类似于图表的概念就足够了。目录中只包括质数结。 假设有可能在纽结图上画一个恰好与它相交一次的环，这样交点就是一个交叉点。那么设计就可以简化，交叉的数量也可以减少，而不需要改变所描绘的结的类型(图的一部分可以解开)——见图5(c)。这个图叫做“可简化的”。 假设有可能在一个交错的设计上画一个环，它恰好在不相交的点上相交两次，并且在环的内部和外部有一些相交点。然后，设计可以分解成更简单的部分——例如，图5(d)可以由两个三叶形构成。这个图叫做“可分解的”。 在平滑交叉的地方有两条线。如果这些是由图的一个弧连接起来的，而这个弧没有经过任何其他的交叉点，我们说这个图“有一个尾巴”——见图5(b)。(注意，“尾巴”是一个非标准术语——它只在规定的潜在交叉点的网格上下文中才有意义。)
图5：排除的例子。 交替图具有一定的刚性，这赋予了它们许多有用的属性。特别是: `当且仅当交替图是可约的时，它可以用较少的交叉点重新绘制[9,12,15]. `当且仅当一个交替图是可分解的时，它才代表一个非素环[11]。 注意，一般来说，很难确定一个给定的图是最小的还是描述了一个主链接。 4. 案例研究 本文将通过一个典型实例的分析来说明本文的目的和方法。我们将从图1中提取编织B，并确定通过平滑交叉可以从它派生出哪些结。最初，我们通过以各种可能的方式平滑七个交叉点来产生大量的设计，首先一次一个，然后成对进行，等等。我们放弃具有以下属性的设计： (1)有一个以上的组件。 (2)有一条尾巴。 (3)可简化。 (4)可分解。 (5)交叉太少。 (6)它在几何上等同于已经发现的设计。 条件1排除链接。“无尽的结”是一种常见的交错装饰形式，其单一路径可能象征着无限、永恒或生命的持续循环。单一组件属性在凯尔特针织中非常重要，即使是在大型复杂的面板中，它也得以保持，有时是以牺牲整体设计的对称性为代价。条件2和3排除了因在平面内扩散而被稀释的设计，或包含无效交叉的设计，并且可以简化。条件4将搜索限制在目录中列出的质数结。“穿越多少次就够了”的问题(隐含在条件5中)是主观的，但是，在凯尔特编织物的例子中，交叉的密度很高，最多三分之一到二分之一的交叉被平滑。对于编织B，我要求在最终设计中至少有四个交叉点。条件6中使用的几何等价是双面平面的等距图：例如，如果一个设计可以在平面上旋转、反射或翻转，看起来与以前生产的东西一样，那么它就被丢弃了。条件1-4排除的设计示例如图5所示。 经受住这些条件的设计如图3所示。8字形结41出现在五种几何形状不同的设计中。在这个例子中，它们在平面上都是同胚的，但不一定是这样(见图4)。 5.结果 刚刚描述的产生设计的程序被计算机化并应用于图1中的所有格子。琼斯多项式用于识别产生的结。这个纽结不变量是使用递归过程计算的，该过程通过平滑它们来消除交叉点，并且与编织艺术的研究很好地匹配。除了图6所示的结对之外，它可以区分多达九个交叉点的所有结(素结和复合结)。因为图是交替的，简单的视觉检查就足以区分这两种情况:从编织F导出的所有候选都是合成的；编织E，L，Z的是89。
图6：这两个纽结具有相同的琼斯多项式。 只有三叶结31可以从编织A衍生出来；编织B的结果已在前一节中讨论；C和D有10个交叉点，计算机搜索有6到9个交叉点的结；其他编织有12或13个交叉点，而搜索仅限于有8或9个交叉点的编织。小交替质数结的设计频率分布见表1。图7-10显示了每种结类型的一个例子。
图7：一些可以从编织D导出的素纽结。
图8：可以从编织F导出的一些素纽结。
图9：一些可以从编织E导出的素纽结。
图10：编织T特有的两个结。 很难直接比较表1的列，因为起始编织具有不同的交叉数量和不同的对称程度和类型。如果将每一列的条目转换为该列的百分比，并在每行中计算这些百分比的平均值，那么最常见的七种结类型是(按顺序排列，最常见的排第一个)62、82、813、84、920、88和42，它们几乎占了设计的一半。在凯尔特艺术作品中，线性多米诺(A, B, D, E)或正方形(F)的编织是大多数设计的基础。每种类型中最常见的结按等级顺序列在表2中。
表1：每根编织上每种交替结型的设计数量。
表2：每个编织最常见的结类型。 有些结在设计中根本没有表现出来。这在一定程度上是交叉密度要求的结果。从一个足够大的编织开始，并平滑足够的交叉，就可以创建任何交替的结类型。图11显示了从编织e中获得73的一种方法，这种方法在中间有一长串扭转;创建这些扭转需要平滑许多交叉点，并且很可能违反交叉密度约束。结83、93、94、97和912也需要长序列的扭转，在枚举中没有找到。
图11：这个结是不存在的，但如果放宽交叉密度要求就会出现。 我们如下形成一个多角体的脊线：在每个正方形的中心放置一个顶点，如果它们的正方形共享一条边，则用一条线连接这些顶点。请注意，三个正方形的多边形C和D具有相同的脊线，并且表2中的列C和列D相等。同样的道理也适用于四角形E、L和Z。这五个格子的刺是顶点价不超过2的树。编织T和F是例外，因为它们的脊骨分别包含一个三价顶点和一个圈。 结理论家可能会注意到，三桥结似乎很难产生，而那些被发现的结来自于具有特殊刺的编织:810,816,817和818是编织F所特有的，815和928是编织t所特有的。其他三桥结是916和所有在922-941范围内的结都没有在枚举中产生。 多达九个交叉点的结的原始目录足以证明这里提出的观点。然而，它限制了搜索空间，并且产生的许多设计仅仅因为是链接或者有太多交叉点而被丢弃。在计算机的帮助下，结表得到了扩展，另外还有1778种具有10-12个交叉点的素交替结类型，其中一些将由具有四方形多边形的编织产生。此外还有链接表——参见[13]中的9个交叉点。 参考文献 [1] C.C. Adams, The Knot Book: An Elementary Introductionto the Mathematical Theory of Knots, W.H. Freeman and Co., New York, 1994. [2] J.R. Allen, Celtic Art in Pagan and Christian Times, Methuen, London, 1904. Reprinted by Senate, London, 1997. [3] G. Burde and H. Zieschang, Knots, de Gruyter, Berlin, 1985. [4] P.R. Cromwell, Celtic knotwork: mathematical art, Math. Intelligencer 15(1) (1993), pp. 36–47. [5] ———, Knots and Links, Cambridge University Press, Cambridge, 2004. [6] P. Gerdes, On the geometry of Celtic knots and their Lunda-designs, Mathematics in School 28(3) (1999), pp. 29–33, May. [7] B. Gru¨nbaum and G.C. Shephard, Tilings and Patterns, W.H. Freeman, New York, 1987. [8] ———, Interlace patterns in Islamic and Moorish art, Leonardo 25 (1992), pp. 331–339. [9] L.H. Kauffman, State models and the Jones polynomial, Topology 26 (1987), pp. 395–407. [10] A. Meehan, Celtic Design: Knotwork, Thames and Hudson, London, 1991. [11] W.W. Menasco, Closed incompressible surfaces in alternating knot and link complements, Topology 23 (1984), pp. 37–44. [12] K. Murasugi, Jones polynomials and classical conjectures in knot theory, Topology 26 (1987), pp. 395–407. [13] D. Rolfsen, Knots and Links, Publish or Perish Inc., Berkeley, CA, 1976. [14] A.V. Shubnikov and V.A. Koptsik, Symmetry in Science and Art, Plenum Press, New York, 1974. [15] M.B. Thistlethwaite, A spanning tree expansion of the Jones polynomial, Topology 26 (1987),pp. 297–309. [16] D.K. Washburn and D.W. Crowe, Symmetries of Culture: Theory and Practice of Plane Pattern Analysis, University of Washington Press, Seattle, 1987. [17] D. Zongker, Celtic Knot Thingy, Available at: http:///celticknot/ [18] Peter R. Cromwell, The distribution of knot types in Celtic interlaced ornament 青山不改，绿水长流，在下告退。 转发随意，转载请联系张大少本尊，联系方式请见公众号底部菜单栏。 |
|
|
