4.3 公式法
第1课时 用平方差公式进行因式分解
【教学目标】
【知识与技能】会用平方差公式进行因式分解.
【过程与方法】经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性.
【情感态度】
在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”.
【教学重点】
1．了解用公式法分解因式的意义．
2．能熟练运用平方差公式因式分解．
【教学难点】
灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式,正确判断因式分解的彻底性.
【教学过程】
一、情境导入
1．同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流．
2．你能将a2－b2分解因式吗？你是如何思考的？
二、合作探究
探究点一：用平方差公式因式分解
【类型一】 判定能否利用平方差公式分解因式
下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
解析：A中a2＋(－b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B中5m2－20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中－x2－y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D中－x2＋9＝－x2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D.
方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
【类型二】 利用平方差公式分解因式
分解因式：
(1)a4－b4；(2)x3y2－xy4.
解析：(1)a4－b4可以写成(a2)2－(b2)2的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有一个因式a2－b2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x3y2－xy4有公因式xy2，应先提公因式再进一步分解因式．
解：(1)原式＝(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2＋b2)(a－b)(a＋b)；
(2)原式＝xy2(x2－y2)＝xy2(x＋y)(x－y)．
方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
【类型三】 利用因式分解整体代换求值
已知x2－y2＝－1，x＋y＝，求x－y的值．
解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x＋y的值代入计算即可求出x－y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1，x＋y＝，∴x－y＝－2.
方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．
探究点二：用平方差公式因式分解的应用
【类型一】 利用因式分解解决整除问题
248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．
解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．
解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．
【类型二】 利用平方差公式进行简便运算
利用因式分解计算：
(1)1012－992；
(2)5722×－4282×.
解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可．
解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)5722×－4282×＝(5722－4282)×＝(572＋428)(572－428)×＝1000×144×＝36000.
方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．
【类型三】 因式分解的实际应用
如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．
解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(32－22)＋1＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．
答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.
方法总结：首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
三、板书设计
1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
四、教学反思
本节课下来能很好地完成了课前设定的目标，学生能利用平方差公式来进行因式分解.学生在课堂上和老师的互动也比较好。在教学过程中，教师应该语言流畅、教态亲切、语速合适、设计合理、设计中小步骤.当然,本节课也存在一些问题，其中比较突出的就是在例题的安排上对题目的把握不是很好.把所有类型的利用平方差进行因式分解的题型在同一道例题中出现，对于刚接触这种方法的学生来说要求过高，也违背了小步骤教学的教学特点.
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