小结与复习第五章 生活中的轴对称1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图
形，这条直线叫做对称轴.2. 轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图
形的对称轴.一. 轴对称图形与轴对称3. 轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形轴对称 区别联系图形 轴对称
图形是指 ( ) 个具有特殊形状的图形，只对 ( ) 个图形而言轴对称是指 ( ) 个全等图形
的位置关系，必须涉及 ( ) 个图形如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分，那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称如
果把两个成轴对称的图形 看成一个整体，那么整个图形就是一个轴对称图形一一两两4. 轴对称的性质： 在轴对称图
形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.1. 等腰三角形的性质 二. 简单的轴对称图
形角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3. 角平分线的性质2. 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两个端点
的距离相等.例1 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，△A″B″C″ 和△A′B′C′ 关于直线 EF 对
称.(1) 画直线 EF；(2) 直线 MN 与 EF 相交于点 O，试探究∠BOB″ 与直线 MN，EF 所夹锐角 α 的数
量关系.【分析】连接△A′B′C′ 和△A″B″C″中的任意一对对应点，作所得线段的垂直平分线即为直线 EF，根据轴对称的性质可求
角的数量关系.ABCA′B′C′A″B″C″解：（1）如图，连接 B′B″，作线段 B′B″ 的垂直平分线EF，则直线 EF 是△
A′B′C′ 和△A″B″C″ 的对称轴；（2）连接 B″O，B′O，BO.因为 △ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称
，所以∠BOM =∠B′OM.因为△A″B″C″ 和△A′B′C′ 关于直线 EF 对称，所以∠B′OE =∠B″OE.所以∠BO
B″ = 2(∠B′OM +∠B′OE) = 2α.MN 轴对称和轴对称图形的概
念是本章的重点，通过观察日常生活中的轴对称现象，理解轴对称图形和轴对称的概念的区别与联系；学习轴对称变换，不但要会画一个图形关于某
直线的对称图形，还要会进行简单的图案设计，利用轴对称作图确定最短路线等. 1. 下面的图形是
轴对称图形吗? 如果是，你能指出它的对称轴吗?2. 如图所示，作出△ABC 关于直线 l 的对称图形．解：△A′B′C′ 就是所
求作的图形.l例2 如图所示，在△ABC 中，AB = AC，BD⊥AC 于 D.试说明：∠BAC = 2∠DBC.【分析】根据
等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC 的平分线，来获取角之间的数量关系.解：作∠BAC 的平分线 AE，交 BC 于点
E，如图. 所以 AE⊥BC，所以∠AEC = 90°，∠2 +∠ACB = 90°. 因为 BD⊥AC，所以∠BDC = 90°
，∠DBC +∠ACB = 90°.所以∠2 =∠DBC.所以∠BAC = 2∠DBC.因为 AB = AC，例3 如图，在△
ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周长为 35 cm，则 BC
的长为 ( )A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cmC解析：因为 D
E 垂直平分 AB，所以 AD＝BD. 所以△DBC 的周长为 BC＋BD＋CD＝BC＋AD＋CD＝BC＋AC＝35 cm. 因为
AC＝20 cm，所以 BC＝35－20＝15 (cm). 常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两
端的距离相等”进行线段之间的转化，从而来求线段之间的关系及和差等，有时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查.例4 有公路
l1 同侧、l2 异侧的两个城镇 A，B，如图. 电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B 的距离必
须相等，到两条公路 l1，l2 的距离也必须相等，发射塔 C 应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点 C 的
位置 (保留作图痕迹，不要求写出画法).【解析】利用线段垂直平分线及角平分线的性质解题.解：根据题意知道，点 C 应满足两个条件：
一是在线段 AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点 C 应是它们的交点.(2) 作线段 AB 的垂直平分线 F
G；则射线 OD，OE 与直线 FG 的交点 C1，C2 就是所求的位置.(1) 作两条公路夹角的平分线 OD 和 OE；3. 如
图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AC = 5 厘米，△ABD 的周长等于 13 厘米，则△ABC 的周长是
厘米.18分类讨论思想和方程思想例5 已知等腰三角形的一个内角为 40°，求这个等腰三角形另外两角的度数.【解析】
要考虑此角是顶角还是底角两种情况.解：若 40° 角是该等腰三角形的顶角，设一个底角为 x°，则根据三角形的内角和定理得 x +
x + 40 = 180，解得 x = 70，即此时该等腰三角形的另外两角度数都是 70°； 根据等腰三角形的
性质求边长或度数时，若已知条件未明确所给的角是顶角还是底角、所给的边是腰还是底边时，要分情况讨论才能使答案不致缺漏. 同时，求出答
案后要和三角形的内角和定理及三角形三边关系对照，若不符合，则答案不成立，要舍去，这样才能保证答案准确.若 40° 角是该等腰三角形
的底角，设其顶角为 y°，则根据三角形的内角和定理得 y + 40 + 40 = 180，解得 y = 100，即此时另外两角度数
是 40° 和 100°.4. 若等腰三角形的两边长分别为 4 和 6，求它的周长.解：① 若腰长为 6，则底边长为 4，
周长为 6 + 6 + 4 = 16； ② 若腰长为 4，则底边长为 6， 周长为 4 + 4 + 6 =
14. 故这个三角形的周长为 14 或 16.生活中的轴对称轴对称现象两个图形成轴对称，及其对称轴轴对称图形，及其对称轴简单的轴对称图形等腰三角形的性质轴对称的性质对称性“三线合一”底角相等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等应用图案设计计算与推理 |
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