2022年湖南省张家界市中考数学真题及答案
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1.的倒数是(????)
A.B.C.D.
2.我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住亩耕地红线．将数据用科学记数法表示为(????)
A.B.C.D.
3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(????)
A.B.C.D.
4.下列计算正确的是(????)
A.B.C.D.
5.把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是(????)
A.B.
C.D.
6.某班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名最优秀的参加禁毒知识比赛，下表记录了四人次选拔测试的相关数据：
甲 乙 丙 丁 平均分 方差
A.甲B.乙C.丙D.丁
7.在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是(????)
A.B.
C.D.
8.如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为(????)
A.B.C.D.
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
9.因式分解：??????．
10.从，，，，这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是??????．
11.如图，已知直线，，，则??????．
12.已知方程，则??????．
13.我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作周髀算经作注解时，用个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，那么??????．
14.有一组数据：，，，，记，则??????．
三、解答题（本大题共9小题，共58分）
15.计算：．
16.先化简，再从，，中选一个适当的数代入求值．
17.如图所示的方格纸格长为一个单位长度中，的顶点坐标分别为，，．
将沿轴向左平移个单位，画出平移后的不写作法，但要标出顶点字母；
将绕点顺时针旋转，画出旋转后的不写作法，但要标出顶点字母；
在的条件下，求点绕点旋转到点所经过的路径长结果保留．
18.中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的小时缩短至小时，运行里程缩短了千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快千米，求高铁的平均速度．
19.如图，菱形的对角线、相交于点，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
求证：≌；
试判断四边形的形状，并写出证明过程．
20.为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：
频数分布统计表
组别 时间分钟 频数
频数分布统计表中的??????，??????；
补全频数分布直方图；
已知该校有名学生，估计书面作业完成时间在分钟以上含分钟的学生有多少人？
若组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
21.阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图，过点作于点，则：
在中，在中，根据上面的材料解决下列问题：
如图，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．结果保留根号．参考数据：，
22.如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．
23.如图，已知抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．
求抛物线的函数表达式及点的坐标；
若四边形为矩形，点以每秒个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值；
抛物线的对称轴与轴交于点，点是点关于点的对称点，点是轴下方抛物线图象上的动点．若过点的直线：与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值．
答案解析
1.【答案】?
【解析】解：的倒数是：．
故选：．
直接利用倒数的定义得出答案．
此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
2.【答案】?
【解析】解：???，
．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】?
【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
4.【答案】?
【解析】解：，因此选项A不符合题意；
，与不是同类项，因此不能合并，所以选项B不符合题意；
C.，因此选项C符合题意；
D.，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式进行解答即可．
本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式，将每个选项分别进行化简或计算是正确解答的关键．
5.【答案】?
【解析】解：，
得：，
由得：，
不等式组的解集为，
故选：．
先解出每个不等式，再求出不等式组的解集即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的步骤，能求出不等式组中各不等式的公共解集．
6.【答案】?
【解析】解：从平均数看，成绩最好的是甲、丙同学，
从方差看，甲、乙方差小，发挥最稳定，
所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加禁毒知识比赛，应该选择甲，
故选：．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可．
本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．
7.【答案】?
【解析】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；
当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限；
故选：．
分或，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．
本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握，图象经过第一、三象限，，图象经过第二、四象限是解题的关键．
8.【答案】?
【解析】解：将绕点顺时针旋转得，连接，
，，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
与的面积之和为，
故选：．
将绕点顺时针旋转得，连接，可得是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，从而解决问题．
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将与的面积之和转化为，是解题的关键．
9.【答案】?
【解析】解：原式．
．
根据平方差公式分解即可．
此题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10.【答案】?
【解析】解：，是无理数，
恰好是无理数．
故答案为：．
先应用无理数的定义进行判定，再应用概率公式进行计算即可得出答案．
本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关键．
11.【答案】?
【解析】解：如图，
，，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
由平行线的性质可得，再由对顶角相等得，，再由三角形的内角和即可求解．
本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
12.【答案】?
【解析】解：给分式方程两边同时乘，
得，
移项得，
合并同类项得，
解得，
把代入中，，
所以是原分式方程的解．
．
应用解分式方程的方法，去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．进行计算即可得出答案．
本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方法进行求解是解决本题的关键．
13.【答案】?
【解析】解：大正方形的面积是，
，
小正方形的面积是，
小正方形的边长为，
，
设，则，
由勾股定理得，，
解得或负值舍去，
，，
，
故答案为：．
根据两个正方形的面积可得，，设，则，由勾股定理得，，解方程可得的值，从而解决问题．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程求出的长是解题的关键．
14.【答案】?
【解析】解：；
；
，
，
当时，
原式
，
故答案为：．
通过探索数字变化的规律进行分析计算．
本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
15.【答案】解：原式
．?
【解析】根据特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质进行计算即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，掌握特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质是正确解答的前提．
16.【答案】解：原式
因为，时分式无意义，所以，
当时，原式．?
【解析】先根据分式的混合运算的法则进行化简后，再根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查分式的化简与求值，掌握分式有意义的条件以及分式混合运算的方法是正确解答的关键．
17.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
在中，，
．
?
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用弧长公式求解．
本题考查作图旋转变换，平移变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
18.【答案】解：设高铁的平均速度为，则普通列车的平均速度为，
由题意得：，
解得：，
答：高铁的平均速度为．?
【解析】设高铁的平均速度为，由运行里程缩短了千米得：，可解得高铁的平均速度为．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
19.【答案】证明：点是的中点，
，
又
，
在和中，
，
≌；
解：四边形为矩形，证明如下：
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，
又四边形为菱形，
，
即，
四边形为矩形．?
【解析】根据即可证明≌；
由≌，可得，证明四边形为平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
20.【答案】??
【解析】解：抽取的总人数为：人，
，
，
故答案为：，；
频数分布直方图补全如下：
人，
答：估计书面作业完成时间在分钟以上含分钟的学生有人；
列表如下：
男 男 女 女 男 男，男 男，女 男，女 男 男，男 男，女 男，女 女 女，男 女，男 女，女 女 女，男 女，男 女，女 种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有种，
抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
由组的频数除以所占百分比得出抽取的总人数，即可解决问题；
由的结果，补全频数分布直方图即可；
由该校学生总人数乘以书面作业完成时间在分钟以上含分钟的学生所占的比例即可；
列表得出共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用列表法求概率、频数分布直方图、频数分布表和扇形统计图等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】证明：如图，过点作于点，
在中，，
在中，，
，
；
解：如图，过点作于点，
，，
，
在中，，
又，
即，
?
【解析】根据题目提供的方法进行证明即可；
根据的结论，直接进行计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
22.【答案】证明：连接，
，
又点是的中点
，，
又
≌，
，
；
解：≌，，
又四边形内接于圆，
，
又，
，
又，
∽，
，
即：，
，
．?
【解析】连接，通过证明≌，利用全等三角形的性质分析推理；
通过证明∽，利用相似三角形的性质分析计算．
本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．
23.【答案】解：设二次函数表达式为：，
将、代入得：
，
解得，，
抛物线的函数表达式为：，
又，，
顶点为；
依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为．
当∽时，
，
解得；
当∽时，
，
解得；
综上得，当或时，以、、为顶点的三角形与相似；
点关于点的对称点为点，
，
直线：与抛物线图象只有一个公共点，
只有一个实数解，
，
即：，
解得：，
利用待定系数法可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，
联立，结合已知，
解得：，
同理可得：，
则：，，
，
的值为．?
【解析】二次函数表达式可设为：，将、代入，解方程可得和的值，再利用顶点坐标公式可得点的坐标；
根据秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为分两种情形，当∽时，得，解得；当∽时，得，解得；
首先利用中点坐标公式可得点的坐标，利用待定系数法求出直线和的解析式，再根据直线：与抛物线图象只有一个公共点，联立两函数解析式，可得，再求出点和的横坐标，从而解决问题．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识，联立两函数关系求出点和的横坐标是解题的关键，属于中考压轴题．
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