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| 指数函数对数函数交点个数 |
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2012 年 8 月 8 日
新课程 ·中学
案例展示
同底的指数函数与
对数函数的图象有几个交点
文 /张松年
函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x（ a＞0， a≠1）的图象有几个交点？自 《普通
高中课程标准实验教科书 ·苏教版 ·数学必修 1》提出这个问题以
后，引起了中学数学教师的广泛关注 。
2006 年第 2 版 《苏教版 ·数学必修 1》第 80 页的例 5 和探究
的内容是：
例 5：分别就 a＝2， a＝
5
4
和 a＝
1
2
画出函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图
象，并求方程 a
x
＝log
a
x 解的个数 。
探究：当 0＜a＜1 时，方程 a
x
＝log
a
x 只有一个解吗？
教材提示利用 Excel、图形计算器或其他画图软件（ 教学过程
中一般用几何画板），在同一坐标系中分别就 a＝2， a=
5
4
和 a＝
1
2
时画出函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图象，通过观察，发现：在这三种情
况下，两个函数图象的交点个数分别为 0， 2， 1，从而方程 a
x
＝log
a
x
解的个数分别为 0， 2， 1。
作为探究，用几何画板演示，可以发现：当 0＜a＜1 时，函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 图象的交点个数可能是 1， 3，从而方程 a
x
＝log
a
x 的解的
个数可能是 1， 3。在实际操作过程中，两个函数的图象有 3 个公共
点的情况相当难演示 。
但问题是：这两个函数的图象到底有几个交点？会不会有 4
个公共点？交点个数变化时，底数 a 的临界值是什么？怎样找底数
a 的临界值呢？
一 、几个基本结论
1．y＝a
x
与 y＝log
a
x 互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x 对称 。
如果函数 y＝log
a
x 的图象与直线 y＝x 相交，那么交点必定在函数
y＝a
x
的图象上 。同样，如果函数 y＝a
x
的图象与直线 y＝x 相交，那么
交点必定在函数 y＝log
a
x 的图象上 。
2.函数 y＝a
x
是凹函数，它的图象在其任意一条切线的上方 。证
明如下：
由 y＝a
x
，得 y′＝a
x
lna， y″＝a
x
（ lna）
2
。
因为对任意的 x∈R，都有 a
x
＞0，且（ lna）
2
＞0，所以 y″＞0，
所以，函数 y＝a
x
是凹函数 。
3.（ 1）当 a＞1 时，函数 y＝log
a
x 是凸函数，它的图象在其任意一
条切线的下方；（ 2）当 0＜a＜1 时，函数 y＝log
a
x 是凹函数，它的图象
在其任意一条切线的上方 。
证明如下：
由 y＝log
a
x，得 y′＝
1
xlna
（ x＞0）， y″＝－
1
x
2
lna
（ x＞0） 。
因为对任意的 x∈（ 0， ＋∞），都有 x
2
＞0，所以当 a＞1 时，有 lna＞
0，所以 y″＜0，所以，函数 y＝log
a
x 是凸函数；当 0＜a＜1 时，有 lna＜0，
所以 y″＞0，所以，函数 y＝log
a
x 是凹函数 。
二 、对函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 图象的交点个数情况的研究
1.当 a＞1 时，函数函数 y＝a
x
的图象与直线 y＝x 可能相交，也可
能不相交 。
当 a＞1 时，由于方程 a
x
＝x 与 x＝log
a
x 是同解方程，所以只要研
究方程 x＝log
a
x 的解的情况，即 lna＝
lnx
x
解的情况 。
设函数 f（ x） ＝
lnx
x
，则 f′（ x） ＝
1
x
·x-lnx
x
2
＝
1-lnx
x
2
。
令 f′（ x） ＝0，得 x＝e。
当 0＜x＜e 时， f′（ x） ＜0；当 x＞e 时， f′（ x） ＞0，所以，当 x＝e 时，
f（ x） ＝
lnx
x
有最大值
1
e
。
因此，当 lna＞
1
e
时，即 a＞e
1
e
时，方程 x＝log
a
x 无解，从而函数
y＝log
a
x 的图象在直线 y＝x 的下方，函数 y＝a
x
的图象在直线 y＝x 的
上方，因此，函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图象没有公共点 。如图 1 所示 。
当 lna=
1
e
，即 a=e
1
e
时，函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图象恰有一个
交点 。如图 2 所示 。
当 lna<
1
e
，即 1＜a＜e
1
e
时，函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图象恰有两
个交点 。如图 3 所示 。
O x
y
图 1 图 2 图 3
O
x
y
O x
y
2．当 0＜a＜1 时，函数函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图象都与直线 y＝x
相交 。
设函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图象在直线 y＝x 外的两个交点为 A
（ m， n）， B（ n， m），则直线 AB 的斜率为 －1。设直线 AB 的方程为
y＝－x＋b，当 A， B 重合为点 P 时，直线 AB 为函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 图
象的公切线，且 P 在对称轴所在的直线 y＝x 上 。
由 y＝log
a
x，得 y′＝
1
xlna
。
令
1
xlna
＝－1，得 x＝－
1
lna
。
所以，点 P 的坐标为［ －
1
lna
， log
a
（ －
1
lna
）］ 。
由 log
a
（ －
1
lna
） ＝－
1
lna
，得
ln（ －
1
lna
）
lna
＝－
1
lna
，即 ln（ －lna） ＝1，
即 －lna＝e，解得 a＝e
－e
。
此时，点 P 的坐标为（ e
－1
， e
－1
），函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 图象的公切
线的方程为 y＝2e
－1
－x。
（ 1）当 e
－e
≤a＜1 时，函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图象恰有一个交点 。
如图 4 所示 。
127
新 课程 ·中学
2012 年 8 月 8 日案例展示
由一道课本习题引发的探究
———谈三角分式的不动性
文 /刘 征
（ 2）当 0＜a＜e
－e
时，函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图象恰有三个交点，
其中一个在直线 y＝x 上，另两个在直线 y＝x 两侧，关于直线 y＝x 对
称 。如图 5 所示 。
图 4 图 5
O x
y
O x
y
三 、函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图象的交点个数与底数的关系
1.当 a＞e
1
e
时，函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图象无交点 。
2.当 a=e
1
e
或 e
－e
≤a＜1 时，函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图象恰有一
个交点 。
3．当 1＜a＜e
1
e
时，函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图象恰有两个交点 。
4.当 0＜a＜e
－e
时，函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图象恰有三个交点 。
参考文献：
单墫．普通高中课程标准实验教科书《数学1》［M］．南京：江苏
教育出版社，2006：80-81．
（作者单位 江苏省南京市金陵中学）
《普通高级中学教科书 （必修）数学第一册 （下） 》第 101 页 “复
习参考题 B 组 ”第 7 题（ 1）：求证
1+tan
2
A
1+cot
2
A
=（
1-tan
2
A
1-cot
2
A
）
2
。
笔者在上第四章 《三角函数 》的习题课时，给学生讲了这道
题 。结果出了些 “意外 ”，一节大课仅讲了这么一道小题 。但在这大
小之间，我和我的学生都得到了一次难得的 “人生经历 ”。
我和同学们首先共同完成了这道题的常规证法：证法一（ 左
—右=0） 、证法二（ 右→左） 。然后卖关子， “大家还有没有其他的证
法呢？ ”学生七嘴八舌地谈起了自己的高见，其中也包括我想介绍
给他们的证法三：
1+tan
2
A
1+cot
2
A
=（
1-tan
2
A
1-cot
2
A
）
2
圳
sec
2
A
csc
2
A
=
sec
2
A-2tanA
csc
2
A-2cotA
圳
1
cos
2
A
1
sin
2
A
=
1
cos
2
A
-2
sinA
cosA
1
sin
2
A
-2
cosA
sinA
圳
1
cos
2
A
1
sin
2
A
=
1
cos
2
A
（ 1-2sinAcosA）
1
sin
2
A
（ 1-2sinAcosA）
圳
1
cos
2
A
1
sin
2
A
＝
1
cos
2
A
1
sin
2
A
圳
sec
2
A
csc
2
A
=
sec
2
A
csc
2
A
因为上式显然成立，所以原等式成立 。
这时，我故弄玄虚地说道： “大家看这个证法的第二步，
sec
2
A
csc
2
A
=
sec
2
A-2tanA
csc
2
A-2cotA
，是不是一个分式在它的分子 、分母上分别减去一个
三角函数值，整个分式的值不变 。”同学们看了看，惊讶地说： “还
真是的，这个分式不就是
sec
2
A
csc
2
A
吗？ ”这时，我乘胜追击，总结道：
“从这一点上我们要意识到，在以后的数学学习过程中，不能只是
就题论题，为了做题而做题，而要在做完题后，再反思一下，再观
察一下，再思考一下，看看通过这道题我们学到了什么？还获得了
什么？只有这样，我们才能做到 ‘做了一道题，会了一类题，从而达
到减轻学习负担 ’的目的 。”然后心里美滋滋地打算讲第 2 小题 。
但我的话音刚落，一位学生就猛地站了起来， “老师，第三步
到第四步要是只提出
1
cosA
和
1
sinA
，就给这道题降次了 。”我仔细
看了看，还真是这样 。
1
cos
2
A
1
sin
2
A
=
1
cos
2
A
-2
sinA
cosA
1
sin
2
A
-2
cosA
sinA
圳
1
cos
2
A
1
sin
2
A
=
1
cosA
（
1
cosA
-2sinA）
1
sinA
（
1
sinA
-2cosA）
圳
1
cos
2
A
1
sin
2
A
=
1
cosA
-2sinA
1
sinA
-2cosA
圳
secA
cscA
=
secA-2sinA
cscA-2cosA
看到了最后的这个结论，我的第一反应就是这个结果很有探究
价值，于是便引导学生继续看这个问题，看看再有没有其他的发现 。
同学们有的做沉思状，有的拿起了纸笔开始运算，有的干脆
和周围的同学展开了激烈的讨论 。
接着，一位学生发言道： “老师，
secA
cscA
=
secA-2sinA
cscA-2cosA
中的 2 可
以换成任意实数 x，这一点可以从黑板上的证明过程中得到 。”
我和其他同学经过短暂的思考，对这位同学报以了赞同的掌
声 。“很好， xxx 同学得到了一个很有意义的结论，给分式
secA
cscA
的
分子 、分母分别减去任意实数倍的 sinA 和 cosA，所得分式的值不
变 。我看这个结论可以叫做 xxx 公式了 。”
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