专题09 一次函数一、单选题1．（2022·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成
，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关
系是（?）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．反比例函数关系D．二次函数关系【答案】B【分析】根据矩形周长找出关于x和y的等量关
系即可解答．【详解】解：根据题意得：，∴，∴y与x满足的函数关系是一次函数；故选：B．【点睛】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义
，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．2．（2022·山东聊城·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A
，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（?）A．，B．，C．，D．，【答案
】C【分析】作C（2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（2，0）关于直线y=x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，
交y轴于F，此时△CEF周长最小，由y=x+4得A（-4，0），B（0，4），∠BAC=45°，根据C、D关于AB对称，可得D（-
4，2），直线DG解析式为，即可得，由，得．【详解】解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交轴
于F，如图：∴，，∴，此时周长最小，由得，，∴，是等腰直角三角形，∴，∵C、D关于AB对称，∴，∴，∵，∴，∴，由，可得直线DG解
析式为，在中，令得，∴，由，得，∴，∴的坐标为，的坐标为，故选：C．【点睛】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握
用对称的方法确定△CEF周长最小时，E、F的位置．3．（2022·山东威海·中考真题）如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为
（0，2），（3，0），（1，4）．若MN∥PQ，则点N的坐标可能是(?)A．（2，3）B．（3，3）C．（4，2）D．（5，1）
【答案】C【分析】根据P，Q的坐标求得直线解析式，进而求得过点的解析式，即可求解．【详解】解：∵P，Q的坐标分别为（0，2），（3
，0），设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为， MN∥PQ，设的解析式为，，则，解得，的解析式为，当时，，当时，，当时，，当
时，，故选C【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数平移问题，掌握以上知识是解题的关键．4．（2022·山东烟台·中考真题）周
末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t
（秒）的关系图像如图所示．若不计转向时间，按照这一速度练习20分钟，迎面相遇的次数为（ ）A．12B．16C．20D．24【答案
】B【分析】先求出二人速度，即可得20分钟二人所跑路程之和，再总结出第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和（400n﹣200）米，列方
程求出n的值，即可得答案．【详解】解：由图可知，父子速度分别为：200×2÷120（米/秒）和200÷100＝2（米/秒），∴20
分钟父子所走路程和为（米），父子二人第一次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200米，父子二人第二次迎面相遇时，两人所跑路程之和为20
0×2+200＝600（米），父子二人第三次迎面相遇时，两人所跑路程之和为400×2+200＝1000（米），父子二人第四次迎面相
遇时，两人所跑路程之和为600×2+200＝1400（米），…父子二人第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200（n﹣1）×2+2
00＝（400n﹣200）米，令400n﹣200＝6400，解得n＝16.5，∴父子二人迎面相遇的次数为16．故选：B．【点睛】本
题考查一次函数的应用，解题的关键是求出父子二人第 次迎面相遇时，两人所跑路程之和米．5．（2021·山东济南·中考真题）反比例函数
图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数的图象大致是（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意可得，进而根据一次函数图
像的性质可得的图象的大致情况．【详解】反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，∴一次函数的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、
三、四象限．观察选项只有D选项符合．故选D【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数图像的性质，根据已知求得是解题的关键．6．（
2021·山东潍坊·中考真题）记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min|x1，x2，…，xn|，例如min|-1，1，2|＝﹣
1，则函数y＝min|2x﹣1，x，4﹣x|的图象大致为（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】分别画出函数的图像，然后根据min
|x1，x2，…，xn|＝﹣1即可求得．【详解】如图所示，分别画出函数的图像，由图像可得， ，故选：B．【点睛】此题考查了一次函数
图像的性质，解题的关键是由题意分析出各函数之间的关系．7．（2020·山东济南·中考真题）若m﹣2，则一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．【答案】D【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．【详解】解：∵m＜﹣2，∴
m+1＜0，1﹣m＞0，所以一次函数的图象经过一，二，四象限，故选：D．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，不等式的基本性质
，掌握一次函数中的对函数图像的影响是解题的关键 ．8．（2020·山东日照·中考真题）将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，则平移
后的函数解析式是（ ）A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝2（x+3）D．y＝2（x﹣3）【答案】A【分析】直接利用一次函数
“上加下减”的平移规律即可得出答案．【详解】解：∵将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，∴所得图象的函数表达式为：y＝2x+3．故
选：A．【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，正确记忆“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．9．（2020·山东济宁·中考
真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+
b的解是（ ）A．x=20B．x=5C．x=25D．x=15【答案】A【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．【
详解】解：由图可知：直线y=x+5和直线y=ax+b交于点P（20，25），∴方程x+5=ax+b的解为x=20．故选：A．【点睛
】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方
程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
二、填空题10．（2022·山东东营·中考真题）如图，是等边三角形，直线经过它们的顶点，点在x轴上，则点的横坐标是________
____.【答案】【分析】如图，设直线与x轴交于点C，求出点A、C的坐标，可得OA＝2，OC＝，然后解直角三角形求出∠ACO＝30
°，可得，，然后求出，，，…，进而可得，再求出即可．【详解】解：如图，设直线与x轴交于点C，在中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，
即，解得：，∴A（0，2），C（，0），∴OA＝2，OC＝，∴tan∠ACO＝，∴∠ACO＝30°，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴
AC＝，∵AO⊥，∴，∴，同理可得：，，…，∴，∴，∴点的横坐标是，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，等边三角形
的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，通过解直角三角形求出∠ACO＝30°是解题的关键．11．（2022·山东菏泽·
中考真题）如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的
垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；……，依次类推，则点的横坐标为_______．【答案】【分析】根据一次函数图像上点的坐标特
征和等边三角形的性质及等腰三角形的三线合一性质，得出：点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，找出规律即可求解．【
详解】解：过点作轴于点，点作轴交直线于点，∵是等边三角形，，∴，∴，∴点的横坐标为，即，∵是等边三角形，轴，，∴点的横坐标为，即，
∴，∵是等边三角形，轴，∴点的横坐标为，即，∴，∵是等边三角形，轴，∴点的横坐标为，即，以此类推，点的横坐标为，∴当时，点的横坐标
为．故答案为：【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质．解题的关键是找出点的横坐标的
变化规律．12．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上
，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标
为__________． 【答案】【分析】先得出D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF的周长的最
小值转化为求FG+BF的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，用待定系数法求出直线BG的解析
式后，令y=0，即可求出点F的坐标，最后得到点E的坐标．【详解】解：如图所示，∵D（0，4），∴D点关于x轴的对称点坐标为H（0，
-4），∴ED=EH，将点H向左平移3个单位，得到点G（-3，-4），∴EF=HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴E
H=FG，∴FG =ED，∵B（-4，6），∴BD=，又∵EF＝3，∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=+FG+3+B
F,要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小，而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，设直线BG的解析式为：∵B
（-4，6），G（-3，-4），∴，∴，∴，当y=0时，，∴，∴故答案为：．【点睛】本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、平移
的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是“转化”，即将不同的线段之间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的
最小值问题转化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了数形结合与转化的思想方法等．13．（2022·山东日照·中考真题）如图，在平面直
角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的
最小值是__________．【答案】2【分析】点F运动所形成的图象是一条直线，当OF⊥F1F2时，垂线段OF最短，当点F1在x轴
上时，由勾股定理得：，进而得，求得点F1的坐标为，当点F2在y轴上时，求得点F2的坐标为（0，-4），最后根据待定系数法，求得直线
F1F2的解析式为y=x-4，再由线段中垂线性质得出，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则根据面积法得，即，解得h
=2，根据垂线段最短，即可得到线段OF的最小值为2．【详解】解：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF=60°
，PF=PA，∴△APF是等边三角形，∴AP=AF，如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，则P1A=P1F1=AF1
，∠AP1F1=60°，∵AO⊥P1F1，∴P1O=F1O，∠AOP1=90°，∴∠P1AO=30°，且AO=4，由勾股定理得：，
∴，∴点F1的坐标为，如图，当点F2在y轴上时，∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，∴AO=F2O=4，∴点F2的坐标为（0
，-4），∵，∴∠OF1F2=60°，∴点F运动所形成的图象是一条直线，∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，设直线F1F2的解析式
为y=kx+b，则，解得，∴直线F1F2的解析式为y=x-4，∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1，∴，在Rt△OF1F2中，OF⊥
F1F2，设点O到F1F2的距离为h，则，∴，解得h=2，即线段OF的最小值为2，故答案为2．【点睛】本题属于三角形的综合题，主要
考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距
离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用．14．（2022·山东济宁·中考真题）已知直线y1＝x－1与y2
＝kx＋b相交于点（2，1）．请写出b值____（写出一个即可），使x＞2时，y1＞y2．【答案】2（答案不唯一）【分析】根据题意
将点（2，1）代入y2＝kx＋b可得，即，根据x＞2时，y1＞y2，可得，即可求得的范围，即可求解．【详解】解：∵直线y1＝x－1
与y2＝kx＋b相交于点（2，1），∴点（2，1）代入y2＝kx＋b，得，解得,∵直线y1＝x－1，随的增大而增大，又 x＞2时，
y1＞y2，，，解得，故答案为：2（答案不唯一）【点睛】本题考查了两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．15．（2022
·山东聊城·中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关
系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-
总成本）．【答案】121【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据
二次函数的性质分析其最值．【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格
x（元/个）的函数解析式为，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，，∵1<0，∴当时，w有最大值为121，故答案为：12
1．【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．16．（20
21·山东济南·中考真题）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应
用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个的
值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当为时，对应的时间为__________．…1235……2.42.83.44…【答案】15【
分析】由题意及表格数据可知记录错误的数据为当t=3时，h=3.4，然后设水位与时间的函数解析式为，进而把t=2，h=2.8和t=5
，h=4代入求解即可．【详解】解：由表格可得：当t=1，h=2.4时，当t=2，h=2.8时，当t=5，h=4时，时间每增加一分钟
，水位就上升0.4cm，由此可知错误的数据为当t=3时，h=3.4，设水位与时间的函数解析式为，把t=2，h=2.8和t=5，h=
4代入得：，解得：，∴水位与时间的函数解析式为，∴当=8时，则有，解得：，故答案为15．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌
握一次函数的应用是解题的关键．17．（2021·山东潍坊·中考真题）甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：甲：函
数的图象经过点（0，1）；乙：y随x的增大而减小；丙：函数的图象不经过第三象限．根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为
_______．【答案】y=-x+1（答案不唯一）．【分析】设一次函数解析式为y=kx+b，根据函数的性质得出b=1，k＜0，从
而确定一次函数解析式，本题答案不唯一．【详解】解：设一次函数解析式为y=kx+b，∵函数的图象经过点（0，1），∴b=1，∵y随x
的增大而减小，∴k＜0，取k=-1，∴y=-x+1，此函数图象不经过第三象限，∴满足题意的一次函数解析式为：y=-x+1（答案不唯
一）．【点睛】本题考查一次函数的性质，数形结合是解题的关键．18．（2020·山东临沂·中考真题）点和点在直线上，则m与n的大小关
系是_________．【答案】m＜n【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点的横坐标大小即可得出结论．【详解】解
：∵直线中，k=2＞0，∴此函数y随着x的增大而增大，∵＜2，∴m＜n．故答案为：m＜n．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐
标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．19．（2020·山东东营·中考真题）已知一次函数y=kx+b的图象经过A（1，﹣1
），B（﹣1，3）两点，则k 0（填“＞”或“＜”）【答案】＜.【分析】根据A（1，-1），B（-1，3），利用横坐标和纵坐标的增
减性判断出k的符号．【详解】∵A点横坐标为1，B点横坐标为-1，根据-1＜1，3＞-1，可知，随着横坐标的增大，纵坐标减小了，∴k
＜0．故答案为＜．三、解答题20．（2022·山东淄博·中考真题）如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与
x轴相交于点C（4，0）．(1)分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；(2)连接OA，OB，求△AOB的面积；(3)直接写出当x
＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．【答案】(1)y=x+，y=；(2)△AOB的面积为；(3)1 ( 1，2 )代入y =，求得m=2，再利用待定系数法求得直线的表达式即可；（2）解方程组求得点B的坐标，根据，利用三角形面积公
式即可求解；（3）观察图象，写出直线的图象在反比例函数图象的上方的自变量的取值范围即可．（1）解：将点A ( 1，2 )代入y =
，得m=2，∴双曲线的表达式为： y=，把A（1，2）和B（4，0）代入y=kx+b得：y=，解得：，∴直线的表达式为：y=x+；
（2）解：联立 ，解得，或，∵点A 的坐标为（1，2）， ∴点B的坐标为（3，）， ∵=，∴△AOB的面积为；（3）解：观察图象可
知：不等式kx+b>的解集是1 解析式，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，学会利用分割法求三角形面积．21．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在平面直角坐标
系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过两点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)过O、A两点的直线与反比例函数图象交
于另一点C，连接BC，求的面积．【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为(2)12【分析】（1）由点A的坐标利用反比
例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数表达式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出m值，结合点A、B的坐标利
用待定系数法即可求出一次函数表达式；（2）利用分解图形求面积法，利用，求面积即可．（1）将A(2，-4)代入得到，即：．反比例函数
的表达式为：．将B(-4，m)代入，得：，，将A，B代入，得：，解得：一次函数的表达式为：．（2）设AB交x轴于点D，连接CD，过
点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作BF⊥CD交CD于点F．令，则，∴点D的坐标为(-2，0)，∵过O、A两点的直线与反比例函数
图象交于另一点C，∴A(2，-4)关于原点的对称性点C坐标：(-2，4)，∴点C、点D横坐标相同，∴CDy轴，∴=12．【点睛】本
题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法
求函数表达式；（2）利用分割图形求面积法求出△AOB的面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法
求出函数解析式是关键．22．（2020·山东淄博·中考真题）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相
交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．（1）求y1，y2对应的函数
表达式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集． 【答案】（1）y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）
9；（3）x＜﹣3【分析】（1）根据OC＝3，tan∠ACO＝，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函数的关
系式；（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，进行计算即可；（3）由函数的图象直接可以得出，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集
．【详解】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．∴OD＝2，即点D（0，2）
，把点D（0，2），C（0，3）代入直线y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；把A
（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴k＝﹣3×4＝﹣12，∴反比
例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×2＝9．（3）
由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的
方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键．23．（2022·山东青岛·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴正半轴相交于点C，与反
比例函数的图象在第二象限相交于点，过点A作轴，垂足为D，．(1)求一次函数的表达式；(2)已知点满足，求a的值．【答案】(1)(2
)或【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出m，得，由轴可得，进一步求出点，将A，C点坐标代入一次函数解析式，用待定系数法
即可求出一次函数的解析式；（2）由勾股定理求出AC的长，再根据且E在x轴上，分类讨论得a的值．（1）解：（1）∵点在反比例函数的图
象上，∴∴∵轴∴∴∴∴∵点在一次函数的图象上∴解得∴一次函数的表达式为．（2）在中，由勾股定理得，∴当点E在点C的左侧时，当点E在
点C的右侧时，∴a的值为或．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理，熟练掌握反比例函
数与一次函数的关系是解答本题的关键．24．（2022·山东聊城·中考真题）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交
于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且．(1)求k，p的值；(2)若OE将四边形BOCE分成两个面积
相等的三角形，求点C的坐标．【答案】(1)，(2)点的坐标为(4，2)【分析】（1）先求出点B的坐标，得到，结合点A的横坐标为2，
求出的面积，再利用求出，设，代入面积中求出k，得到反比例函数解析式，再将点A横坐标代入出点A纵坐标，最后将点A坐标代入直线即可求解
；（2）根据（1）中点C的坐标得到点E的坐标，结合OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，列出关于m的方程，解方程即可求解．
（1）解：∵直线与y轴交点为B，∴，即．∵点A的横坐标为2，∴．∵，∴，设，∴，解得．∵点在双曲线上，∴，把点代入，得，∴，；（2
）解：由（1）得，∴．∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，∴，∵，，∴，解得或（不符合题意，舍去），∴点的坐标为（4，
2）．【点睛】本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质及待定系数法求函数
解析式是解题的关键．25．（2020·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，并分别与x轴相交于点A、
B．（1）求交点P的坐标；（2）求PAB的面积；（3）请把图象中直线在直线上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．【答案
】（1）；（2）3；（3）【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标；（2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求
得即可；（3）根据图象求得即可．【详解】解:根据题意，交点的横、纵坐标是方程组的解解这个方程组，得交点的坐标为直线与轴的交点的坐标
为直线与轴交点的坐标为的面积为在图象中把直线在直线上方的部分描黑加粗，图示如下: 此时自变量的取值范围为【点睛】本题考查了两条直线
平行或相交问题，两条直线的交点坐标是两条直线的解析式构成的方程组的解．26．（2022·山东枣庄·中考真题）为加强生态文明建设，某
市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企
业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中
线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的
关系：时间x（天）3569……硫化物的浓度y（mg/L）4.52.72.251.5……(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的
浓度y与时间x的函数表达式；(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；(3)该企业所排污水中硫化物的浓度
能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？【答案】(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
(2)y＝（x≥3）；(3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解析．【分析】（1）
设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可；（2）设函数的表达式为：y=，把C点坐标代入，求出
k的值即可；（3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可．（1）解：由前三天的函数图像是线段
，设函数表达式为：y=kx+b把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ，解得：k=﹣2.5，b=12∴当0≤x＜3时，硫化
物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12；（2）解：当x≥3时，设y=，把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=，
解得k=13.5，∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ；（3）解：能，理由如下：当x=15时，y==0.9，
因为0.9＜1，所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．【点睛】本题考查一次函数和反比例函
数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键．27．（2022·山东潍坊·中考真题）某市在盐碱地种植海水稻获得突破
性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量
情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．小亮认为，可以从y=kx+b(k>0) ，y=(m>0)
，y=?0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．(1)小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由
；(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；(3)根据（2）中你选择
的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？【答案】(1)认同，理由见解析(2)①号田的函数关系式为y=0.
5x+1(k>0)；②号田的函数关系式为y=?0.1x2+x+1；(3)在2023年或2024年总年产量最大，最大是7.6吨．【分
析】（1）根据年产量变化情况，以及反比例函数的性质即可判断；（2）利用待定系数法求解即可；（3）设总年产量为w，依题意得w=?0.
1x2+x+1+0.5x+1，利用二次函数的性质即可求解．（1）解：认同，理由如下：观察①号田的年产量变化：每年增加0.5吨，呈一
次函数关系；观察②号田的年产量变化：经过点（1，1.9），（2，2.6），（3，3.1），∵1×1.9=1.9，2×2.6=5.2
，1.9≠5.2，∴不是反比例函数关系，小莹认为不能选是正确的；（2）解：由（1）知①号田符合y=kx+b(k>0)，由题意得，解
得：，∴①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；检验，当x=4时，y=2+1=3，符合题意；②号田符合y=?0.1x2+a
x+c，由题意得，解得：，∴②号田的函数关系式为y=?0.1x2+x+1；检验，当x=4时，y=-1.6+4+1=3.4，符合题意
；（3）解：设总年产量为w，依题意得：w=?0.1x2+x+1+0.5x+1=?0.1x2+1.5x+2=?0.1(x2-15x+
-)+2=?0.1(x-7.5)2+7.625，∵?0.1<0，∴当x=7.5时，函数有最大值，∴在2023年或2024年总年产量
最大，最大是7.6吨．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的应用，待定系数法求函数式，二次函数的性质，反比例函数的性质，理解题意，
利用二次函数的性质是解题的关键．28．（2022·山东青岛·中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千
克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低
0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求
出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应
购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)且x为整数．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利
润最大，最大利润是140元．【分析】（1）根据题意列出，得到结果．（2）根据销售利润=销售量（售价-进价），利用（1）结果，列出销
售利润w与x的函数关系式，即可求出最大利润．（1）解：由题意得∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是，且x为整数．（2）解：设李
大爷销售这种水果每天获得的利润为w元则∵∴抛物线开口向下∵对称轴是直线∴当时，w的值随x值的增大而增大∵x为正整数，∴此时，当时，
当时，w的值随x值的增大而减小∵x为正整数，∴此时，当时，∵∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．【
点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二次函数的增减性来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建
立函数模型，然后结合实际选择最优方案进行解决．29．（2022·山东临沂·中考真题）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台
滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目
．主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区
CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，．某运动员在A
处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其解析式为．(1
)求b、c的值；(2)进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，
；空中飞行5s后着陆．①求x关于t的函数解析式；②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？【答案】(1)，(2
)①?②时，最大，为【分析】（1）根据题中所给信息，得出，，利用待定系数法列出关于的二元一次方程组求解即可得出结论；（2）①根据题
意得到当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行5s后着陆，，设出一次函数表达式，利用待定系数法求出函数关系式即可；②作轴交抛物线于，交于
，利用待定系数法确定直线的函数表达式，再由（1）得出抛物线表达式，求出，表示出运动员离着陆坡的竖直距离，根据抛物线的性质得出当时，
有最大值为．（1）解：过作于，于，如图所示：，着陆坡AC的坡角为30°，即，，在中，，则，，，即，，将，代入得，解得；（2）解：①
由（1）知，根据运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，设一次函数关系式为，当运动员在起跳点腾空时，；
空中飞行5s后着陆，，，解得，水平方向移动距离与飞行时间的一次函数关系式为；②作轴交抛物线于，交于，如图所示：设直线的表达式为，将
，代入得，解得，即直线的表达式为，由（1）知抛物线表达式为，，运动员离着陆坡的竖直距离，由可知抛物线开口向下，当时，有最大值为．【
点睛】本题考查用二次函数及一次函数解决实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、二次函数求最值等知识，熟练掌
握二次函数的图像与性质是解决问题的关键．30．（2022·山东滨州·中考真题）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售
，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．(1
)求y关于x的一次函数解析式；(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．【答案】(1)(2)价格为21元时
，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元【分析】（1）设，把，和，代入求出k、b的值，从而得出答案；（2）根据总利润=每件利
润×每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得答案．（1）解：设，把，和，代入可得，解得，则；（2）解：每
月获得利润 ．∵，∴当时，P有最大值，最大值为3630．答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元．【
点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函
数的性质，然后再利用二次函数求最值．31．（2021·山东日照·中考真题）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶5
5元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如
图所示：（1）求与之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？【答案】
（1）y=10x+100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元【分析】（1）设与之间的函数表达式为，将点、代入一次函数表达式，即可求
解；（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于的一元二次方程，通过解方程即可求解．【详解】解：（1）设与销售单价之间的函数关系式
为：，将点、代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：；（2）由题意得：，整理，得．解得，（舍去）．所以．答：这种消毒液每
桶实际售价43元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润总利润得出
一元二次方程是解题关键．32．（2021·山东滨州·中考真题）甲、乙两车沿同一条笔直的道路匀速同向行驶，车速分别为20米/秒和25
米/秒．现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，根据要求解答以下问题：（1）当（秒）时，两车相距多少米？当（秒）时呢？（2
）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中所求函数的图象．【答案】（1
）当x=50（秒）时，两车相距250米，当x=150（秒）时，两车相距250米；（2）；（3）见解析【分析】（1）根据题意，可以先
计算出两车相遇需要的时间，然后即可计算出当x=50和x=150时，两车的距离；（2）先计算出两车相遇需要的时间，然后根据x的取值范
围不同，写出相应的函数解析式即可；（3）根据（2）中的函数解析式和两点确定一次函数的图象的方法，可以画出相应的函数图象．【详解】解
：（1）∵500÷（25-20）=500÷5=100（秒），∴当x=50时，两车相距：20×50+500-25×50=1000+5
00-1250=250（米），当x=150时，两车相距：25×150-（20×150+500）=3750-（3000+500）=3
750-3500=250（米），答：当x=50（秒）时，两车相距250米，当x=150（秒）时，两车相距250米；（2）由题意可得
，乙车追上甲车用的时间为：500÷（25-20）=500÷5=100（秒），∴当0≤x≤100时，y=20x+500-25x=-5
x+500，当x＞100时，y=25x-（20x+500）=25x-20x-500=5x-500，由上可得，y与x的函数关系式是；
（3）在函数y=-5x+500中，当x=0时，y=-5×0+500=500，当x=100时，y=-5×100+500=0，即函数y
=-5x+500的图象过点（0，500），（100，0）；在函数y=5x-500中，当x=150时，y=250，当x=200时，y
=500，即函数y=5x-500的图象过点（150，250），（200，500），画出（2）中所求函数的图象如图所示．【点睛】本题
考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．33．（2021·
山东临沂·中考真题）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速
度v（单位：m/s）与时间t（单位：s） 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．（1）当甲车减速至9m/s时，它
行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？【答案】（1）87.5m；（2）6秒时
两车相距最近，最近距离是2米【分析】（1）根据图像分别求出一次函数和二次函数解析式，令v=9求出t，代入求出s即可；（2）分析得出
当v=10m/s时，两车之间距离最小，代入计算即可．【详解】解：（1）由图可知：二次函数图像经过原点，设二次函数表达式为，一次函数
表达式为，∵一次函数经过（0，16），（8，8），则，解得：，∴一次函数表达式为，令v=9，则t=7，∴当t=7时，速度为9m/s
，∵二次函数经过（2，30），（4，56），则，解得：，∴二次函数表达式为，令t=7，则s==87.5，∴当甲车减速至9m/s时，
它行驶的路程是87.5m；（2）∵当t=0时，甲车的速度为16m/s，∴当10＜v＜16时，两车之间的距离逐渐变小，当0＜v＜10
时，两车之间的距离逐渐变大，∴当v=10m/s时，两车之间距离最小，将v=10代入中，得t=6，将t=6代入中，得，此时两车之间的
距离为：10×6+20-78=2m，∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，理解题意
，读懂函数图像，求出表达式是解题的基本前提．34．（2020·山东东营·中考真题）2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热
销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：型号价格(元/只)项目甲乙成本
售价（1）若该公司三月份的销售收入为万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？（2）如果公司四月份投入成本不超过万元，应
怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）甲、乙两种型号口罩的产量分别为万只和万只；（2）从而安排生产甲种型号的口罩万只，乙种型号的口罩万只时，获得最大利润，最大利润为万元.【分析】（1）设甲种型号口罩的产量是万只，则乙种型号口罩的产量是万只，根据该公司三月份的销售收入为万元列出一元一次方程，从而可以得到甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；（2）根据题意，可以得到利润和生产甲种产品数量的函数关系式，再根据公司四月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过216万元，可以得到生产甲种产品数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大，并求出最大利润．【详解】设甲种型号口罩的产量是万只，则乙种型号口罩的产量是万只，根据题意得：解得：则则甲、乙两种型号口罩的产量分别为万只和万只；设甲种型号口罩的产量是万只，则乙种型号口罩的产量是万只，根据题意得：解得:.设所获利润为万元，则由于，所以随的增大而增大，即当时，最大，此时.从而安排生产甲种型号的口罩万只，乙种型号的口罩万只时，获得最大利润，最大利润为万元【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．35．（2020·山东潍坊·中考真题）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润=销售价-进价）【答案】（1）函数的表达式为：y=-2x+220；（2）80元，1800元．【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b， ，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，即可求解．【详解】（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y=-2x+220；（2）设药店每天获得的利润为W元，由题意得：w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，∵-2＜0，函数有最大值，∴当x=80时，w有最大值，此时最大值是1800，故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键．学科网（北京）股份有限公司 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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