专题05 一元二次方程一、单选题1．（2022·山东东营·中考真题）一元二次方程的解是（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用配方法解方
程即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，解得，故选D．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
2．（2020·山东临沂·中考真题）一元二次方程的解是（?）A．，B．，C．，D．，【答案】B【分析】得出方程各项系数，再利用公式
法求解即可.【详解】解：∵中，a=1，b=-4，c=-8，∴△=16-4×1×（-8）=48＞0，∴方程有两个不相等的实数根∴x=
，即，，故选B.【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用公式法，本题属于基础题型．3．（2022·山东聊城·中考真题
）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（?）A．B．C．2D．【答案】B【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一
次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．【详解】解：∵，∴，，则，即，∴，，∴．故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方
程，能够正确配方是解此题的关键．4．（2020·山东泰安·中考真题）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（
?）A．，21B．，11C．4，21D．，69【答案】A【分析】根据配方法步骤解题即可．【详解】解：移项得，配方得，即，∴a=-4
，b=21．故选：A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平
方．5．（2020·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（?）．A．B．C．D．【答案】A【分析】按照配方法的
步骤进行求解即可得答案．【详解】解：，移项得，二次项系数化1的，配方得，即，故选：A．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方
法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．6．（2022
·山东临沂·中考真题）方程的根是（?）A．，B．，C．，D．，【答案】B【分析】先把方程的左边分解因式化为从而可得答案．【详解】解
：， 或 解得： 故选B【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．7．（202
1·山东临沂·中考真题）方程的根是（?）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用因式分解法解方程即可得到正确选项．【详解】解：∵，∴
，∴，∴x+7=0，x-8=0，∴x1=-7，x2=8．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把
方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解
，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．8．（2022·山东滨州·中考真题）一元二次方程的根的
情况为（?）A．无实数根B．有两个不等的实数根C．有两个相等的实数根D．不能判定【答案】A【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式
的意义判断方程根的情况．【详解】解：∵Δ＝（?5）2?4×2×6＝-23＜0，∴方程无实数根．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次
方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2?4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数
根；当Δ＜0，方程没有实数根．9．（2021·山东滨州·中考真题）下列一元二次方程中，无实数根的是（?）A．B．C．D．【答案】D
【分析】计算出各个选项中的Δ的值，然后根据Δ＞0有两个不等式的实数根，Δ=0有两个相等实数根，Δ＜0无实数根判断即可．【详解】解：
在x2-2x-3=0中，Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×（-3）=16＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项A不符合题意；在
x2+3x+2=0中，Δ=b2-4ac=32-4×1×2=1＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项B不符合题意；在x2-2x+1=
0中，Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，即该方程有两个相等实数根，故选项C不符合题意；在x2+2x+3=0中，Δ=b2
-4ac=22-4×1×3=-8＜0，即该方程无实数根，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明
确Δ＞0有两个不等式的实数根，Δ=0有两个相等实数根，Δ＜0无实数根．10．（2021·山东烟台·中考真题）已知关于x的一元二次方
程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（?）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D
．无法确定【答案】A【分析】先计算根的判别式，再根据数轴上点的位置确定△的正负，即可判断．【详解】解：由数轴可知，且，则，∵△=，
，∴△＞0，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和数轴上表示数，解题关键是求出根的判别式，利用数轴提供的信息进行判断
．11．（2020·山东潍坊·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（?）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等
的实数根C．无实数根D．无法确定【答案】A【分析】先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0
，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．【详解】△=(k-3)2-4(1-k)=k2-6k+9-4+4k=k2-2
k+5=(k-1)2+4，∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查的是根的判别式
，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时
，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．12．（2020·山东滨州·中考真题）对于任意实数k
，关于x的方程的根的情况为（?）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判定【答案】B【分析】先根据根
的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．【详解】解：，，不论k为何值，，即，所以方程没有实数根，故选：B．【点睛】
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2-bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当
△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当△=b2-4ac＜0时，方程
没有实数根．13．（2021·山东菏泽·中考真题）关于的方程有实数根，则的取值范围是（?）A．且B．且C．D．【答案】D【分析】根
据方程有实数根，利用根的判别式来求的取值范围即可．【详解】解：当方程为一元二次方程时，∵关于的方程有实数根，∴，且 ，解得，且，当
方程为一元一次方程时，k=1，方程有实根综上，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中，熟
悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键．14．（2021·山东泰安·中考真题）已知关于x的一元二次方程标有两个不相等
的实数根，则实数k的取值范围是（ ）A．B．C．且D．【答案】C【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相
等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．【详解】解：由题可得：,解得：且；故选：C．【点睛】本题考查了一元
二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求
出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．15．（2022·山东枣庄·中考真题）已知y1和y2均是以x为自变量的函
数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不
是“和谐函数”的是（ ）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1B．y1＝和y2＝x+1C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1D．y1＝x2+
2x和y2＝﹣x﹣1【答案】B【分析】根据题意，令y1+y2＝1，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y
1和y2不是“和谐函数”．【详解】A、令y1+y2＝1，则x2+2x﹣x+1＝1，整理得：x2+x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1
，∴函数y1和y2是“和谐函数”，故A不符合题意；B、令y1+y2＝1，则+x+1＝1，整理得：x2+1＝0，此方程无解，∴函数y
1和y2不是“和谐函数”，故B符合题意；C、令y1+y2＝1，则﹣﹣x﹣1＝1，整理得：x2+2x+1＝0，解得：x1＝﹣1，x2
＝﹣1，∴函数y1和y2是“和谐函数”，故C不符合题意；D、令y1+y2＝1，则x2+2x﹣x﹣1＝1，整理得：x2+x﹣2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2，∴函数y1和y2是“和谐函数”，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方程、分式方程，
根据题意令y1+y2＝1，然后进行求解是解题的关键．16．（2022·山东泰安·中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”
问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如
果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符
合题意的方程是（?）A．B．C．D．【答案】A【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x?1）文，利用总价＝单价×数量，
即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于
一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x?1）文，依题意得：3（x?1）x＝6210，故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元
二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．（2021·山东聊城·中考真题）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝
4的一个解是﹣2，则k值为（?）A．2或4B．0或4C．﹣2或0D．﹣2或2【答案】B【分析】把x=-2代入方程即可求得k的值；【
详解】解：将x=-2代入原方程得到：，解关于k的一元二次方程得：k=0或4，故选：B．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程相关知识
点，代入解求值是关键．18．（2021·山东济宁·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（?）A．2019B
．2020C．2021D．2022【答案】B【分析】根据一元二次方程根的定义得到，则，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的
方法计算．【详解】解：∵m是一元二次方程的实数根，∴，∴，∴，∵m、n是一元二次方程的两个实数根，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考
查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．二、填空题19．（2022·山东东营·中考真
题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____________．【答案】且【分析】根据一元二次方程二次项系
数不为0，以及根的判别式即可得出k的取值范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴且，∴且，∴且．故答案为：
且．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念以及根的判别式是本题的关键．20．（2022·山东
威海·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___．【答案】m＜5【分析】由题意得判别式为正数，得
关于m的一元一次不等式，解不等式即可．【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴．解得：m<5．故答案为：m<5．【点
睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元一次不等式，熟悉一元二次方程的根的判别式与一元二次方程的实数根的情况的关系是本题的关键
．21．（2020·山东烟台·中考真题）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________．【答案】
且【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴ 且 ，即且 ，∴且．故
答案为：且【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等实数根；当 时，方程有两个
相等实数根；当 时，方程没有实数根是解题的关键．22．（2020·山东淄博·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有
两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____．【答案】m＜【详解】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0
，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m∴△＝b2﹣4ac＝（﹣
1）2﹣4×1×2m＞0，解得m＜，故答案为m＜．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0?方程有两个不相
等的实数根；②△＝0?方程有两个相等的实数根；③△＜0?方程没有实数根．23．（2020·山东东营·中考真题）如果关于的一元二次方
程有实数根，那么的取值范围是___．【答案】【分析】由一元二次方程根与系数的关键可得： 从而列不等式可得答案．【详解】解： 关于的
一元二次方程有实数根， 故答案为：【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．24
．（2022·山东日照·中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=_______
___．【答案】##-0.125【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+
x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，∵x12+x
22=，∴（x1+x2）2-2x1x2=，∴4m2-m=，∴m1=-，m2=，∵Δ=16m2-8m＞0，∴m＞或m＜0时，∴m=不
合题意，故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．25．
（2021·山东德州·中考真题）方程x2﹣4x＝0的解为______．【答案】x1＝0，x2＝4【分析】提取公因式，再根据“两式的
乘积为0，则至少有一个式子的值为0”求解．【详解】解：，，或，，，故答案是：，．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌
握在解一元二次方程时应当注意要根据实际情况选择最合适快捷的解法，该题运用了因式分解法．26．（2020·山东威海·中考真题）一元二
次方程的解为__________．【答案】x=或x=2【分析】根据一元二次方程的解法解出答案即可．【详解】当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x=,故答案为:x=或x=2．【点睛】本题考查解一元二次方程,本题关键在于分情况讨论．27．（2021·
山东济南·中考真题）关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是__________．【答案】-3【分析】由题意可把x=2代入一元
二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．【详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程得：，解得：，∴原方程为，解方程得
：，∴方程的另一个根为-3；故答案为-3．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关
键．28．（2020·山东枣庄·中考真题）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝___
．【答案】?1【分析】根据一元二次方程的解把x＝0代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得a＝±1，然后根据一元二次方程的定义确定
a的值．【详解】解：把x＝0代入（a?1）x2?2x＋a2?1＝0得a2?1＝0，解得a＝±1，∵a?1≠0，∴a＝?1．故答案为
：?1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方
程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．29．（2020·山东济南·中考
真题）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建
的路宽应为_____米．【答案】1【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面
积公式列方程求解即可．【详解】解：设道路的宽为x m，根据题意得：（10﹣x）（15﹣x）＝126，解得：x1＝1，x2＝24（不
合题意，舍去），则道路的宽应为1米；故答案为：1．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面
的最上边和最左边是做本题的关键．三、解答题30．（2021·山东日照·中考真题）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以
每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其
图象如图所示：（1）求与之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？【
答案】（1）y=10x+100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元【分析】（1）设与之间的函数表达式为，将点、代入一次函数表达式，
即可求解；（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于的一元二次方程，通过解方程即可求解．【详解】解：（1）设与销售单价之间的函数
关系式为：，将点、代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：；（2）由题意得：，整理，得．解得，（舍去）．所以．答：这种消
毒液每桶实际售价43元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润总利
润得出一元二次方程是解题关键．31．（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.
6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库
存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？【答案】
（1）10%；（2）6件【分析】（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率
相同，可设每次降价的百分率为x，从而可以列出方程60（1-x）2=48.6，然后求解即可；（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出
相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价
．【详解】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x，60（1-x）2=48.6，解得x1=0.1，x2=1.9（舍去），答：该商品每
次降价的百分率是10%；（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-a）件，由题意可得，[60（1-10%）-40]a+（
48.6-40）×（20-a）≥200，解得a≥，∵a为整数，∴a的最小值是6，答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程和不等式
，第一问是典型的的下降率问题，是中考常考题型．32．（2021·山东淄博·中考真题）为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其
生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是320
0万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）解答过程中可直接使用表格中的数据哟！1.18
1.391.64（1）求该公司每个季度产值的平均增长率；（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．【答案】（1）该公
司每个季度产值的平均增长率为18％；（2）该公司今年总产值能超过1.6亿元，理由见详解．【分析】（1）设该公司每个季度产值的平均增
长率为x，由题意可得，然后求解即可；（2）由（1）及题意可直接进行求解．【详解】解：（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x，由
题意可得：，解得：（舍去）；答：该公司每个季度产值的平均增长率为18％（2）该公司今年总产值能超过1.6亿元，理由如下：由（1）及
题意可得：（万元）=1.6672亿元；∵1.6672＞1.6，∴今年总产值超过了1.6亿元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用
，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．33．（2021·山东烟台·中考真题）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款
成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增
加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为
每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几
折销售？【答案】（1）50元；（2）八折【分析】（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可；（2
）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可．【详解】解：（1）设每件的售价定为x元，则
有：，解得：(舍)，答：每件售价为50元；（2）设该商品至少打m折，根据题意得：，解得：，答：至少打八折销售价格不超过50元．【点
睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键．34．（2021·山东东营·
中考真题）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1
008公斤的目标．（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期
望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．【答案】（1）20%；（2）能【分析】（1）设亩产量的平均
增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可；（2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可．【详解】解：（1）设
亩产量的平均增长率为x，根据题意得：， 解得：，（舍去），答：亩产量的平均增长率为20%．（2）第四阶段的亩产量为（公斤），∵，∴
他们的目标可以实现．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键．35．（2021·山东
菏泽·中考真题）列方程（组）解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克2
2元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，解决下
面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？【答案】29元．【分析】
设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符
合条件的的值，即可解题售价．【详解】解：设这种水果每千克降价元，则每千克的利润为：元，销售量为：千克，整理得，或，要尽可能让顾客得
到实惠，即售价为（元）答：这种水果的销售价为每千克29元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知
识是解题关键．36．（2020·山东滨州·中考真题）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月
可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少
千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？【答案】（1）45
0千克；（2）当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元；（3）当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大【分析】（1）根据销
售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案；（2）设每千克水果售价为元，根据题意列方程解答即可；（3）设月销售利润为元，每千克水
果售价为元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可．【详解】解：当售价为元/千克时，每月销售量为千克．设每千克
水果售价为元，由题意，得即整理，得配方，得解得当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元；设月销售利润为元，每千克水果售价为元，由
题意，得即配方，得，当时，有最大值，当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，顶点式
二次函数的性质，正确理解题意，根据题意对应的列方程或是函数关系式进行解答，并正确计算．37．（2020·山东青岛·中考真题）实际问
题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100
元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖
券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共
有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：（1
）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①所取的2个整数1，21，3，2，32个整数之和34
5如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1
，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②所取的2个整数1，21，3，1，42，32，43，4
2个整数之和345567如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以
共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．（4）从1，2
，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整
数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．（2）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个
整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有_____
_种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有______种不同的结果．问题解决
：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额
．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程
）（2）从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有______种不同的结果．【答案】探究一：（3）；（
4）（，为整数）；探究二：（1）（2） ；探究三：归纳结论： （为整数，且，＜＜）；问题解决：；拓展延伸：（1）个或个；（2）．【
分析】探究一：（3）根据（1）（2）的提示列表，可得答案；（4）仔细观察（1）（2）（3）的结果，归纳出规律，从而可得答案；探究二
：（1）仿探究一的方法列表可得答案；（2）由前面的探究概括出规律即可得到答案；探究三：根据探究一，探究二，归纳出从1，2，3，…，
（为整数，且）这个整数中任取4个整数的和的结果数，再根据上面探究归纳出从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整
数之和的结果数；问题解决：利用前面的探究计算出这5张奖券和的最小值与最大值，从而可得答案；拓展延伸：（1）直接利用前面的探究规律，
列方程求解即可，（2）找到与问题等价的模型，直接利用规律得到答案．【详解】解：探究一：（3）如下表：取的2个整数
2个整数之和 所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共
有7种不同的结果．（4）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和的最小值是3，和的最大值是 所以一共
有种．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，如下表：取的3个整数1,2,31,2,41,3,42,3,43个整数
之和6789从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种，（2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，
这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是12,所以从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有7种，从而从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是 所以一共有种，探究三：从1，2，3，4，5这5个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是 最大是，所以这4个整数之和一共有5种，从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是 最大是，所以这4个整数之和一共有9种，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和的最小值是10，和的最大值是，所以一共有 种不同的结果．归纳结论：由探究一，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种．探究二，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种，探究三，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有 种不同的结果．从而可得：从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值是15，和的最大值是490，共有种不同的优惠金额．拓展延伸：（1） 从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果． 当 有 或 或 从1，2，3，…，36这36个整数中任取29个或7个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．（2）由探究可知：从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，等同于从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，所以：从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果．【点睛】本题考查的是学生自主探究，自主归纳的能力，同时考查了一元二次方程的解法，掌握自主探究的方法是解题的关键．学科网（北京）股份有限公司 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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