2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义
第5讲 比和比例
知识点一：比
1.比的意义：两个数相除又叫作两个数的比。
2.比的各部分名称及比的读法：
4 ： 5=4÷5=0.8
↓ ↓ ↓ ↓
前项 比号 后项 比值
3.比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变
4.求比值与化简比
（1）求比值：前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。
同类量的比，其比值没有单位名称; 不同类量的比，其比值有单位名称。例如:
100千米:5时=20千米/时
（2）化简比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。
把两个数的比化成最简整数比的，称为化简比或比的化简。
5.比与分数、除法的关系
关系：比与分数相比，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比号相当于分数线;比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于商，比号相当于除号。
（1）比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示:
名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） 一（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系；不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 （2）比的基本性质、分数的基本性质及商不变的规律之间的联系。由比与分数、除法各部分间的关系可知，比的基本性质、分数的基本性质以及商不变的规律三者只是说法不同，其实质是一样的。
6.按比分配:
（1）在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫作按比分配。
（2）按比分配应用题的特征：已知总数量和部分数量的比，求各部分数量。
（3）常用的解题方法有两种：一种是先求总份数，再求各部分量占总量的几分之几，最后求各部分数量；另一种是先求每份是多少，再求几份是多少。
知识点二：比例
1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
3.比例的性质：在比例里，两个外项的积等于两个内的积。这叫做比例的基本性质。
4.
（1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。
（2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例出有基本性质，它是解比例的依据。 5.解比例: 解比例就是求比例中的未知项，也就是已知比例中的任意三项，就可以求出未知项。解比例的依据是比例的基本性质。
知识点三：正比例和反比例
1.判断正比例和反比例的方法:
（1）分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。
（2）分析两种相关联的量，看它们之间是比值一定还是积一定。
（3）如果是比值一定，就成正比例；如果是积一定，就成反比例；如果比值和积都不是一定的，就不成比例。
2.正比例图像:正比例图像是一条直线。
3.用比例的知识解决实际问题
（1）用比例知识解决的实际问题可分为正比例问题和反比例问题两类。
（2）应用比例知识解决实际问题的一般方法和步骤: ①判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例；②设未知量为x；③列出比例，解比例；④检验并作答。
知识点四：比例尺
1.比例尺的意义
(1)图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即，
(2)
2.比例尺的分类
(1)数值比例尺：1:200000或，比例尺一般写成前项是1或后项是1的形式
(2)线段比例尺：这种用线段表示的比例尺，叫作线段比例尺
3求图上距离或实际距离：
图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺
一、精挑细选(共5题；每题2分，共10分)
1．（2021六上·红塔期末）有三杯糖水，糖与水的质量比如下，（ ）杯糖水最甜。
A．1.2：3.6 B．3：12 C．2：9
2．（2021六上·偃师期末）在2：7中，如果前项加上4，要是比值不变，后项应该（ ）。
A．加上4 B．加上21 C．乘3 D．乘4
3．（2020六上·凉州期末）两个圆的直径之比是1∶2，那么它们的面积比是（ ）。
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶4 D．无法确定
4．（2021六上·澄江期末）甲数和乙数的比是3：2， 如果甲数是6，那么乙数是（ ）。
A．6 B．4 C．2
5．（2021六上·红塔期末）一个三角形和一个平行四边形，它们的底和面积都相等，它们的高的比是（ ）。
A．1：1 B．1：2 C．2：1 D．4：1
6．（2021六上·乐昌期末）甲队在一场比赛中以3：0大胜乙队，3：0是数学中的比。（ ）
7．（2021六上·定州期中）最简整数比的前项和后项没有公因数。（ ）
8．一堆黄沙，已经用去 ，剩下的和已经用去的比是2：5。
9．等底等高的三角形和平行四边形，它们的面积比是1：2。（ ）
10．（2021六上·临沂期中）甲数的 等于乙数的 （甲、乙两数均不为0），甲数与乙数的比是6：5。（ ）
11．（2021六上·南郑期末）跑36千米需要2小时，路程与时间的比值是 ，这个比值表示 。
12．（2021六上·峄城期中）王大妈养的鸡比鸭多25只，已知鸡与鸭的只数比是7：2，养的鸡和鸭共 只。
13．在比例尺是1：500000的地图上，量得甲、乙两地的距离约为12厘米，两地之间的实际距离大约是 千米。
14．走一段路，甲用4小时，乙用 小时，甲和乙行走的速度比是 。
15．（2021六上·澄江期末） 与0.75的最简整数比是 ，比值是 。
16．（2021六上·市中期末）把 吨：500千克吨化成最简单的整数比是 ，比值是 。
17．（2021六上·无为期末）甲数的 等于乙数的 ，甲乙两数的最简整数比是 。
18．（2021六上·乐昌期末） =0.125= ：32=8÷ = %
19．（2021六上·龙华期末）如图，两个正方形重叠部分的面积相当于小正方形面积的 ，相当于大正方形面积的 ，小正方形和大正方形面积的比是 。
20．（5分）（2021六上·武昌期中）直接写出计算结果。 4.5＋ =
- = ×1 = （ ）： = ＋ －0.4=
21．（9分）（2021六上·邕宁期中）求比值。
（1）13.5：2.7 （2）12∶ （3）0.6千克∶5克
22．（5分）表中的M和N是两个相关联的量，并且成正比例关系，试着填写表格。
M 2 3 6 …… N 15 20 25 35 ……
23．（4分）一幅地图的比例尺是1∶60000,现在改用1∶50000的比例尺重新绘制,原地图中5厘米的距离,在新地图中应该画多少厘米?(8分)
24．（4分）小明和小红去商店买球，小红买了5个乒乓球，花了25元，小明买了7个羽毛球，花了14元，根据以上信息，写一些比，并求出比值。
25．（5分）三条绳长的和是84米，三条绳的比是3：4：5，三条绳各长多少米？
26．（5分）甲、乙两根绳子共长22米，甲绳截去 后，乙绳和甲绳的长度比是3：2，甲、乙两根绳子原来各长多少米？
27．（5分）学校组织同学们进行耐力训练，1.5小时行路4.5千米．照这样的速度，要行6千米，需要走多少小时?
28．（8分）建筑工地用的混凝土是用水泥、黄沙、石子三种材料按照1∶2∶4搅拌而成的．
（1）（4分）搅拌这种混凝土140吨，需要水泥、黄沙和石子各多少吨？
（2）（4分）现在工地上有水泥7吨，黄沙10吨，石子20吨．如果要把石子全部用完，水泥够不够？够，剩余多少吨？不够，还缺多少吨？
29．（5分）（2021六上·偃师期末）为保证春节货源充足，元旦前某货运商从新疆原产地运回河南的核桃、巴旦木、红枣的质量比是4：1：3，已知运回红枣24吨。运回的核桃和巴旦木各多少吨？
30．（5分）（2021六上·天河期末）开心小农场一共种了600棵向日葵和玉米。玉米种了多少棵？
31．（5分）（2021六上·武昌期中）湖北省图书馆新购进文学类、科普类和故事类图书共8000册，其中 为文学类图书，科普类图书和故事类图书的比为3：1.则新购进的科普类图书和故事类图书分别有多少册？
答案解析
1．【答案】A
【完整解答】解：A：1.2：3.6=； B：3：12=； C：2：9=； ，所以A杯水最甜。 故答案为：A。
【思路引导】可以用前项除以后项求出比值，比值最大的就说明是最甜的，因为比值表示糖占水的几分之几。
2．【答案】C
【完整解答】解：4÷2=2，比的前项增加了2倍，就是扩大到原来的3倍，要是比值不变，后项应该乘3。 故答案为：C。
【思路引导】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以（0除外）相同的数，比值不变。
3．【答案】B
【完整解答】解：两个圆的直径之比是1∶2，那么它们的面积比是12：22=1：4。 故答案为：B。 【思路引导】圆面积公式：S=πr2，根据圆面积公式可知，两个圆面积的比是直径或半径平方的比。
4．【答案】B
【完整解答】解：甲数和乙数的比是3：2， 如果甲数是6，那么乙数是6÷3×2=4。 故答案为：B。
【思路引导】甲数是3份，乙数是2份，用甲数除以2求出每份是多少，用每份数乘2即可求出乙数。
5．【答案】C
【完整解答】解：一个三角形和一个平行四边形，它们的底和面积都相等，它们的高的比是2：1。 故答案为：C。
【思路引导】等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍，底盒面积都相等的三角形的高一定是平行四边形高的2倍，所以它们的高的比是2：1。
6．【答案】（1）错误
【完整解答】解：3：0不是数学中的比，是比赛中用的比，这里的0表示没有得分。原题说法错误。 故答案为：错误。
【思路引导】数学中的比中，比的后项不能是0。
7．【答案】（1）错误
【完整解答】解：最简整数比的前项和后项的公因数是1，原题说法错误。 故答案为：错误。
【思路引导】最简整数比指的是比的前项和比的后项互质，即公因数是1，本题据此判断。
8．【答案】（1）正
【完整解答】解：2：（7-2）=2：5，原题正确。 故答案为：正确。 【思路引导】一堆黄沙，已经用去 ，说明这堆黄沙是7份，已经用去了2份，还剩下5份，剩下的和已经用去的比是2：5。
9．【答案】（1）正
【完整解答】解：等底等高的三角形和平行四边形，它们的面积比是1：2，原题干说法正确。 故答案为：正确。
【思路引导】等底等高的三角形是平行四边形面积的一半，所以，它们的面积比是1：2。
10．【答案】（1）正
【完整解答】解：甲数：乙数=：=（×30）：（×30）=6：5 故答案为：正确。
【思路引导】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
11．【答案】18；速度
【完整解答】解：36：2=36÷2=18，这个比值表示速度。 故答案为：18；速度。
【思路引导】比的前项除以比的后项等于比值；路程÷时间=速度。
12．【答案】45
【完整解答】解：25÷（7-2） =25÷5 =5（只） 5×（7＋2） =5×9 =45（只） 故答案为：45。
【思路引导】王大妈养鸡和鸭的总只数=平均每份的只数×总份数；其中，平均每份的只数=鸡比鸭多的只数÷（鸡占的份数-鸭占的份数） 。
13．【答案】60
【完整解答】解：12÷÷100000 =6000000÷100000 =60（千米）。 故答案为：60。 【思路引导】实际距离=图上距离÷比例尺；然后单位换算。
14．【答案】4：5
【完整解答】解：（1÷4）：（1÷） =： =4：5。 故答案为：4：5。 【思路引导】速度=路程÷时间，然后依据比的基本性质化简比。
15．【答案】1：1；1
【完整解答】解：化简：：0.75=0.75：0.75=1：1，比值：1÷1=1。 故答案为：1：1；1。
【思路引导】化简比要掌握比的基本性质，根据比的基本性质把比化成最简整数比即可；用化简后的比的前项除以后项即可求出比值。
16．【答案】2：3；
【完整解答】解：化简：吨：500千克=吨：吨=2：3，比值：2÷3=。 故答案为：2：3；。
【思路引导】把千克换算成吨，然后根据比的基本性质把比化成最简单的整数比；用化简后的比的前项除以后项即可求出比值。
17．【答案】15：8
【完整解答】解：：=15：8。 故答案为：15：8。
【思路引导】根据分数乘法的意义可知，甲数×=乙数×，那么就可以把加数看作是，乙数看作是，然后写出两个数的比并化成最简整数比即可。
18．【答案】2；4；64；12.5
【完整解答】解：0.125==；16×=2；32×=4；8÷=64；0.125=12.5%。 故答案为：2；4；64；12.5。
【思路引导】分子=分母×分数值；比的前项=比的后项×比值；除数=被除数÷商；小数化百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
19．【答案】4：9
【完整解答】解：小正方形的面积×=大正方形的面积× 小正方形的面积：大正方形的面积=： 小正方形的面积：大正方形的面积=4：9。 故答案为：4：9。
【思路引导】比例的基本性质：在比例里，两个内项积等于两个外项积。
20．【答案】+=×2.8=2 4.5+=5 ÷=5 -=×=1 ：=+-0.4=0.1 1÷÷=12 ×÷×=
【思路引导】分数乘小数，先用小数除以分数的分母，然后乘分子即可；
分数乘分数，用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母，能约分的要约分； 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数； 比的前项=比的后项×比值。
21．【答案】（1）13.5：2.7 =13.5÷2.7 =5
（2）12： =12÷ =27
（3）0.6千克：5克 =600克：5克 =600÷5 =120
【思路引导】用比的前项除以后项即可求出比值。单位不统一的先统一单位再求比值。
22．【完整解答】解：15÷3=5 2×5=10 20÷5=4 25÷5=5 6×5=30 35÷5=7
M 2 3 4 5 6 7 …… N 10 15 20 25 30 35 …… 【思路引导】表中的M和N成正比例关系，则N÷M=15÷3=5；据此计算出得数。
23．【答案】解：5÷ =5×60000=300000(厘米)
300000× =6(厘米)
答:在新地图中应该画6厘米。
【完整解答】 5÷ =5×60000=300000（厘米）
300000× =6（厘米）
答：在新地图中应该画6厘米。
【思路引导】已知原地图中的图上距离和比例尺，可以求出实际距离，用图上距离÷比例尺=实际距离，然后用实际距离×新地图的比例尺=新地图中的图上距离，据此列式解答.
24．【答案】解：小红买的兵乓球的总价和个数之间的比是25：5，比值是25：5=25÷5=5；小明买的羽毛球的总价与个数之间的比是14：7，比值是14：7=14÷7=2；小红花的钱数和小明花的钱数的比是25：14，比值是25：14=25÷14=.
【思路引导】根据题意可知，可以写出总价与个数的比，也可以写出两人的总价比，求比值的方法是：前项÷后项=比值，据此解答.
25．【答案】解：3+4+5=12；84÷12=7（米）；7×3=21（米）；7×4=28（米）；7×5=35（米）.答：三条绳长分别长21米、28米、35米。
【思路引导】根据题意可知，把三条绳子的比看作它们在总量中占的份数，用总长度÷总份数=每份的长度，然后用每份的长度×每条绳子占的份数=每条绳子的长度，据此解答.
26．【答案】解：（1﹣ ）÷ = ，即乙甲原来的长度比是 6：5；
乙原来长：
22×
=22×
=12（米）；
甲原来长：
22×
=22×
=10（米）．
答：甲绳原长10米，乙绳原长12米
【思路引导】已知甲、乙两根绳子共长22米，甲绳截去后还剩（1﹣）=，乙绳和甲绳的长度比是3：2，即甲的占是乙的，由此可得乙原来是甲的 ÷=，即乙甲原来的长度比是6：5，这样就能分别求甲乙原来长多少米．
27．【答案】解：设需要走x时．
6∶x=4.5∶1.5或 ；
x=2
【思路引导】路程和时间的比即速度是个定值（4.5∶1.5)，路程和时间的比为，6∶x，据此代入数据，列方程解决问题。
28．【答案】（1）20吨,40吨,80吨
（2）够,剩余2吨
【思路引导】(1)根据比确定水泥，黄沙，石子三种材料与总重量比较的占比，然后根据各自的占比，求出它们的重量。 （2）假设10吨黄沙需要水泥x吨，x:10=1:2，解得x=5，7-5=2吨，所以， 够,剩余2吨。
29．【答案】解：24÷3=8（吨）， 4×8=32（吨） 答：运回的核桃32吨，运回巴旦木8吨。
【思路引导】红枣占3份，是24吨，1份是8吨；核桃占4份，是32吨；巴旦木占1份，是8吨。
30．【答案】解：一份数：600÷（3+2）=120（棵）
玉米：120×2=240（棵）
答：玉米种了240棵。
【思路引导】1份表示的棵数=一共种向日葵和玉米的棵数÷向日葵和玉米的棵数一共占的份数，所以玉米种的棵数=1份表示的棵数×玉米种植的棵数占的份数，据此代入数据作答即可。
31．【答案】解：8000×（1-）=6000（册） 6000×=4500（本） 6000-4500=1500（本） 答：新购进的科普类图书有4500本，故事类图书有1500本。
【思路引导】新购进的科普类图书和故事类图书一共有的册数=图书馆一共购书的本数×（1-文学类图书占几分之几），所以新购进的科普类图书有的本数=新购进的科普类图书和故事类图书一共有的册数×，新购进的故事类图书有的本数=新购进的科普类图书和故事类图书一共有的册数×，据此代入数值作答即可。
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