多边形的内角和与外角和典型热点考题
例1 已知：四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4，求各外角的度数？
点悟：考查四边形外角和定理，由四边形外角和定理和各外角之间的比例关系很容易求出各角．
解：设四边形的最小外角为x°，则其他三角分别为2x°，3x°，4x°，根据四边形外角和定理：x°＋2x°＋3x°＋4x°=360°．
∴ x°=36°， 2x°=72°， 3x°=108°， 4x°=144°．
∴ 四边形各外角度数分别为36°，72°，108°，144°．
点拨：本例应用了设参数x的代数方法求出四边形四个外角的度数，不少的几何线段的计算，角的计算以及证明题，如果应用代数方法求解，可使过程简洁，清晰，特别是已知条件中如果出现比例关系时，采用设参数法是最常见的解题思路，通过设参数，结合几何知识，把问题转化为解方程，学生一定要掌握这种技巧．
例2 多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求多边形的边数？
解法一：设边数为n，这个外角为x度，则0＜x＜180，依题意有：(n-2)·180＋x=1350，
∴.
又∵ 0＜x＜180， ∴-90＜90-x＜90，
∴ n=9.
解法二：∵0＜x＜180；
∴ 1350-180＜1350-x＜1350；
即 1170＜1350-x＜1350，
又∵ (n-2)·180=1350-x，
∴ 1170＜(n-2)·180＜1350.
∴ 8.5＜n＜9.5；
∵ n的边数必为整数， ∴ n=9
注：此类题都隐含着边数为正整数这个条件．解法一是利用整数方程来解的．解法二是利用不等式确定边数范围然后通过边数为整数来解的．
例3 如图，已知在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=13，AD=12，∠B=90°．求：
四边形ABCD的面积．
点悟：由∠B=90°，AB=3，BC=4，想到连接AC，利用勾股定理解题得AC=5，又AD=12，CD=13由勾股定理的逆定理有∠DAC为直角，从而.
解：连结AC．在Rt△ABC中，有
∴ AC=5.
∵ CD=13，AD=12，有
即 .
∴ △ACD是直角三角形，∠DAC=90°，
∴
=
=
点拨：当题目中有线段长度时，一般利用勾股定理的逆定理判定某三角形是否为直角三角形．四边形问题通常转化为三角形问题来解决，在构造三角形时必须同已知条件结合起来，不要随意连线．
例4 一个n边形每个内角都是150°，则这个多边形的内角和是多少？
点悟：由于这个n边形每个内角都是150°，所以可以推知它的每个外角都为30°，而任意多边形的外角和都为360°，从而可以知道这个n边形的边数，再利用多边形内角和定理即可．
解：方法一：∵ 这个n边形的每个内角都为150°，
∴ 此n边形的每个外角为30°，
又∵ 任意多边形的外角和为360°，
∴ n=360°÷30°=12.
∴ 此n边形的内角和为180°(n-2)=180°×10=1800°．
方法二：设这个多边形的边数为n，由题意得：150°·n=180°(n-2)．解这个方程，得n=12．则此多边形的内角和为：180°(n-2)=180°×10=1800°．
点悟：如图，在n边形内部取一点O，连接O与各个顶点的线段，把n边形分成n个三角形，因为这n个三角形的内角和等于n·180°，以O为公共顶点的n个角的和是
360°，即2×180°，所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=(n-2)×180°．
我们还可以这样求n边形内角和，如下图所示，作经过n边形某一个顶点的所有对角线，把n边形分成(n-2)个三角形，则n边形的内角和即为(n-2)个三角形的内角和．即(n-2)·180°．
例5 已知一个多边形的每个内角都为钝角，则这样的多边形有多少个？边数最少的一个是几边形？
点悟：此题首先要利用多边形内角和定理表示出每一个内角，然后列出不等式．
解：设多边形是n边形，由题意得：
即 解得
∴n＞4.
∴内角都为钝角的多边形有无数个．
又∵ n＞4，n为整数，
∴ n的最小值为5，即边数最少的一个是五边形．
注：对于此题的最后一个问题，实际上是对不等式附加某些条件，然后可求出具体未知数，但要注意的是，五个角都是钝角的五边形是存在的，但五四形不一定五个角都是钝角．
点拨：如果有4个或4个以上内角为锐角，那么与这些锐角相邻的外角都是钝角，所以这些外角的和将大于360°，这与多边形外角和恒等于360°相矛盾，故在多边形的内角中，锐角的个数不能多于3个．
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