2.3 绝对值1．多重符号的化简化简规律：化简一个含有多重括号的非零有理数，结果与这个有理数前面的负号的个数有关．①当“－”号的个数是奇数
时，结果为负；②当“－”号的个数是偶数时，结果为正．[ww^w.%zzste~p.@com]由于正号可以省略，所以化简符号时，主
要看这个数前面“－”号的个数．【例1】 化简下列各数的符号：(1)－{－[＋(－10)]}；(2)－[－(＋5)]．分析：[来&源
:#中教^%网~]题号负号的个数答案(1)3－10(2)25解：(1)－{－[＋(－10)]}＝－10；(2)－[－(＋5)]＝5
.[来源:中#教&@网~]点评：化简一个含有多重括号的非零有理数，可以逐步地由内向外层层化简，也可以根据“奇负偶正”的规律进行化
简．2.绝对值的求法绝对值的求法有两种方式：一是给出数字，直接按要求求这个数的绝对值；二是给出含有绝对值符号的式子，求式子的值．求
绝对值的方法：(1)先判断这个数是正数、负数，还是0.(2)根据绝对值的代数意义确定它的绝对值是它本身，还是它的相反数，从而求得它
的绝对值．[来~源:中国^教育%&出版网]绝对值的代数意义：①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；[来%源
:@~z&z#step.com]③0的绝对值是0.弄清绝对值与相反数符号的意义及相反数和绝对值的求法，是求含有绝对值符号式子的关键
．【例2－1】 求下列各数的绝对值：＋11，－3.4,0，－.分析：可根据绝对值的意义，即根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值
是它的相反数，0的绝对值是0”进行求解．解：|＋11|＝11，|－3.4|＝3.4，|0|＝0，＝.【例2－2】 求下列各式的值：
|＋2 013|，|－3.9|，－，－|＋18|.分析：|＋2 013|求＋2 013的绝对值|－3.9|求－3.9的绝对值－求－
的绝对值的相反数－|＋18|求＋18的绝对值的相反数解：|＋2 013|＝2 013，|－3.9|＝3.9，－＝－，－|＋18|＝
－18.3.利用绝对值比较大小(1)利用绝对值比较两个负数的大小两个负数比较大小，绝对值大的反而小．比较的具体步骤：①先求两个负数
的绝对值；②比较绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断．(2)几个有理数的大小比较①同号两数，可以根据它们的绝
对值来比较：a.两个正数，绝对值大的数较大；b.两个负数，绝对值大的反而小．②多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数
分类比较，然后利用各数的绝对值或借助于数轴来进一步比较．【例3－1】 比较下列每组数的大小：(1)－3和－2.9；(2)－和－0.
6.分析：可先求出它们的绝对值，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”比较大小．解：(1)因为|－3|＝3，|－2.9|＝2. 9,
3＞2.9，所以－3＜－2.9；(2)因为＝，|－0.6|＝0.6，＞0.6，[中^国教育~@出版网#]所以－＜－0.6.【例3
－2】 求下列各数的绝对值，并用“>”将各数排列起来：－，＋1,0，－2.3.分析：根据绝对值的意义来求各数的绝对值；根据“正数大
于0”“0大于负数”“两个负数，绝对值大的反而小”来比较它们的大小．解：因为＝，|＋1|＝1，|0|＝0，|－2.3|＝2.3，所
以＋1＞0＞－＞－2.3.4．绝对值的非负性的应用绝对值的非负性(1)绝对值具有非负性，即对于任意有理数，都有|a|≥0.绝对值的
最小值为0.(2)若几个数的绝对值相加和为0，则这几个数的值都为0.[中国教^@育出~&版网%]用式子表示为：若|a|＋|b|＋|
c|＝0，则a＝0，且b＝0，且c＝0.[来源:^zz#step.~c&om]可以利用上面的知识求字母的值．【例4－1】 当m＝
__________时，5＋|m－1|有最小值，最小值是__________．解析：根据“任意一个有理数的绝对值都是非负数”来解答
．[w@ww&.zzstep.com%~]因为|m－1|≥0，所以当m＝1时，|m－1|有最小值为0，则5＋|m－1|的最小值是
5＋0＝5.答案：1 5【例4－2】 已知|a－2|＋|7－b|＋|c－3|＝0，求a，b，c的值．分析：当3个绝对值相加等于0
时，说明每个绝对值都等于0.解：因为|a－2|≥0，|7－b|≥0，|c－3|≥0，且|a－2|＋|7－b|＋|c－3|＝0，所以
|a－2|＝0，|7－b|＝0，|c－3|＝0，所以a＝2，b＝7，c＝3.[w&#w%w@.zz~step.com]5.相反数与
数轴的综合应用比较一组数的大小时，若需要比较相反数的大小，可按以下方法进行：(1)表示数：根据相反数的几何意义，将各数或字母的相反
数在数轴上表示出来；(2)排顺序：按照数轴上“右边的数总是大于左边的数”，排列这组数的大小关系．【例5】 如图，若A是有理数a在数
轴上对应的点，则关于a，－a,1的大小关系表示正确的是( )．A．a＜1＜－a B．a＜－a＜1C．1＜－a＜a D．－a＜
a＜1解析：观察数轴可知，a＜0，且|a|＞1.因为－a是a的相反数，所以－a＞0，且－a＞1.先在数轴上标出有理数a的相反数－a
的对应点，再排列大小可以得到a，－a,1的大小关系是a＜1＜－a，故选A.[中国教^育@出~&版网%]答案：A6.利用绝对值解决实
际问题绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类：(1)判断物体或产品质量的好坏可以用绝
对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好．[来源:中国^&@教育出版网~]方法：[来@源:中教^网%
&~]①求每个数的绝对值；②比较所求绝对值的大小；③根据“绝对值越小，越接近标准”作出判断．(2)利用绝对值求距离路程问题中，当出
现用“＋”、“－”号表示的带方向的路程，求最后的总路程时，实际上就是求绝对值的和．[来源:&中国教~育#出版网@]方法：①求每个
数的绝对值；②求所有数的绝对值的和；③写出答案．【例6－1】 如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克
数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是( )．解析：因为|－0.8|＜|＋0.9|＜|＋2.5|＜|－3.6|，所以从轻
重的角度看，最接近标准的是C.答案：C【例6－2】 一天上午，出租车司机小王在东西走向的路上运营，如果规定向东为正，向西为负，出租
车的行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12，－18，请问小王将最后一位乘客送到目的地时，共
行驶了多少千米？分析：本题是绝对值意义在实际问题中的具体应用，有理数中的“＋”号和“－”号在本题中表示的是方向，而它们的绝对值是小王在运营中所行驶的路程，因此求总共行驶的路程应是每次行车里程绝对值之和．解：|＋15|＋|－3|＋|＋12|＋|－11|＋|－13|＋|＋3|＋|－12|＋|－18|＝15＋3＋12＋11＋13＋3＋12＋18＝87(千米)．答：小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了87千米． |
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