有理数复习新题型聚焦
有理数是初中数学的基础内容，也是整个数学体系的基础组成部分。随着课程改革的进一步深入，在各地的中考试题中出现了许多构思新、考能力的新题型。现例举部分典型试题，并加以归类分析，希望对同学们学习有所帮助。
1.定义新运算
例1. 若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则的值为 （ ）
（A）。 （B）99！。 （C）9900。 （D）2！。
分析从题目中可以理解“！”的意义，即。那么 [中国@^%教育出#版网]
所以
故选（C）。
例2. 用“”、“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有ab=a和ab=b，例如32=3，32=2。则（20062005）（20042003）=__________。
解 本题定义的新运算是：对于任意实数a，b，都有ab=a和ab=b，则
20062005=2006，20042003=2003，
所以（20062005）（20042003）=20062003=2006。[来^@源&:%中~教网]
点评此类题型运算难度不大，但它突破了传统的固有模式，设计别出心裁、标新立异，充分体现了创新的特色；有利于帮助学生实现从模仿到创造性的解决数学问题的思维过程。
程序化运算
有理数运算的新题型-----程序运算题
在近几年的中考题中,对于有理数运算的考查出现了一类新题型--------程序运算题,从题型上可以分为以下两类:
一、程序认识型
这类题目给出运算的程序,让大家先读懂,而后根据所给程序计算求值.
如图1,是一个简单的数值运算程序,当输入x的值为1时,则输出的数值为 .
输入x
×(-1)
+3
输出
图1
输入x
×(-1)
+3
输出
图1
分析:通过读图,可以列出算式为1×(-1)+3=2,故填2.
例2 有一个密码系统，其原理由下面的框图所示：输入x
x+6
输入
输入x
x+6
输入
,当输出为10时,则输入的x= .
分析:这是一道逆用程序的题目,关键在于读懂程序.运用逆向思维,x=10-6=4.
二、选择程序型
例3 按下面图2的程序计算,若开始输入的值为x=3, 则最后输出的结果为( ).
A.6 B.21 C.156 D.231
输入x
计算的值
>100
输出结果
是
否
图2
输入x
计算的值
>100
输出结果
是
否
图2
分析:这是一道循环结构的程序运算题, 输入x,计算的值后,若大于1,则输出结果;若不大于100,则把计算出的结果当作x代入再计算,直至计算出的值大于100,才输出.输入3时,有<100,再把6代入,有<100,再把21代入,有>100,输出,故选D.
三、规律（程序）探究型
这类题目给出输入和输出的数值,让大家观察,寻找数据的某种运算程序.
例4 如图3,某计算装置有一个数据入口A和一运算结果的输出口B,下表是小明输入的一些数据和这些数据经过该装置计算后输出的相应结果:
A
1
2
3
4
5
B
2
5
10
17
26
根据这个计算装置的计算规律,若输入的数是10, 则输出的数值为 .
分析:这是一个规律探究题,通过观察所给数据的规律,不难发现,当输入x时,输出x2+1.则输入10时,输出结果为102+1=10.
例5在计算器上按照下面的程序进行操作：输入x
按键
×
3
=
显示y（计算结果）
输入x
按键
×
3
=
显示y（计算结果）
x
-2
-1
0
1
2
3
y
-5
-2
1
4
7
10
下面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是 .
分析:这是一个程序探究题,通过计算3x的值和y的比较,不难发现3x均比y少1,故两个空分别填-,1.
练习：
1.以下是一个简单的数值运算程序:,当输入x的值为-1时,则输出的数值为 .
2.小王利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表:那么,当输入数据8时,输出的数据是( ).
输入
…
1
2
3
4
5
…
输出
…
…
A. B. C. D.
答案:1. 1; 2.C.
例3.在计算器上按照下面的程序进行操作：
下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果：
x
－2
－1
0
1
2
3
y
－5
－2
1
4
7
10
上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是_______________。
解 按照所给的操作程序，可以得到这样一个等式3x□□=y。
结合表格中数据，
当x=－2时，3×（－2）□□=－5，则□□=+1；
当x=－1时，3×（－1）□□=－2，则□□=+1；
当x=－0时，3×0□□=+1，则□□=+1；
于可以猜想□□分别为“+”和“1”键。
再把x=1，2，3依次代入，结果与相应的y值一致；因而确定以上猜想是正确的。
点评根据新课程标准的要求，学生要能够熟练地掌握和使用计算器。此种题型以计算器程序的形式呈现在学生面前，有利于考查学生对计算器程序的认识和理解；从而培养学生良好的思维品质，符合时代潮流。
3.生活化运算
图1
例4. 如图1，时钟的钟面上标有1，2，3……12共12个数，一条直线把钟面分成了两个部分，请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中的两个部分所包含的几个数分别是_________和__________
解 钟面上标着1到12这12个连续整数，它们的和为78。
由钟面分成三个不同的部分且各部分所包含的数的和都相等，得
每部分的和必须是。
而其中已有部分的数的和为
11+12+1+2=26，
所以只要另外一条直线分成两部分的和分别为26，于是可再作直线l分成的各部分分别为1，2，11，12；3，4，9，10和5，6，7，8。[中国教#育出^@版网&]
点评把简单的数学内容放在丰富的生活情境中，体现了数学与生活的联系，反映了数学的价值，增强了学生用数学的意识，有利于塑造学生的思维能力和思维品质。
4. 探究性运算
例5. 观察下面几个算式：[来&源#%:^中教网]
1+2+1=4，
1+2+3+2+1=9，
1+2+3+4+3+2+1=16，
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，
……
根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：
1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=_________。
解观察上面的各算式，可以发现规律：
1+2+3+…+（n－1）+n+（n－1）+…+3+2+1=n2。
当n=100时，1+2+3+…99+100+99+…+3+2+1=1002=10000。
5几何运算[中
例6. 在同一平面上，1条直线把一个平面分成个部分，2条直线把一个平面最多分成个部分，3条直线把一个平面最多分成个部分，那么8条直线把一个平面最多分成_________部分。
解根据题中各式可以总结规律：
n条直线把一个平面最多分成个部分，那么，8条直线把一个平面最多分成（个）部分。
点评探究是一种高层次的思维活动，是数学发现过程中的一种创造性思维。这种题型的出现，对考查学生的数学理解能力、数学探究能力以及基础知识的运用能力提供了一种重要的思维方法。
6.游戏型试题
例7甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a的相反数就是它本身，乙说一个数b的倒数也等于本身，请你猜一猜_________________________。
析解：欲求，首先应知道a、b之值。由于甲、乙两同学所说内容隐含着a和b的值，因此易得。。
例8现有四个有理数将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，将其结果等于24，请你写出一个符合条件的算式___________。[来~源:%^中教网&]
析解：解这类试题，一般要经过多次的尝试、探索。以下算式供参考：
或。
过把瘾
1.现规定一种新的运算“”；ab=ab，如32=32=9，则3=_________。
2.在如图2所示的运算程序中，若输出的数y=3，则输入的数x=_________。
图2
3.小明设计了一个关于有理数运算的程序：输出的数比该数的相反数小1，小明按此程序输入12后，输出的结果应为___________。
4.如图3所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数学0、1、2）上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1…所对应的点重合。这样，正半轴上的整数就与圆周上的数学建立了一种对应关系。
（1）圆周上数学a与数轴上的数5对应，则a=______________
图3
（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是__________（用含n的代数式表示）。
答案：
1. 。 2. 5或6。
3. －13。 4. 2; 3n+1。
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