3 整式
1．单项式及有关的概念
(1)单项式的定义
像3x，ab，(1＋15%)m等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．
单项式
①单项式中数与字母是乘积的关系，凡是字母出现在分母中的式子一定不是单项式．如是单项式，可以看做与x，y的积，而却不是单项式．整体上是和的形式的代数式也不是单项式，如2x＋3xy不是单项式．
②定义中的“数”可以是任意形式的数，可以是小数、分数、整数．
③单独一个数或字母也是单项式，如2，－1，m都是单项式．
(2)单项式的系数
一个单项式中的数字因数(包括前面的符号)叫做这个单项式的系数．
单项式的系数
①单项式的系数包括它前面的符号，如－2ab的系数是－2.
②单项式只含有字母因数的，它的系数是1或者－1，书写单项式时，系数1通常不写．如a的系数是1，而不能误以为是0.
③π是常数，在单项式中相当于数字因数，因此要作为系数．
④单项式的系数是带分数的，通常写成假分数，如xy不能写成1xy.
(3)单项式的次数
一个单项式中所有字母的指数的和叫这个单项式的次数．
单项式的次数
①单项式的次数仅与所含字母的指数有关，如2×102ab3c4的次数是1＋3＋4＝8，而与102的指数2无关．
②单项式中某个字母没有写指数，则它的指数为1，而不是0，如3y的次数是1.
【例1】 指出下列代数式中的单项式，并说出单项式的系数和次数．
，－m3n，，3,2x3＋3x2－1，x2y3，2×102a3b2c.
分析：代数式，2x3＋3x2－1中都含有加减运算，代数式的分母中含有字母，它们都不是单项式，而－m3n,3，x2y3,2×102a3b2c符合单项式的定义，它们都是单项式．
解：单项式：－m3n,3，x2y3,2×102a3b2c.
－m3n的系数是－，次数是4；
3的系数是3，次数是0；
x2y3的系数是，次数是5；
2×102a3b2c的系数是2×102，次数是6.
2．多项式及有关的概念
(1)多项式的定义
几个单项式的和叫做多项式．
(2)多项式的项及项数
多项式中每一个单项式叫做多项式的项．多项式中所含单项式的个数叫做这个多项式的项数，其中不含字母的项叫做常数项．
(3)多项式的次数
一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．
多项式
①多项式中的每一项必须都是单项式，确定多项式的项数时，可以根据多项式中的“＋”“－”号来区分；要注意项的符号不能丢掉．如3x－5y＋2的项数是3，多项式的项分别是3x，－5y,2.
②多项式的次数不是所有项的次数之和，而是次数最高项的次数．
③一个多项式含有几项，最高次项是几次，就叫做几次几项式．
④当一个多项式中各项的次数都相同时，我们称这个多项式为“齐次式”．如a2＋2ab＋b2是2次多项式，又称2次齐次式．
【例2】 多项式－2m3＋3n4－6m3n2＋m－2n的最高次项是__________，是__________次__________项式．
解析：这个多项式由五项组成，分别是－2m3，3n4，－6m3n2，m，－2n，这五项的次数分别是3,4,5,1,1，所以次数最高的项是－6m3n2，这个多项式的次数是5，所以是五次五项式．答案：－6m3n2 五 五
3．整式的概念
(1)定义：单项式和多项式统称为整式．
(2)整式的判断
判断一个式子是否是整式，只需要看它是否为单项式或者多项式．若分母中含有字母，则这个式子一定不是整式．
【例3】 下列代数式，x2＋x－，，，其中整式有( )．
A．1个 B．2个C．3个 D．4个
解析：根据整式的定义进行判断，整式有x2＋x－，共2个．故选B.
答案：B
4．单项式与多项式次数的运用
(1)单项式的次数
单项式的次数是指单项式中所有字母的指数的和，其次数仅仅与字母的指数有关，注意区分．如－103xy2z中，其次数是1＋2＋1＝4，与103的指数3无关，当字母中没有标注指数时，其指数为1.
π是数字因数，不能误以为是字母，因此，单项式的次数与π无关．
(2)多项式的次数
一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．判断一个多项式的次数，必须逐一计算多项式中各项的次数，再从中找出最高的次数作为多项式的次数．
几次几项式的理解
几次代表这个多项式的最高次项的次数，几项就代表这个多项式有几项．如2x2－3x＋2最高项是第一项，其次数是2，有三项，所以称为二次三项式．
(3)次数与方程的综合运用
根据单项式和多项式的次数，求与指数有关的字母时，可根据条件列出方程，通过解方程求出有关的字母．【例4－1】 已知－5xm为四次单项式，yn－3x＋1为三次多项式，求mn的值．
分析：先根据单项式、多项式的次数的概念确定出m，n的值，再求出mn的值．
解：因为－5xm为四次单项式，所以m＝4.
因为yn－3x＋1为三次多项式，
所以yn的次数最高，即n＝3.
所以mn＝43＝64.
【例4－2】 已知多项式－2x2ym＋1＋xy2－3x3－6是六次四项式，单项式－x2ny5－m与该多项式的次数相同，求m，n的值．
分析：根据多项式的次数的定义来求．因为－2x2ym＋1＋xy2－3x3－6是六次四项式，所以－2x2ym＋1的次数是6次，即2＋m＋1＝6；根据单项式次数的定义可求n.
解：根据条件可得2＋m＋1＝6，解得m＝3.
因为单项式－x2ny5－m的次数是6，
所以2n＋5－m＝6，即2n＋5－3＝6，解得n＝2.
所以m，n的值分别是3,2.
【例4－3】 如果xn－(m－1)x＋2为三次二项式，求m2＋n的值．
分析：xn－(m－1)x＋2为三次二项式，2是常数项，－(m－1)x为一次项，所以xn必为三次项，所以一次项－(m－1)x的系数一定为0，列方程先求出m，n的值，再求代数式的值．
解：根据条件可得xn是三次项，所以n＝3.
又因为xn－(m－1)x＋2为二项式，所以－(m－1)＝0，解得m＝1，所以m2＋n＝12＋3＝4.
5．多项式的排列
将一个多项式按照某一个字母的指数从小到大(或从大到小)的顺序排列，就叫做对这个多项式按照这个字母的升幂(降幂)排列．
多项式的降幂(升幂)排列
①对于一个有多个字母的多项式必须选定其中的一个字母；②认定这个字母的指数大小顺序；③在改变多项式中的单项式的位置时，一定要连同这个单项式前面的系数和符号，特别是负号，一起移动．【例5－1】 把多项式2x2－3x＋x3按x的降幂排列是__________．
解析：按照x的次数从大到小排列即可．按x的降幂排列是x3＋2x2－3x.本题主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．
答案：x3＋2x2－3x
【例5－2】 把多项式a3－b3－4a2b＋3ab2按b的升幂排列为__________．
解析：按b升幂排列，即按b的指数由小到大排列．多项式a3－b3－4a2b＋3ab2的四项中b的指数依次是0,3,1,2，所以按字母b的升幂排列是a3－4a2b＋3ab2－b3.
答案：a3－4a2b＋3ab2－b3
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