5 多边形和圆的初步认识
1．多边形和多边形的对角线
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形．
如图所示，在多边形ABCDE中，点A，B，C，D，E是多边形的顶点；线段AB，BC，CD，DE，EA是多边形的边；∠EAB，∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEA是多边形的内角(可简称为多边形的角)；AC，AD都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫做多边形的对角线．
【例1】 九边形的对角线的条数是__________．
解析：九边形的对角线的条数是×9×(9－3)＝27.
答案：27
2．正多边形
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图中的多边形分别是正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形．
【例2】 下列说法正确的有( )．
(1)由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形；
(2)各边都相等的多边形是正多边形；
(3)各角都相等的多边形一定是正多边形．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：(1)不正确，一是要在同一平面内，二是不能在同一条直线上；(2)不正确，各边都相等，各角也都相等的多边形才是正多边形，这两个条件必须同时具备；如菱形虽然四条边都相等，但它不是正多边形；(3)不正确，如长方形四个角都是直角，都相等，但边不一定相等，所以不是正多边形．
答案：A
3．圆与扇形
如图，平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径．
圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形；顶点在圆心的角叫做圆心角．
【例3】 如图所示，在一个圆中任意画4条半径，可以把这个圆分成几个扇形？
分析：除了图中一目了然的4个小扇形外，由相邻两个扇形组成的扇形有4个，由相邻三个扇形组成的扇形还有4个，因而共12个．
解：共12个扇形．
4．多边形的对角线的条数
如图，AD，AC都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段是多边形的对角线．
拓展理解：
一个n(n>3)边形从一个顶点可以引(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形．一个n边形一共有条对角线．【例4】 填空：
(1)十边形有________个顶点，________个内角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．
(2)从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形．
解析：(1)一个n边形有n个顶点，n个角，从一个顶点能画出(n－3)条对角线，共有条对角线；
(2)一个n边形从一个顶点可以引(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形，所以n－2＝4，n＝6，这个多边形是六边形．
答案：(1)10 10 7 35
(2)六
5．圆心角
它有如下性质：
(1)把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．
(2)因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360等份，这时，把每一份这样的弧叫做1°的弧．
(3)圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．【例5】 如图，把一个圆分成四个扇形，求每个扇形的圆心角的度数．
解：因为一个周角为360°，所以分成的四个扇形的圆心角分别是∠AOB＝∠BOC＝360°×25%＝90°；∠COD＝360°×30%＝108°；∠DOA＝360°×20%＝72°.
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