5 应用一元一次方程——“希望工程”义演
1．等量关系的确定
列方程解应用题的关键是找出能够反映题意的一个等量关系．对于复杂问题的等量关系可采用列表法分析数量之间的关系．一般可从以下几个方面确定等量关系：
(1)抓住问题中的关键词，确定等量关系．如问题中的“和”、“差”、“倍”、“多”、“少”、“快”、“慢”等都是确定等量关系的关键词．
(2)利用公式或基本数量关系找等量关系．
(3)从变化的关系中寻找不变的量，确定等量关系．
【例1】 刘成用150元买了甲、乙两种书，共20本，甲种书单价10元，乙种书单价5元，则刘成买了这两种书各多少本？
分析：本题的两个等量关系是：甲种书款＋乙种书款＝150元，甲种书量＋乙种书量＝20本．本题有两个未知数：甲种书的数量和乙种书的数量．因此既可以设甲书的数量为未知数，又可以设乙书的数量为未知数．
解：(方法1)设刘成买了甲种书x本，则买了乙种书(20－x)本，
根据题意，得10x＋5(20－x)＝150，
10x＋100－5x＝150,5x＝50，x＝10，
20－10＝10(本)．
答：刘成买了甲、乙两种书各10本．
(方法2)设买了乙种书x本，则甲种书有(20－x)本．
根据题意，得10(20－x)＋5x＝150，
200－10x＋5x＝150，
－5x＝－50，
x＝10，
20－10＝10(本)．
答：刘成买了甲、乙两种书各10本．
2．未知数的设法
较复杂的问题，未知量可能有两个或两个以上，选择一个适当的未知量设为未知数非常重要．未知数设的适当，能给列方程带来简便．
未知数的设法大致有两种：直接设未知数和间接设未知数．另外还可以根据解决问题的需要设出辅助未知数帮助解答．
(1)直接设未知数
直接设未知数，就是题目中问什么就设什么．对于只有一个相等关系的问题，直接设未知数就能解决问题．而对于较复杂的问题，直接设未知数时列方程可能会较困难．
(2)间接设未知数，就是所设的未知数不是问题中最后所要求的未知数，而是设另外的量为未知数，这样做的好处是便于理顺数量关系、易于列方程．
(3)设辅助未知数
在列方程解应用题时，有时为了解题的需要，将某些量之间的关系说得更清晰，我们引入一些辅助未知数．这些未知数在解方程的过程中，往往是约掉了或者抵消了，最后求出的问题的解与这些未知数无关，因此，被称为辅助未知数．
【例2－1】 一位老人立下遗嘱：把17头牛按，，分给他的大儿子、二儿子、三儿子，问三个儿子各分得多少头牛？
分析：解答本题，若直接设三个儿子分别分得多少头牛来求解比较困难，因为遗嘱中规定的大儿子、二儿子、三儿子应分得牛的头数的比例为∶∶＝9∶6∶2，所以可设一份为x，然后根据“大儿子所分得的牛的头数＋二儿子所分得的牛的头数＋小儿子所分得的牛的头数＝17”列方程求解．
解：因为∶∶＝9∶6∶2，所以设每一份为x头牛，则三人所分得的牛的头数分别为9x,6x,2x.
根据题意，得9x＋6x＋2x＝17.
解这个方程，得x＝1.
所以9x＝9,6x＝6,2x＝2.
答：三个儿子分别分得9头、6头、2头牛．
【例2－2】 高一某班在入学体检中，测得全班同学的平均体重是48千克，其中男同学平均体重比女同学平均体重多20%，而女同学人数比男同学人数多20%.求男、女同学的平均体重．
分析：本题中的未知量有四个——男、女同学的平均体重和男、女同学的人数，可以设女同学的平均体重为x千克，男同学有y人两个未知数，根据本题中的相等关系“男女同学的总体重＝全班同学的平均体重×总人数”列出一个方程，其中的未知数y在解方程的过程中被约掉了，这里的y就是辅助未知数．
解：设女同学平均体重为x千克，则男同学平均体重为1.2x千克，设男同学为y人，则女同学为1.2y人．
根据题意，得1.2xy＋1.2xy＝48(y＋1.2y)．
合并同类项，得2.4xy＝48×2.2y.
∵y≠0，∴方程两边同除以2.4y，得x＝44.
∴1.2x＝1.2×44＝52.8(千克)．
答：男同学的平均体重为52.8千克，女同学的平均体重为44千克．
3．几种复杂的应用问题
含有两个或两个以上的等量关系的应用题主要有以下三种：
(1)按比例分配问题
按比例分配问题是指已知两个或几个未知量的比，分别求几个未知量的问题．
比例分配问题中的相等关系是：
不同成分的数量之和＝全部数量．
(2)工程问题
工程问题中的相等关系是：
工作量＝工作效率×工作时间；
甲的工作效率＋乙的工作效率＝合作的工作效率；
甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝完成的总工作量．
解答工程类问题时，常常把总工作量看成整体1.找出工作效率(即单位时间内的工作量)是解答的关键．
(3)资源调配问题
资源调配问题一般采取列表法分析数量关系，利用表格，可以很清晰地表达出各个数量之间的关系．其中的相等关系要根据题目提供的等量关系确定．【例3】 甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成．否则每超过1天罚款1 000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同．
(1)正常情况下，甲、乙两人能否完成该合同？为什么？
(2)现两人合作了该工程的75%，因别处有急事，必须调走一人，问调走谁更合适一些？为什么？
分析：(1)设甲、乙两人合作x天完成合同，列出一元一次方程求出x的值，即可知道甲、乙两人能否完成该合同；
(2)因两人已完成了该工程的75%，分别计算出甲、乙两人单独做完未完成的25%各需要多少时间，调走合同期内不能完成任务的人更合适一些．
解：(1)设甲、乙两人合作x天完成合同，则甲、乙的工作效率分别为，.依题意，得x＝1.解这个方程，得x＝12.因为12＜15，所以两人能完成该合同．
(2)调走甲更合适一些．
理由：设甲单独完成剩下的工程需x天，乙单独完成剩下的工程需y天．依题意，得x＝1－75%，y＝1－75%.解得x＝7.5，y＝5.
因为两人合作12天完成任务，所以完成任务的75%需要12×75%＝9(天)，所以还剩6天可以让另一个人单独完成任务．
而7.5>6,5<6，说明甲不能按期完成任务，而乙能完成．所以调走甲更合适一些．
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