《第6章 平行四边形》
一、选择题
1．已知?ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（ ）
A．4 B．12 C．24 D．28
2．在平行四边形ABCD中，∠B=60°，那么下列各式中，不能成立的是（ ）
A．∠D=60° B．∠A=120° C．∠C+∠D=180° D．∠C+∠A=180°
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＞BC，按以下步骤作图：以A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、CD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的长半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H．则下列结论：
①AG平分∠DAB，②CH=DH，③△ADH是等腰三角形，④S△ADH=S四边形ABCH．
其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
4．在△MNB中，BN=6，点A，C，D分别在MB，NB，MN上，四边形ABCD为平行四边形，且∠NDC=∠MDA，则四边形ABCD的周长是（ ）
A．24 B．18 C．16 D．12
5．如图，在?ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（ ）
①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．
A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④
二、填空题
6．已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C= ．
7．如图，平行四边形ABCD中，AC=4cm，BC=5cm，CD=3cm，则?ABCD的面积 ．
8．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为 ．
9．如图，△ACE是以?ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），则D点的坐标是 ．
三、解答题
10．如图所示，在?ABCD中，E为AD中点，CE交BA的延长线于F，若BC=2AB，∠FBC=70°，则∠EBC的度数为 度．
11．如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．
12．已知：如图，在?ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G．
（1）求证：AE⊥DF；
（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．
13．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．
（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；
（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．
《第6章 平行四边形》
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知?ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（ ）
A．4 B．12 C．24 D．28
【考点】平行四边形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，根据2（AB+BC）=32，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长是32，
∴2（AB+BC）=32，
∴BC=12．
故选B．
【点评】本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能利用平行四边形的性质进行计算是解此题的关键．
2．在平行四边形ABCD中，∠B=60°，那么下列各式中，不能成立的是（ ）
A．∠D=60° B．∠A=120° C．∠C+∠D=180° D．∠C+∠A=180°
【考点】平行四边形的性质；多边形内角与外角．
【专题】压轴题．
【分析】由于平行四边形中相邻内角互补，对角相等，而∠A和∠C是对角，而它们和∠B是邻角，∠D和∠B是对角，由此可以分别求出它们的度数，然后可以判断了．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
而∠B=60°，
∴∠A=∠C=120°，∠D=60°．
所以D是错误的．
故选D．
【点评】本题主要利用了平行四边形的角的性质解决问题．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＞BC，按以下步骤作图：以A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、CD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的长半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H．则下列结论：
①AG平分∠DAB，②CH=DH，③△ADH是等腰三角形，④S△ADH=S四边形ABCH．
其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
【考点】平行四边形的性质；作图—复杂作图．
【分析】根据作图过程可得得AG平分∠DAB；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAH=∠DHA，进而得到AD=DH，从而得到△ADH是等腰三角形．
【解答】解：根据作图的方法可得AG平分∠DAB，
故①正确；
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAH=∠BAH，
∵CD∥AB，
∴∠DHA=∠BAH，
∴∠DAH=∠DHA，
∴AD=DH，
∴△ADH是等腰三角形，
故③正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及角平分线的做法，关键是掌握平行四边形对边平行．
4．在△MNB中，BN=6，点A，C，D分别在MB，NB，MN上，四边形ABCD为平行四边形，且∠NDC=∠MDA，则四边形ABCD的周长是（ ）
A．24 B．18 C．16 D．12
【考点】平行四边形的性质．
【分析】本题利用了平行四边形的性质，两组对边分别平行，利用两直线平行得出同位角相等后，再根据已知条件判断出BM=BN，从而四边形ABCD的周长=BM+BN=2BN而求解．
【解答】解：在平行四边形ABCD中CD∥AB，AD∥BC，
∴∠M=∠NDC，∠N=∠MDA，
∵∠NDC=∠MDA，
∴∠M=∠N=∠NDC=∠MDA，
∴MB=BN=6，CD=CN，AD=MA，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=MA+AB+BC+CN=MB+BN=2BN=12．
故选D．
【点评】要求周长就要先求出四边的长，要求四边的长，就要根据平行四边形的性质和已知条件计算．
5．如图，在?ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（ ）
①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．
A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．
【专题】压轴题．
【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．
【解答】解：∵△ABE、△ADF是等边三角形
∴FD=AD，BE=AB
∵AD=BC，AB=DC
∴FD=BC，BE=DC
∵∠B=∠D，∠FDA=∠ABE
∴∠CDF=∠EBC
∴△CDF≌△EBC，故①正确；
∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+（180°﹣∠CDA）=300°﹣∠CDA，
∠FDC=360°﹣∠FDA﹣∠ADC=300°﹣∠CDA，
∴∠CDF=∠EAF，故②正确；
同理可得：∠CBE=∠EAF=∠CDF，
∵BC=AD=AF，BE=AE，
∴△EAF≌△EBC，
∴∠AEF=∠BEC，
∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°，
∴∠FEC=60°，
∵CF=CE，
∴△ECF是等边三角形，故③正确；
在等边三角形ABE中，
∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段
∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG=30°，∠ABC=150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．
二、填空题
6．已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C= 36° ．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】首先利用平行四边形性质得到∠C=∠A，BC∥AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度数，即可求出∠C．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A，BC∥AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A，
∴∠A=36°，
∴∠C=∠A=36°，
故答案为36°．
【点评】本题考查了平行四边形性质和平行线的性质的应用，主要考查学生运用平行四边形性质进行推理的能力，题目比较好，难度也不大．
7．如图，平行四边形ABCD中，AC=4cm，BC=5cm，CD=3cm，则?ABCD的面积 12cm2 ．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】利用勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，再利用平行四边形的面积等于2倍的△ABC的面积计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3cm，
∵AC=4cm，BC=5cm，
∴AC2+AB2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=×3×4=6cm2，
∴则?ABCD的面积=2×6=12cm2，
故答案为12cm2．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，题目比较简单．
8．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为 25° ．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】由，?ABCD与?DCFE的周长相等，可得到AD=DE即△ADE是等腰三角形，再由且∠BAD=60°，∠F=110°，即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：∵?ABCD与?DCFE的周长相等，且CD=CD，
∴AD=DE，
∵∠DAE=∠DEA，
∵∠BAD=60°，∠F=110°，
∴∠ADC=120°，∠CDE═∠F=110°，
∴∠ADE=360°﹣120°﹣110°=130°，
∴∠DAE==25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．
9．如图，△ACE是以?ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），则D点的坐标是 （5，0） ．
【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质；等边三角形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】设CE和x轴交于H，由对称性可知CE=6，再根据等边三角形的性质可知AC=CE=6，根据勾股定理即可求出AH的长，进而求出AO和DH的长，所以OD可求，又因为D在x轴上，纵坐标为0，问题得解．
【解答】解：∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7，﹣3），
∴C的坐标为（7，3），
∴CH=3，CE=6，
∵△ACE是以?ABCD的对角线AC为边的等边三角形，
∴AC=6，
∴AH=9，
∵OH=7，
∴AO=DH=2，
∴OD=5，
∴D点的坐标是（5，0），
故答案为（5，0）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x轴对称的特点以及勾股定理的运用．
三、解答题
10．如图所示，在?ABCD中，E为AD中点，CE交BA的延长线于F，若BC=2AB，∠FBC=70°，则∠EBC的度数为 35 度．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由题意可证△DEC≌△AEF，从而推出BC=BF，即△FBC为等腰三角形，E为FCR的中点，所以得到∠EBC=∠EBF=∠CBF=35°．
【解答】解：∵?ABCD，
∴AB=CD，DC∥AB，
∴∠ECD=∠EFA
∵DE=AE，∠DEC=∠AEF
∴△DEC≌△AEF
∴DC=AF
∴AB=AF
∵BC=2AB，AB=AF
∴BC=BF
∴△FBC为等腰三角形
再由△DEC≌△AEF，得EC=EF
∴∠EBC=∠EBF=∠CBF=×70°=35°
故答案为35．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，题目给出了一角，求未知角，这就要根据已知的条件，让已知与未知建立联系，求出角．
11．如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）根据DE是∠ADC的角平分线得到∠1=∠2，再根据平行四边形的性质得到∠1=∠3，所以∠2=∠3，根据等角对等边即可得证；
（2）先根据BE=CE结合CD=CE得到△ABE是等腰三角形，求出∠BAE的度数，再根据平行四边形邻角互补得到∠BAD=100°，所以∠DAE可求．
【解答】（1）证明：如图，在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC
∴∠1=∠3
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CD=CE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
又∵CD=CE，BE=CE，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA．
∵∠B=80°，
∴∠BAE=50°，
∴∠DAE=180°﹣50°﹣80°=50°．
【点评】（1）由角平分线得到相等的角，再利用平行四边形的性质和等角对等边的性质求解；
（2）根据“BE=CE”得出AB=BE是解决问题的关键．
12．已知：如图，在?ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G．
（1）求证：AE⊥DF；
（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．
【考点】平行四边形的性质；垂线；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质；勾股定理．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质推出∠ADC+∠DAB=180°，根据角平分线得到∠ADF+∠DAE=（∠ADC+∠DAB）=90°，即可求出结论；
（2）过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，得到平行四边形AEHD，求出DH=AE=4，EH=AD=10，根据平行四边形的性质和平行线的性质推出DC=FC，AB=EB，求出BF、FE、FH的长，根据勾股定理即可求出答案．
【解答】（1）证明：在?ABCD中AB∥CD，
∴∠ADC+∠DAB=180°．
∵DF、AE分别是∠ADC、∠DAB的平分线，
∴∠ADF=∠CDF=∠ADC，∠DAE=∠BAE=∠DAB，
∴∠ADF+∠DAE=（∠ADC+∠DAB）=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AE⊥DF；
（2）解：过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，
则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH．
∴DH=AE=4，EH=AD=10．
在?ABCD中AD∥BC，
∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠BEA．
∴∠CDF=∠CFD，∠BAE=∠BEA．
∴DC=FC，AB=EB．
在?ABCD中，AD=BC=10，AB=DC=6，
∴CF=BE=6，BF=BC﹣CF=10﹣6=4．
∴FE=BE﹣BF=6﹣4=2，
∴FH=FE+EH=12，
在Rt△FDH中，DF===8．
答：DF的长是8．
【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行证明是解此题的关键，题型较好，综合性强．
13．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．
（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；
（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，又由∠EAB=60°，可证得△AGH是等边三角形，继而证得结论；
（2）首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，继而可得△AGH是等腰直角三角形，则可求得答案．
【解答】（1）证明：如图①，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．
∴∠GAB=∠HAE．
∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，
∴∠ABG=∠AEH．
在△ABG和△AEH中，
，
∴△ABG≌△AEH（ASA）．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=60°，
∴△AGH是等边三角形．
∴AG=HG．
∴EG=AG+BG；
（2）EG=AG﹣BG．
如图②，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．
∴∠GAB=∠HAE．
∵∠EGB=∠EAB=90°，
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．
∴∠ABG=∠AEH．
∵又AB=AE，
∴△ABG≌△AEH．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形．
∴AG=HG．
∴EG=AG﹣BG．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
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