2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义
第17讲 长方体和正方体的认识、周长与面积
知识点一：长方体和正方体的认识
名称 长方体 正方体 图形 展开图 相同点 面 6 个 6 个 棱 12 条 12 条 顶点 8 个 8 个
不同点
面的特点 6 个面一般是 长方形 ,也可能有2个相对的是 正方形 6 个面都是相同的正方形 面的大小 相对的面的面积 相等 6 个面的面积都 相等 棱长 相对的棱的长度 相等 6 条棱的长度都 相等 联系 正方体是特殊的长方体 知识点二：长方体和正方体的表面积
1.表面积:一个立体图形所有面的面积 总和 叫作它的表面积。?
2.长方体和正方体的表面积。
(1)长方体的表面积= 2×(长×宽+长×高+宽×高) ,用字母表示为:S= 2(ab+ah+bh)
(2)正方体的表面积= 6×棱长×棱长 ,用字母表示为:S= 6a2 。
知识点三：长方体和正方体的体积
1.体积:一个立体图形所占空间的 大小 叫作它的体积。?
2.长方体的体积(容积)= 长×宽×高 ,用字母表示为:V= abh
3.正方体的体积(容积)= 棱长×棱长×棱长 ,用字母表示为:V= a3
一、精挑细选(共5题；每题2分，共10分)
1．（2021六上·隆回期末）某产品说明书上标注包装尺寸为590×505×1400（mm），它们分别表示这个长方体的长、宽、高，根据这组数据，联系生活想象一下它可能是（ ）。
A．一台电视机 B．一台冰箱 C．一部手机
2．（2021六上·无为期末）用小棒搭一个长方体框架，用了三根就能确定这个长方体的形状和大小的搭法是（ ）。
A． B． C．
3．（2021六上·偃师期末）小军在爸爸的帮助下用一根96厘米长的铁丝刚好制作成一个长方体框架。那么相交于一个顶点的三条棱的长度和是（ ）厘米。
A．12 B．24 C．32 D．48
4．（2021六上·偃师期末）一个装钙奶饼干的长方体盒子高20厘米，底面是100cm2的正方形，一张商标纸正好贴满盒子四周，这张商标纸至少有（ ）cm2。
A．200 B．400 C．800 D．2000
5．（2021六上·偃师月考）一个无盖长方体盒子，长5分米，宽3分米，高3.5分米。给盒子外面包装一层彩纸，需要彩纸（ ）平方分米。
A．86 B．71 C．56
6．（2021·红塔）把一个长方体锯成两个小长方体后，表面积增加，体积不变。（ ）
7．（2021·坡头）棱长6厘米的正方体，它的表面积和体积相等。（ ）
8．（2020六上·曲沃期末）一个正方体的棱长是3cm，这个正方体可以看作9个棱长1cm的小正方体组成。（ ）
9．用5个同样大的小正方体拼成一个长方体，长方体的表面积和体积都是正方体的5倍。
10．（2021·苏州）如果一个圆柱的底面积和高与一个长方体的底面积和高都相等，那么这两个直柱体的体积相等，表面积也相等。（ ）
11．（2021六上·偃师月考）在一个长方体中相交于同一顶点的三条棱的长度之和是8.7分米，则这个长方体的棱长总和为 分米。
12．（2020六上·滨海期末）一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，前面的玻璃不小心被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是 平方分米。
13．（2020六上·织金期末）一个长方体（不包括正方体）最多有 个面是正方形，此时它其余各面的面积 。
14．（2020·固阳）用48厘米长的铁丝围成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是 厘米．
15．（2021六上·隆回期末）大小两个正方体棱长比是3：2，那么大小两个正方体表面积的比是 ，体积的比是 。
16．（2021六上·偃师期末）如图，把一个长5米的长方体木料锯成两段等长的小长方体后，表面积增加60dm2，则原木料的体积是 m3。
17．一块正方体钢锭，棱长是10分米，如果1立方分米的钢重7.8千克，这块钢锭重 千克。
18．李叔叔用木条钉了一个长30厘米、宽15厘米、高24厘米的长方体框架，现在要给它粘上一层白纸，至少需要白纸 平方厘米。
19．（5分）（2020·南关模拟）下图是一个长方体灯笼面的展开图，如果要根据这个尺寸制作一个灯笼，至少需要多大面积的材料？
20．（15分）计算下面图形的体积。（单位：厘米）
（1）（5分）
（2）（5分）
（3）（5分）
21．（5分）如图，这是一个铝合金框组成的鱼缸，侧面的每个面都是正方形，且边长为25厘米。这个鱼缸的侧面准备全用玻璃，那么玻璃的总面积和铝合金框的总长度各是多少?
22．（5分）一个工具箱的下半部分是棱长为20厘米的正方体，上半部分是圆柱体的一半。这个工具箱的体积是多少立方分米?
23．（5分）上海世博会上的中国馆——“东方之冠”，造型独特，令世人瞩目。它的顶层是由底部的四根巨型钢筋混凝土核心筒托起，每个核心筒截面为18.6米×18.6米，高68米。这四根核心筒的体积一共是多少立方米？
24．（5分）（2021六上·无为期末）一个底面是正方形的长方体，把它的侧面展开是一个边长是20厘米的正方形，这个长方体的体积是多少？
25．（5分）（2021六上·无为期末）有一个长方体容器，底面长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米（最大面为底面），如果把这个容器盖紧（不漏水），再朝左竖起来（最小面为底面），里面的水深是多少厘米？
26．（5分）工人叔叔在粉刷教室，教室的长是9米，宽是8米，高是3.6米，门窗面积为21平方米。要粉刷四周墙壁和顶棚，如果粉刷每平方米用环保漆300克，粉刷完这一间教室共用环保漆多少千克？
27．（6分）一个封闭的长方体容器，高是20cm，长和宽都是8cm，容器内装着水。如果把该容器长、宽都是8cm的面放在桌面上，这时水的高度是16cm，如果把该容器长20cm、宽8cm的面放在桌面上，这时水的高度是多少厘米？
28．（7分）（2021六上·隆回期末）如下图是长方体表面展开图的一部分。（每个小方格表示1平方厘米）
（1）（5分）请在虚线①、②的旁边将长方体的展开图补充完整。
（2）这个长方体的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米。
29．（7分）（2021六上·偃师期末）
选用上面几种不同规格的纸板，可以围成不同的长方体和正方体。
（1）小明想围一个体积最大的正方体：他应该选用 号纸板、 张。
（2）（5分）如果要围两个不同的长方体，分别选择哪些纸板？各几张？填在下表中。（在选用纸板规格的编号下写出需要的张数）
① ② ③ ④ ⑤ 长方体1 长方体2
答案解析
1．【答案】B
【完整解答】解：它可能是一台冰箱。 故答案为：B。
【思路引导】根据包装相对的尺寸作答即可。
2．【答案】B
【完整解答】解：A：三根只能确定长和高，不能确定宽； B：这三根能确定长方体的长、宽、高，能确定； C：只能确定宽和高，不能确定长。 故答案为：B。
【思路引导】要想确定一个长方体的形状和大小，就要确定长方体的长、宽、高。相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高；所以只有B中的能确定长方体的长宽高。
3．【答案】B
【完整解答】解：96÷4=24（厘米） 故答案为：B。
【思路引导】96厘米长的铁丝是长方体的棱长和；长方体的棱长和÷4=长方体的长宽高的和；相交于一个顶点的三条棱的长度和就是长方体的长宽高的和。
4．【答案】C
【完整解答】解：10厘米×10厘米=100平方厘米， 10×20×4=800（平方厘米） 故答案为：C。
【思路引导】底面是100cm2的正方形，据此可以看出正方形的边长是10厘米；正方形的边长×长方体盒子的高=一个侧面的面积；一个侧面的面积×4=长方体盒子侧面的面积；一张商标纸的面积就是长方体的侧面积。
5．【答案】B
【完整解答】解：5×3+5×3.5×2+3×3.5×2=15+35+21=71平方分米，所以需要彩纸71平方分米。 故答案为：B。 【思路引导】需要彩纸的面积=长×宽+长×高×2+宽×高×2，据此作答即可。
6．【答案】（1）正
【完整解答】解：把一个长方体锯成两个小长方体后，表面积增加，体积不变。原题说法正确。 故答案为：正确。
【思路引导】把一个长方体锯成两个小正方体后，表面积会增加两个切面的面积，体积是不变的。
7．【答案】（1）错误
【完整解答】解：棱长6厘米的正方体，它的表面积和体积无法进行比较，所以原题说法错误。 故答案为：错误。
【思路引导】正方体的表面积=棱长×棱长×6，正方体的体积=棱长×棱长×棱长，两个代表不同的量，表面积的单位是平方厘米，体积的单位是立方厘米，本题据此进行判断。
8．【答案】（1）错误
【完整解答】解：3×3×3=27（立方厘米），可以看作27个棱长1cm的小正方体组成。原题错误。 故答案为：错误。
【思路引导】正方体的体积和组成这个小正方体的体积和相等，据此解答。
9．【答案】（1）错误
【完整解答】 用5个同样大的小正方体拼成一个长方体，长方体的表面积小于正方体的表面积的5倍，体积是正方体的5倍，原题说法错误。 故答案为：错误。 【思路引导】用相同的5个小正方体拼成一个大长方体，有些面会重叠，小正方体的表面积和大于长方体的表面积，大长方体的体积是小正方体的5倍，据此判断。
10．【答案】（1）错误
【完整解答】解：如果一个圆柱的底面积和高与一个长方体的底面积和高都相等，那么这两个直柱体的体积相等，但表面积不一定相等。 故答案为：错误。
【思路引导】长方体的体积=圆柱的体积=底面积×高，但是长方体和圆柱的侧面积不一样，所以表面积不一定相等。
11．【答案】34.8
【完整解答】解：8.7×4=34.8分米，所以这个长方体的棱长总和为34.8分米。 故答案为：34.8。
【思路引导】这个长方体的棱长总和=同一顶点的三条棱的长度之和×4，据此代入数值作答即可。
12．【答案】48
【完整解答】解：8×6=48（平方分米） 故答案为：48。
【思路引导】前面玻璃的长就是长方体的长，是8分米，前面玻璃的宽就是长方体的高，也就是6分米。根据长方形面积公式计算配上玻璃的面积即可。
13．【答案】2；相等
【完整解答】解：一个长方体（不包括正方体）最多有2个面是正方形，此时它其余各面的面积相等。 故答案为：2；相等。
【思路引导】一个特殊的长方体有相对的两个面是正方形，另外四个面是完全相同的长方形。
14．【答案】4
【完整解答】解：48÷12＝4（厘米）。
故答案为：4。
【思路引导】铁丝的长度就是正方体的棱长和，正方体棱长和=棱长×12，因此用铁丝的长度除以12即可求出棱长。
15．【答案】9：4；27：8
【完整解答】解：大小两个正方体表面积的比是32：22=9：4，体积的比是33：23=27：8。 故答案为：9：4；27：8。
【思路引导】正方体的表面积的比等于棱长的平方之比；正方体的体积之比等于棱长的立平方之比。
16．【答案】1.5
【完整解答】解：60平方分米÷100=0.6平方米； 0.6÷2=0.3（平方米） 0.3×5=1.5（立方米） 故答案为：1.5。
【思路引导】平方分米÷100=平方米，增加的表面积÷2=长方体的底面积，长方体的底面积×高=长方体的体积。
17．【答案】7800
【完整解答】解：10×10×10×7.8 =100×10×7.8 =1000×7.8 =7800（千克）。 故答案为：7800。 【思路引导】这块钢锭的质量=体积×平均每立方分米钢的质量；其中，体积=棱长×棱长×棱长。
18．【答案】3060
【完整解答】解：（30×15＋30×24＋15×24）×2 =（450＋720＋360）×2 =（1170＋360）×2 =1530×2 =3060（平方厘米）。 故答案为：3060。 【思路引导】至少需要白纸的面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
19．【答案】解：（25×10＋25×15＋10×15）×2
＝（250＋375＋150）×2
＝775×2
＝1550（平方厘米）
答：至少需要1550平方厘米的材料。
【思路引导】看图可知，这个长方体的长是25cm、宽是10cm、高是15cm，长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，根据公式计算材料的面积即可。
20．【答案】（1）解：12×（4÷2）2×3.14 =12×4×3.14 =48×3.14 =150.72（立方厘来）
（2）解：×12×（8÷2）2×3.14 =4×50.24 =200.96（立方厘米）
（3）解：12×2×5+×22×3.14×9 =120+4×3.14×3 =157.68（立方厘米）
【思路引导】圆柱的体积=（底面直径÷2）2×π×h；圆锥的体积=×（底面直径÷2）2×π×h；长方体的体积=长×宽。据此作答即可。
21．【答案】解：玻璃的总面积为：25×25 X 6=3750(平方厘米)，
铝合金框的总长度为：25×18=450(厘米)。
【完整解答】解：玻璃的总面积：25×25×6=3750（平方厘米）， 铝合金框的总长度：25×18=450（厘米） 答：玻璃的总面积是3750平方厘米，铝合金框的总长度是450厘米。 【思路引导】玻璃的总面积是6个边长25厘米的正方形的面积；铝合金框共有18条长25厘米的线段，用乘法计算铝合金框的总长度。
22．【答案】解：3.14×102×20÷2+20 X 20×20=11140(立方厘米)=11．41(立方分米)
【思路引导】这个工具箱的体积等于半个圆柱的体积加上下面正方体的体积。
23．【答案】解：18.6×18.6×68×4 =23525.28×4 =94101.12(立方米) 答：这四根核心筒的体积一共是94101.12立方米。
【思路引导】长方体体积=长×宽×高，根据公式先计算出一根的体积，再乘4就是总体积。
24．【答案】解：（20÷4）2×20 =25×20 =500（cm3） 答：这个长方体的体积是500cm3。
【思路引导】底面是正方形，那么侧面就是四个完全相同的长方形，侧面展开后是正方形，说明底面的周长是20厘米，所以用底面周长除以4即可求出底面边长，这样就能求出底面积，用底面积乘高即可求出长方体的体积。
25．【答案】解：（30×20×6）÷（20×10） =3600÷200 =18（cm） 答：里面的水深是18厘米。
【思路引导】水的体积是不变的。先根据原来的放置方法用长乘宽乘水的深度求出水的体积，然后用水的体积除以竖起来后的底面积即可求出此时的水深。
26．【答案】9×8+（9×3.6+8×3.6）×2-21
=72+61.2×2-21
=194.4-21
=173.4（平方米）
173.4×300=52020（克）
52020克=52.02千克
答：粉刷完这一间教室共用环保漆52.02千克。
【思路引导】粉刷完这一间教室共用环保漆的质量=粉刷的面积×平均每平方米用环保漆的质量；其中，粉刷的面积=长×宽＋（长×高＋宽×高）×2-门窗面积；最后单位换算。
27．【答案】解：8×8×16÷(20×8) =1024÷160 =6.4(厘米) 答：这时水的高度是6.4厘米。
【思路引导】长方体体积=底面积×高，根据公式先计算出水的体积，然后用水的体积除以长20cm、宽8cm的长方形面积即可求出此时水的高度。
28．【答案】（1）
（2）22；6
【思路引导】（1）根据长方形的展开图作答即可；
（2）长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2；长方体的体积=长×宽×高。
29．
【完整解答】解：（1）小明想围一个体积最大的正方体：他应该选用⑤号纸板6张； （2）第一个长方体是长宽都是8厘米，高是10厘米； 第二个长方体是长宽都是10厘米，高是5厘米；
① ② ③ ④ ⑤ 长方体1 4张 2张 长方体2 4张 2张 故答案为：（1）⑤；6。 【思路引导】（1）想围一个体积最大的正方体，就要选用边长最大的正方形6块； （2）围成的2个正方体，其中的两个面是正方形，其余的四个面相等。
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