考点03函数及其性质（核心考点讲与练）1.函数的概念设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对
应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的定义域、值域(1)函数y＝f(x)自变量取
值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.(2)如果两个函数的定
义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(
1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.(2)分段函数是一个函数，分段函数的定
义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.5.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，
区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f
(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自
左向右看图象是下降的(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.
6.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I
，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值7.函数
的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则
这个函数叫做奇函数关于原点对称偶函数设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，
则这个函数叫做偶函数关于y轴对称8.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的
任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f
(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三
个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必
须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求
的最值，这也是最容易发生错误的地方.2.已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到
方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式
变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3.函数的对称性与单调性，指数式、对数式
的大小比较．比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常
化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．4.导数是研究函
数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几
何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值
(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．函数及其表示一、单选题1．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已
知函数，若在区间上存在个不同的数，使得成立，则的取值集合是（?）A．B．C．D．2．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知函
数，若，则实数的取值范围是（?）A．B．C．D．3．（2022·河北·模拟预测）设函数则不等式的解集为（?）A．B．C．D．4．（
2022·浙江嘉兴·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（?）（是自然对数的底数）A．B．C．D．5．（2022·天津·
耀华中学模拟预测）已知函数（，且）在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（?）A．B．C．D．6．（20
22·浙江省义乌中学模拟预测）已知函数，则图象为下图的函数可能是（?）A．B．C．D．7．（2021·全国·模拟预测）已知函数的定
义域是（m，n为整数），值域是，则满足条件的整数对的个数是（?）A．2B．3C．4D．58．（2020·南开中学模拟预测）下列各组
函数中，表示同一函数的是（?）A．与B．与C．与D．与9．（2020·广东中山·模拟预测）下列各组表示同一函数的是（?）A．，B．
，C．，D．，10.（2020·全国·一模）网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表如下，第一行是我们习惯称呼的“鞋号”（单位：.
号），第二行是脚长（单位：），请根据表中数据，思考：他们家正好有一款“32号”的女鞋在搞打折，那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是
（?）鞋码3536373839脚长225230235240245A．B．C．D．二、多选题11．（2022·江苏南通·模拟预测）已
知定义在R上的函数的图象连续不间断，当时，，且当时，，则下列说法正确的是（?）A．B．在上单调递减C．若，则D．若是的两个零点，且
，则12．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生
物学?经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于R，令，若存在
正整数k使得，且当0 （2022·江苏江苏·一模）下列函数中，最大值是1的函数有（?）A．B．C．D．14．（2021·江西·模拟预测）已知函数，则下列
叙述正确的是（?）A．的值域为B．在区间上单调递增C．D．若，则的最小值为-315．（2021·江西·模拟预测）下列各组函数中表示
同一个函数的是（?）A．，B．，C．，D．，16．（2021·全国·模拟预测）已知函数，则和满足（?）A．B．C．D．三、填空题1
7．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数________.①定义域为；②值域为；③对任意且，均有.18．（
2022·山东淄博·一模）以模型去拟合一组数据时，设，将其变换后得到线性回归方程，则______．19．（2022·全国·模拟预测
）已知，则______．20．（2022·重庆·模拟预测）已知定义在R上的函数不是常值函数，且同时满足：①；②对任意，均存在使得成
立；则函数______．（写出一个符合条件的答案即可）四、双空题21．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数的定义域为R，且满足，当
时，若，则实数___________，___________.22．（2022·江苏·金陵中学二模）已知函数，则的最小正周期为__
_________；当时，的值域为___________.23．（2022·山东济南·一模）已知函数，对任意非零实数x，均满足.则
的值为___________；函数的最小值为___________.函数的基本性质一、函数的单调性一、单选题1．（2022·天津·
耀华中学模拟预测）已知函数，则下述关系式正确的是（?）A．B．C．D．2．（2022·广东广州·二模）下列函数中，既是偶函数又在上
单调递增的是（?）A．B．C．D．3．（2022·辽宁抚顺·一模）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，当时，都
有，则下列结论正确的是（?）A．B．C．D．4．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知实数满足，，，，，，则（?）A．B
．C．D．二、多选题5．（2022·广东茂名·二模）若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（?）（注…为自然对数的底数）A．B．C
．D．16．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，当时，，为非零常数，则下列说法正确的是（?）A．当时，B．
当时，在单调递增C．当时，在的值域为D．当，且时，若将函数与的图象在的个交点记为，则7．（2022·广东广东·一模）下列四个函数中
，以为周期且在上单调递增的偶函数有（?）A．B．C．D．三、填空题8．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若对任意的正数，满足，
则的最小值为_________.9．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
10．（2022·北京丰台·一模）设函数的定义域为，能说明“若函数在上的最大值为，则函数在上单调递增“为假命题的一个函数是____
______.四、解答题11．（2022·江苏江苏·一模）已知实数，函数，是自然对数的底数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)求
证：存在极值点，并求的最小值.12．（2022·山东青岛·一模）已知函数．(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(2)设函数
，若，求的值．13．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知函数，，且(1)若，且，试比较与的大小关系，并说明理由；(2)若，且，
证明：（i）；（ii）.（参考数据：）二、函数的最值一、单选题1．（2021·湖南·模拟预测）已知奇函数为上的增函数，且在区间上的
最大值为9，最小值为-6，则的值为（?）A．3B．1C．-1D．-32．（2022·浙江嘉兴·二模）设a，，若时，恒有，则（?）A
．B．C．D．3．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）设，则有（?）A．存在成立B．任意恒成立C．任意恒成立D．存在成立4．（20
22·重庆·二模）已知，若对任意恒成立，则实数m的最大值为（?）A．2B．4C．D．5．（2022·天津实验中学模拟预测）已知函数
，若?∈R，使得成立，则实数m的取值范围为(?)A．B．C．D．二、多选题6．（2022·湖北·一模）已知函数，则下列说法正确的是
（?）A．是偶函数B．在（0，+∞）上单调递减C．是周期函数D．≥-1恒成立7．（2022·福建漳州·一模）已知函数，则（?）A．
的定义域为B．是偶函数C．函数的零点为0D．当时，的最大值为三、填空题8．（2022·浙江省诸暨市第二高级中学模拟预测）已知平面单
位向量，满足.设，，向量，的夹角为，则的最大值是_______________.9．（2022·湖北·一模）已知函数（x>0），若
的最大值为，则正实数a=___________.10．（2020·山东临沂·二模）若，，则实数的取值范围为___________.
11．（2021·北京延庆·模拟预测）同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨
深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等
方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数…），对于函数以下结论正确的是______．①
如果，那么函数为奇函数；②如果，那么为单调函数；③如果，那么函数没有零点；④如果那么函数的最小值为2．12．（2021·浙江浙江·
二模）设，，若，且的最大值是，则___________.四、解答题13．（2022·海南·模拟预测）已知函数.(1)求在区间上的最
大值和最小值；(2)设，若当时，，求实数a的取值范围.14．（2021·江西·模拟预测）设函数是定义在上的奇函数，且当时，.(1)
求的解析式；(2)若，使得，求实数的取值范围.三、函数的奇偶性一、单选题1．（2022·广东茂名·二模）已知，则不等式的解集为（?
）A．B．C．D．2．（2022·湖南湘潭·三模）函数的部分图象大致为（?）A．B．C．D．3．（2022·广东茂名·二模）已知函
数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（?）A．B．C．1D．24．（2021·全国·模拟预测
）已知为定义在R上的奇函数，且当时，，则（?）A．﹣2022B．2022C．D．5．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函
数，若且，则有（?）A．可能是奇函数，也可能是偶函数B．C．时，D．6．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值
为（?）A．1B．2C．D．7．（2022·湖北·二模）已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（?）A．B．C．D．8．（202
2·天津三中二模）设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（?
）A．2022B．4043C．4044D．8086二、多选题9．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在上的单调递增的函数满足：
任意，有，，则（?）A．当时，B．任意，C．存在非零实数，使得任意，D．存在非零实数，使得任意，三、填空题10．（2022·广东深
圳·二模）已知函数是偶函数，则___________．11．（2022·山东菏泽·一模）已知奇函数在区间上是增函数，且，，当，时，
都有，则不等式的解集为______．四、函数的周期性一、单选题1．（2022·山东济宁·一模）定义在R上的奇函数满足，则（?）A．
0B．1C．－1D．20222．（2022·福建·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，，且，则（?）A．1B．0C．D．3．（202
2·江苏江苏·二模）已知是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函数，则＝(?)A．－3B
．－2C．2D．3二、多选题4．（2022·河北·模拟预测）若函数（）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（?）A．函数的图
象关于点对称B．2是函数的一个周期C．D．5．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则（?）A．是函数的一个周期B．是函数的一条对
称轴C．函数的最大值为，最小值为D．函数在上单调递增6．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知定义在上的偶函数对任意的满足，当时，，
函数且，则下列结论正确的有（?）A．是周期为的周期函数B．当时，C．若在上单调递减，则D．若方程在上有个不同的实数根，则实数的取值
范围是三、填空题7．（2022·广东茂名·二模）请写出一个函数_______，使之同时具有以下性质：①图象关于y轴对称；②，．8．
（2022·重庆·二模）已知定义域为R的函数满足且，则函数的解析式可以是______.五、函数的对称性一、单选题1．（2022·广
东佛山·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在时的值域为（?）A．
B．C．D．2．（2021·全国·模拟预测）已知函数，且对任意的实数x，恒成立.若存在实数，，…，（），使得成立，则n的最大值为（
?）A．25B．26C．28D．313．（2021·浙江·模拟预测）已知定义在上的图象连续的函数的导数是，，当时，，则不等式的解集
为（?）A．B．C．D．4．（2021·广东·梅州市梅江区嘉应中学模拟预测）已知定义在R上的函数满足：对任意，都有，且当时，（其中
为的导函数）．设，，，则a，b，c的大小关系是（?）A．B．C．D．二、多选题5．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知三
次函数，若函数的图象关于点（1，0）对称，且，则（?）A．B．有3个零点C．的对称中心是D．三、填空题6．（2022·重庆·模拟预
测）写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式__________.①的定义域为，值域为；②；③在上单调递减.7．（2022·广东
广州·二模）函数的所有零点之和为__________．一、单选题1．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数
在上的图像大致是（?）A．B．C．D．2．（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，
则函数一定是（?）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数3．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（?）A．B．C．D．4．
（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（?）A．B．C．D．5．（2021·全国
·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（?）A．B．C．D．6．（2021·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数
中为奇函数的是（?）A．B．C．D．二、填空题7．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.三、解答题8．（2
021·全国·高考真题（文））已知函数．（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围．一、单选题1. （2022·全国·模拟预测）
已知函数的值域为，则a的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. （2022·北京·北师大实验中学模拟预测） 下列函数中
，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）A. B. C. D. 3. （2022·全国·模拟预测） 函数在上的大致图象为（ ）A.
B. C. D. 4. （2022·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）A. eB. 1C. D. 5. （2022·全国·模拟预测
）函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 6. （2022·全国·模拟预测）已知定义域为R的函数满足，且当时，，则不等式的解
集为（ ）A. B. C. D. 7. （2022·全国·模拟预测）若函数在上的最大值与最小值之和不小于，则实数a的取值范围为（
）A. B. C. D. 8. （2022·全国·模拟预测） 已知为R上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（ ）A. B.
C. D. 9. （2022·广东汕头·一模）定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数m的取值范围
是（ ）A. B. C. D. 二、多选题10. （2022·辽宁大东·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，且为偶函数，若当时，，下
列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 11. （2022·河北·模拟预测）已知定义在上的偶函数，其导函数为，当时，.则（ ）
A. B. 函数在区间上单调递减C. 不等式的解集为D. 不等式的解集为12. （2022·江苏泰州·一模） 定义：在区间上，若函
数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）A. 在上是“弱减函数”B. 在上是“弱减函数”C. 若在上是“弱减函数”，则D. 若在上是“弱减函数”，则13. （2022·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）A. 的最小正周期为B. 函数的图象关于直线对称C. 当时，函数在上单调递增D. 若函数在上存在零点，则a的取值范围是14. （2022·山东菏泽·一模）对圆周率的计算几乎贯穿了整个数学史．古希腊数学家阿基米德（公元前287—公元前212）借助正96边形得到著名的近似值：．我国数学家祖冲之（430—501）得出近似值，后来人们发现，这是一个“令人吃惊的好结果” ．随着科技的发展，计算的方法越来越多．已知，定义的值为的小数点后第n个位置上的数字，如，，规定．记，，集合为函数的值域，则以下结论正确的有（ ）A. B. C. 对D. 对中至少有两个元素三、填空题15. （2022·山东潍坊·一模） 已知函数则______.16. （2022·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为______.17. （2022·全国·模拟预测） 已知函数为偶函数，则__________.18. （2022·全国·模拟预测）已知函数（且），若不等式的解集为，则a的取值范围是___________. |
|
