考点07 三角函数的图像与性质（核心考点讲与练）一、同角三角函数基本关系式与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋c
os2α＝1.(2)商数关系：＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α
正弦sin α－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cos α－cos__α cos__α －cos
__α sin__α－sin__α 正切tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符
号看象限三角函数的图象与性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键
点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，
，(π，－1)，，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x
图象定义域RR{x x≠kπ＋}值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[2kπ－π，2kπ
]递减区间[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)对称轴方程x＝kπ＋x＝kπ无函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质1.用
五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x－－＋－ωx＋φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)
0A0－A02.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅周期频率相位初相AT＝f＝＝ωx＋φφ3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径4．三角函
数应用(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.(2)三角函数模型应
用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k中的待定系数.(3)把实际问题翻译为函
数f(x)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.1.求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的
三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解.(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合
图象求它的单调区间.2.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值
m，则A＝，B＝.(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝. (3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意
该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具
体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时
与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.
3．识别函数图象的方法技巧函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位
置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复.(
5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象.4.(1)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移 (ω>0，φ>0)个
单位长度而非φ个单位长度.(2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值. 三角函
数图象性质1.（多选题）（2021湖北省新高考高三下2月质检）已知函数在上是减函数，则下列表述正确的是（ ）A.B.的单调递减区
间为，C.a的最大值是，D.的最小正周期为【答案】BCD【分析】由于函数在上是减函数，从而可得，进而可求出取值范围，函数的周期和最
值，从而可判断ACD，再利用余弦函数的性质求出单调区间，可判断B【详解】解：∵函数在上是减函数，，∴，∴，故的最小值为，a的最大值
是?，的最小正周期为，故A错，C、D正确；在，，函数单调递减，所以B正确故选：BCD.2. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A.
导函数为B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在区间上是增函数D. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到【答案】C【分
析】利用复合函数的求导法则判定选项A错误，利用不是函数的最值判定选项B错误，利用得到，进而判定选项C正确，利用图象平移判定选项D错
误.【详解】对于A：因为，所以，即选项A错误；对于B：因为，所以函数的图象不关于直线对称，即选项B错误；对于C：当时，，故在上是增
函数，即选项C正确；对于D：因为，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，即选项D错误.故选：C.根据三角函数图象求解析式1.
（2022年安徽省亳州市第一中学高三上学期9月检测）已知函数的部分图象如图所示，点，则将函数图象向左平移个单位长度，然后横坐标变为
原来的2倍?纵坐标不变，得到的图象对应的函数解析式是（ ）A. B. C. D.【答案】C【分析】首先根据三角函数的图象求得各个参
数，由振幅求得，由定点坐标代入函数解析式求得，所以，再通过平移伸缩变化，即可得解.【详解】因为函数的部分图象经过点，，所以解得，所
以.将函数的图象，然后横坐标变为原来的2倍?纵坐标不变，得到的图象.故选：C.2 （2020广东省潮州市高三第二次模拟）函数的部分
图象如图所示．则函数的单调递增区间为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【分析】利用图象先求出周期，用周期公式求出，
利用特殊点求出，然后根据正弦函数的单调性列不等式求解即可.【详解】根据函数的部分图象，可得：，解得：，由于点在函数图象上，可得：，
可得：，，解得：，，由于：，可得：，即，令，解得：，，可得：则函数的单调递增区间为：，．故选C．三角函数图象判断1.（2020江西
省靖安中学高三上学期第二次月考）已知函数，则函数的部分图象可以为（ ）A. B. C. D.【答案】A【分析】由奇偶性可排除BD，
再取特殊值可判断AC，从而得解【详解】因为的定义域为，且，所以为奇函数，故BD错误；当时，令，易得，解得，故易知的图象在轴右侧的第
一个交点为，又，故C错误，A正确；故选：A2. . （2022广东省深圳市普通中学高三上学期质量评估）函数在上的图象大致为（ ）A
. B. C. D. 【答案】A【分析】由奇偶性可排除BC，由时，可排除D，由此得到结果.【详解】，为偶函数，图象关于轴对称，可排
除BC；当时，，可排除D，知A正确.故选：A.三角函数图象变换1.（2021浙江省金华十校高三模拟）已知奇函数的图象由函数的图象向
左平移个单位后得到，则m可以是（ ）A. B. C. D.【答案】A【分析】逐项验证是否等于可得答案.【详解】当时，函数的图象向左
平移个单位后得到，故A正确；当时，函数的图象向左平移个单位后得到，故B 错误；当时，函数的图象向左平移个单位后得到，故C错误；当时
，函数的图象向左平移个单位后得到，故D 错误；故选：A.2. （2020安徽省合肥市高三第三次教学质量检测）为了得到函数的图像，只
需将函数的图像A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
C. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位D. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位【答案】A【分析】由条
件利用 的图像变换规律，得到结论．【详解】把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变得到函数，再将函数的图像上所有点
向右平移个单位得到函数．故选A1. （2021年全国高考乙卷）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）A. 和B. 和2C. 和D.
和2【答案】C【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，，所以的最小正周期为
，最大值为.故选：C．2. （2021年全国高考乙卷）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个
单位长度，得到函数的图像，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换
，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.【详解】
解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得
到了函数的图象，所以，令,则,所以,所以；解法二：由已知的函数逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，第二步：图象上所有
点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，所以.故选：B.3. （2021年全国新高考Ⅰ卷）下列区间中，函数
单调递增的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，
CD选项均不满足条件.故选：A.4. （2021年全国高考甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为______
__．【答案】2【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知，
即，所以；由五点法可得，即；所以.因为，；所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.故答案为：2.一、单选题1．（
2022·福建·模拟预测）已知为锐角，且，则（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算
即可得到所求值【详解】因为，所以，所以，所以.故选：B2．（2022·辽宁锦州·一模）若，则的值为（?）A．B．C．D．【答案】B
【分析】先利用诱导公式得到，再将弦化切，代入求解.【详解】，从而故选：B3．（2022·江西九江·二模）已知函数的部分图像如图所示
，则的解析式可能是（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据函数的定义域、奇偶性与函数值的正负即可得到结果【详解】函数在处无定义
，排除选项A函数的图像关于原点对称，故为奇函数，排除选项B当时，，，故，排除选项C故选：D.4．（2022·天津市宁河区芦台第一中
学模拟预测）已知函数 的最小正周期为， 将其图象沿 轴向右平移 个单位， 所得函数为奇函数， 则实数的最小值为（?）A．B．C
．D．【答案】C【分析】根据余弦型函数的最小正周期公式，结合余弦型函数图象的变换性质进行求解即可.【详解】因为该函数的最小正周期为
，，所以，即，将该函数图象沿轴向右平移 个单位得到函数的解析式为，因为函数为奇函数，所以有，因为，所以当时，实数有最小值，故选：C
5．（2022·浙江·模拟预测）已知E，F分别是矩形ABCD边AD，BC的中点，沿EF将矩形ABCD翻折成大小为的二面角．在动点P
从点E沿线段EF运动到点F的过程中，记二面角的大小为，则（?）A．当时，sin先增大后减小B．当时，sin先减小后增大C．当时，s
in先增大后减小D．当时，sin先减小后增大【答案】C【分析】根据二面角的定义通过作辅助线, 找到二面角的平面角，在△中表示出的值
，利用的值的变化来判断的变化即可.【详解】当时，由已知条件得平面,过点作,垂足为，过点作，垂足为，∵ 平面，∴, ∴平面,又∵平面
，∴, ∴平面, ∴,则为二面角的平面角，在△中，, 动点P从点E沿线段EF运动到点F的过程中,不断减小，则不断增大，即不断增大，
则、错误；当时，由已知条件得平面,过点作,垂足在的延长线上，过点作,垂足在延长线上，∵ 平面，∴, ∴平面,又∵平面，∴, ∴平面
, ∴,则为二面角的平面角的补角，即，在△中，, 如下图所示，动点P从点E沿线段EF运动到点F的过程中,先变小后增大，则先变大后变
小，先变大后变小，，则也是先变大，后变小, 则正确，错误；故选：.6．（2022·四川达州·二模（理））设，则下列说法正确的是（?
）A．值域为B．在上单调递增C．在上单调递减D．【答案】B【分析】由题可得，进而，可判断A，利用三角函数的性质可判断B，利用导函数
可判断C，由题可得，可判断D.【详解】∵，由，可得，∴，即或，∴函数的值域为，故A错误；∵，当时，单调递增，单调递减，单调递增，故
在上单调递增，故B正确；∵，，令，则，由，可得，，根据正弦函数在上单调递增，可知在上存在唯一的实数，当时，，单调递减，当时，，单调
递增，所以在上有增有减，故C错误；由，可得，故D错误.故选：B.7．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列四个函数中，在其定义
域上既是奇函数又是增函数的是 （?）A．B．C．D．【答案】D【分析】A.利用指数函数的性质判断；B.利用正切函数的性质判断；C.
利用正弦函数的性质判断；D.利用函数的图象判断.【详解】A. ，不是奇函数，故错误；B. 在上递增，但在定义域上不单调，故错误；C
. 在上递增，但在定义域R上不单调，故错误；?D. ，其图象如图所示：由图象知：定义域上既是奇函数又是增函数，故正确，故选：D8．
（2022·山西长治·模拟预测（理））若函数满足，则可以是（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据周期函数的定义，结合特例法进
行判断求解即可.【详解】因为，所以函数的周期为.A：因为，所以，因此函数的周期不可能，本选项不符合题意；B：因为，所以，因此函数的
周期不可能，本选项不符合题意；C：该函数的最小正周期为：，因此函数的周期不可能，本选项不符合题意；D：该函数的最小正周期为：，因此
本选项符合题意，故选：D9．（2022·天津·一模）已知函数（，）的部分图象如图所示，则（?）A．，B．，C．，D．，【答案】A【
分析】根据图象与轴的交点纵坐标与振幅的关系，结合所处的区间的单调性，以及后续的单调递增区间上的零点，列出方程组求解即得.【详解】由
函数图象与轴的交点纵坐标为1，等于振幅2的一半，且此交点处于函数的单调减区间上，同时在同一周期内的后续单调区间上的零点的横坐标为,
并结合，，可知，解得，,故选：A10．（2022·新疆·模拟预测（理））我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微
，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.
我们从这个商标中抽象出一个函数的图象如图，其对应的函数解析式可能是（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】由定义域判断A；利用特殊
函数值：、的符号判断B、C；利用奇偶性定义及区间单调性判断D.【详解】A：函数的定义域为，不符合；B：由，不符合；C：由，不符合；
D：且定义域为，为偶函数，在上单调递增，上单调递减，结合偶函数的对称性知：上递减，上递增，符合.故选：D11．（2022·江西·临
川一中模拟预测（理））己知函数在区间上单调，且满足.有下列结论：①；②若，则函数的最小正周期为；③关于x的方程在区间上最多有5个不
相等的实数根；④若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为.其中正确的结论的个数为（?）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】
对于①：利用对称性直接求得；对于②：直接求出函数的最小正周期，即可判断；对于③：先判断出周期，直接解出在区间上最多有3个不相等的实
数根，即可判断.对于④：由题意分析,建立关于的不等式组，求出的取值范围.【详解】函数满足.对于①：因为,所以.故①正确；对于②：由
于,所以函数的一条对称轴方程为.又为一个对称中心，由正弦图像和性质可知，所以函数的最小正周期为.故②错误；对于③：函数在区间上单调
，且满足，可得：，所以周期.周期越大，的根的个数越少.当时,,所以在区间上有3个不相等的实数根：，或.故③错误.对于④：函数在区间
上恰有5个零点,所以,所以，解得：.且满足，即,即，故.故④正确.故选：B12．（2022·山西吕梁·模拟预测（文））将函数图象上
的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（?）A．B．在上单调递增C．在上的最小值为D．直线平是的一条对称轴【答案】D【分析
】根据三角函数的图象变换，可判定A错误；利用函数的图象与性质，可判定B，C错误；根据，可判定D正确.【详解】由题意，函数图象上的所
有点向左平移个单位长度，可得，故A错误；令，所以，所以在上单调递增，所以B，C错误；因为，故直线为的一条对称轴，故D正确.故选:D
.13．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心到地面的距离为82米
，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心为坐标原点，过点的水平直线为x
轴建立平面直角坐标系xOy.设从点运动到点P时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h是关于
t的函数.当时关于的图象，下列说法正确的是（?）A．对称中心为B．对称中心为C．对称轴为D．对称轴为【答案】B【分析】先由题意得到
，进而得到后，以为始边，为终边的角，从而得到点P的纵坐标为，即P距地面的高度函数求解.【详解】解：由题意得，而是以为始边， 为终边
的角，由OP在内转过的角为，可知以为始边，为终边的角为，则点P的纵坐标为，所以P距地面的高度为，令，得，所以对称中心为，令，得，所
以对称轴为，故选：B14．（2022·河南·模拟预测（理））密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的
角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位
写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用密位制表示为12－50，则该扇形的面积为（?）A．B．C．D．【答案】A【分析
】根据题意中给的定义可知该扇形的圆心角为，结合扇形的面积公式计算即可.【详解】依题意，该扇形的圆心角为．又，故所求扇形的面积为．故
选：A.二、多选题15．（2022·河北·模拟预测）已知角的终边经过点．则（?）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根据同终边角
的正弦和余弦可知，然后解出方程并判断，逐项代入即可.【详解】解：由题意得：如图所示：，即，即解得：（舍去）或，故A正确；，故D正确
；，故B正确；，故C错误；故选：ABD16．（2022·重庆八中模拟预测）下列函数的图像中，与曲线有完全相同的对称中心的是(?)A
．B．C．D．【答案】BD【分析】根据正弦、余弦、正切函数的图像，求出各个函数的对称中心，比较即可得出答案．【详解】设k∈Z，对于
，由；对于A：由；对于B：由；对于C：由；对于D：由；则B和D的函数与题设函数有完全相同的对称中心．故选：BD．17．（2022·
江苏·海安高级中学二模）已知，则（?）A．?B．?C．?D．?【答案】ABC【分析】将变为结合指数函数的性质，判断A;构造函数，求
导，利用其单调性结合图象判断x,y的范围，利用余弦函数单调性，判断B;利用正弦函数的单调性判断C，结合余弦函数的单调性，判断D.【
详解】由题意，，得 ，，，∴，∴，A对；，令，即有，令，在上递减，在上递增，因为 ，∴，作出函数以及 大致图象如图：则，∴，结合图
象则，∴，∴，B对；结合以上分析以及图象可得，∴，且 ，∴，C对；由C的分析可知，，在区间 上，函数 不是单调函数，即不成立，即不
成立，故D错误；故选：ABC．【点睛】本题综合考查了有条件等式下三角函数值比较大小问题，设计指数函数性质，导数的应用以及三角函数的
性质等，难度较大，解答时要注意构造函数，数形结合，综合分析，进行解答.18．（2022·湖北·一模）已知函数，则(?)A．的图象关
于对称B．的最小正周期为C．的最小值为1D．的最大值为【答案】ACD【分析】A：验证与是否相等即可；B：验证与相等，从而可知为f(
x)的一个周期，再验证f(x)在(0，)的单调性即可判断为最小正周期；C、D：由B选项即求f(x)最大值和最小值.【详解】，故选项
A正确；∵，故为的一个周期.当时，，此时，令，得，故.∵当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故的最小正周期为，选项B错误
；由上可知在上的最小值为，最大值为，由的周期性可知，选项CD均正确.故选：ACD.三、解答题19．（2022·浙江宁波·二模）已知
.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数在的取值范围.【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为，(2)【分析】（1）
将化为只含一个三角函数形式，根据正弦函数的性质即可求得答案；（2）将展开化简为，结合，求出的范围，即可求得答案.(1)，所以；因为
，，所以，，函数的单调递增区间为，；(2)，因为，所以，，因此函数在的取值范围为.20．（2022·天津三中一模）已知．(1)若，
求使函数为偶函数；(2)在（1）成立的条件下，求满足，的的集合．【答案】(1)(2)【分析】（1）由恒等变换得，进而根据奇偶性求解
即可；（2）由题知，再根据得或或或，进而解得答案.(1)解：，因为函数为偶函数，所以，即，因为，所以(2)解：在（1）成立的条件下，，所以由得，因为，所以，所以或或或，所以或或或，所以，满足题意的的集合为21．（2022·河北秦皇岛·二模）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理角化边，再根据余弦定理可求出，进而求出的大小；（2）依题意可化简，根据的范围求出的取值范围即可.(1)因为，所以，即.因为，所以.因为，所以.(2)由（1）知.因为，所以，因为，所以，所以，即的取值范围是.22．（2022·浙江嘉兴·二模）设函数 .(1)求函数的最小正周期及其对称中心；(2)求函数在上的值域.【答案】(1)周期，对称中心为(2)【分析】（1）利用二倍角公式将的表达式化简，即可求得函数的最小正周期，结合余弦函数的对称中心可求得函数的对称中心；（2）将函数的表达式展开，并化简，根据的范围，结合正弦函数的性质可确定答案.(1)函数，所以最小正周期；令，解得，所以对称中心为；(2)函数 ，因为，所以，故，故.23．（2022·山东枣庄·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求：(1)；(2)的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及正弦的2倍角公式可求解；（2）由正弦定理及正弦的两角差将问题转化为求的范围，再利用2倍角公式化为即可求解.(1)因为，所以,因为，，因为.(2)由正弦定理，，因为，所以，所以，所以，所以的取值范围是. |
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