重难点07五种数列求和方法（核心考点讲与练）能力拓展题型一：等差等比公式法一、单选题1．（2022·山西·模拟预测（理））已知等比数列的首项
为1，若成等差数列，则的前6项的和为（?）A．31B．C．D．632．（2022·福建泉州·模拟预测）记等比数列{}的前n项和为.
若，则=（?）A．B．C．D．3．（2022·山东菏泽·二模）已知数列中，，且对任意的m，，都有，则下列选项正确的是（?）A．的值
随n的变化而变化B．C．若，则D．为递增数列4．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分
别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2021个方程中，无实数解的方程最多有（?）A．1008个B．1009个C．101
0个D．1011个二、多选题5．（2022·山东枣庄·三模）给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的
数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，
1，…，第次得到数列，记，数列的前n项和为，则（?）A．B．C．D．三、填空题6．（2022·河南·模拟预测（文））设数列的前n项
和为，已知，，则等于___________.7．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记为等差数列的前项和，若，，则=__
_____．8．（2022·陕西·模拟预测（理））已知等差数列公差，其前n项和为，若记数据的方差为，数据的方差为，则_______
____.9．（2022·河北保定·二模）现有10个圆的圆心都在同一条直线上，从左到右它们的半径依次构成首项为1，公比为2的等比数
列，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，前3个圆如图所示，若P，Q分别为第1个圆与第10个圆上任意一点，则的最大值为_____
______.（用数字作答）10．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知数列的通项公式则的前项和_____．四、解答题11．（
2022·福建厦门·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，，．(1)证明：数列是等比数列；(2)记，设，求数列的前项和．13．（20
22·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在
一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立. 在一天内参与“双人对战”活动，每
局比赛有积分，获胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立. 已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得
第四名的概率为；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为.(1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动（两项活动均只
参加一局）的总得分为 ，求的分布列与数学期望；(2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持续
答题，若第一次答错时，答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个积分.某市某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得
积分进阶”活动，从1阶到阶，规定每轮答题获得5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每次获得5个积分
的概率互不影响，均为，记乙进到阶的概率为，求.14．（2022·辽宁·东北育才学校二模）已知等比数列和递增的等差数列满足，，，.(
1)求数列和数列的通项公式；(2)数列和数列中的所有项分别构成集合和，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列前63项
和.15．（2022·山东菏泽·二模）已知数列中，它的前n项和满足．(1)证明：数列为等比数列；(2)求．题型二：裂项相消法一、单
选题1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知等差数列的前n项和为，，.若对任意且，总有恒成立，则实数的最小值为（?）
A．1B．C．D．二、多选题2．（2022·山东·济南一中高三阶段练习）如图所示，这是小朋友们喜欢玩的彩虹塔叠叠乐玩具，某数学兴趣
小组利用该玩具制定如下玩法：在2号杆中自下而上串有由大到小的个彩虹圈，将2号杆中的彩虹圈全部移动到1号杆上，3号杆可以作为过渡使用
；每次只能移动一个彩虹圈，且无论在哪个杆上，小的彩虹圈必须放置在大的上方；将一个彩虹圈从一个杆移动到另一杆上记为移动1次，记为2号
杆中n个彩虹圈全部移动到1号杆所需要的最少移动次数，设．下面结论正确的是（?）A．B．C．D．3．（2022·全国·模拟预测）已知
数列满足，，且，则（?）A．B．数列是等差数列C．数列是等差数列D．数列的前n项和为三、填空题4．（2022·湖北·蕲春县实验高级
中学高二期中）高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过x的最大整数，例如．已知数列满足，，设数列的前n项和为，则______．四、解
答题5．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知数列的前项和为，点在直线上．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求使得
成立的的最大值．6．（2022·江西·模拟预测（理））各项都为正数的单调递增数列{an}的前n项和为Sn，且满足（n∈N）．(1
)求数列{an}的通项公式；(2)求；(3)设 ，数列的前n项和为Pn，求使Pn＞46成立的n的最小值．7．（2022·江苏盐城·
三模）已知正项等比数列满足，请在①，②，③，，中选择一个填在横线上并完成下面问题：(1)求的通项公式；(2)设，的前和为，求证：．
8．（2022·江西九江·三模（文））已知数列的前项和为，且满足，．(1)求；(2)求数列的前项和．9．（2022·山东枣庄·三模
）已知正项数列的前项和为，且、、成等比数列，其中．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．10．（2022·浙江·模拟预
测）已知递增的等差数列满足：，且成等比数列．数列满足：，其中为的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前n项和，是否存
在实数，使得不等式对一切恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．11．（2022·河南·高二期中（文））已知正项等比数列的公
比大于1，其前n项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列，满足，，求数列的前n项和.12．（2022·天津和平·二模）已
知数列的前n项和为满足.数列满足，且満足(1)求数列，的通项公式；(2)若数列满足；求(3)，数列的前项和为，求证：.题型三：错位
相减法一、单选题1．（2022·江西鹰潭·二模（理））若正整数、只有为公约数，则称、互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质
的数的个数.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的是（?? ?????）A．B．数列是等差数列C．
D．数列的前项和为，则2．（2022·广东·三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数?公式和定理，如：欧拉函
数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1?2）；（
与9互素有1?2?4?5?7?8）.记为数列的前n项和，则=（?）A．B．C．D．3．（2022·江西·二模（理））记数列中不超过
正整数n的项的个数为，设数列的前n项的和为，则等于（?）A．B．C．D．二、多选题4．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列满足
，，数列的前n项和为，则（?）A．B．C．D．5．（2022·全国·模拟预测）记数列的前项和为，数列为，….其构造方法是:首先给出
，接着复制该项后，再添加其后继数，于是，得;然后再复制前面所有的项，再添加的后继数于是，得;接下来再复制前面所有的项，再添加的后继
数于是，得前项为.如此继续下去，则使不等式成立的的值不可能为（?）A．B．C．D．6．（2021·江苏·高三阶段练习）设和分别为数
列和的前n项和.已知，，则（?）A．是等比数列B．是递增数列C．D．三、填空题7．（2022·山东聊城·二模）已知数列，当时，，则
数列的前项的和为______．8．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知数列满足，且，则______.9．（2022·天津市
第四中学模拟预测）已知等比数列的前项和为，公比，，，数列满足且，.（1）则___________；___________；（2）将
和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，则数列的前50项和___________；（3）设数列的通项公式为：，，则______
_____.四、解答题10．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知等差数列中，公差，，是与的等比中项，设数列的前项和为，满足.(
1)求数列与的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.11．（2022·全国·高三阶段练习（理））
已知数列的前项和为，，且，，成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．12．（2022·山东临沂·二模）已知数
列的前n项和为，，．(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前n项和．13．（2022·山西·模拟预测（文））已知数列的前项和为，且
．(1)证明是等比数列；(2)求的前项和．14．（2022·天津·一模）已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，.
(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)求证：.题型四：分组（幷项）求和法一、单选题1．（2022·全国·高三专题
练习）已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，的最大值是（?）．A．9B．1
0C．11D．122．（2022·江苏南京·高三开学考试）若(2x＋1)(22x＋1)(23x＋1)…(2nx＋1)＝a0＋a1x
＋a2x2＋…＋anxn(n∈N)，则下列说法正确的是（?）A．an＝2(n∈N)B．{－1}(n∈N)为等差数列C．设bn
＝a1，则数列为等差数列D．设bn＝a1，则数列{bn}的前n项的和为3．（2022·河北·模拟预测）已知数列满足，（，），是数列
的前项和，则（?）A．508B．506C．1011D．1009二、多选题4．（2022·河北沧州·模拟预测）已知数列的通项公式为，
是数列的前n项和，若，使，则（?）A．1B．2C．3D．45．（2021·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知数列满足，，是数列
的前项和，则（?）A．B．C．D．数列是等比数列6．（2022·江苏·苏州中学高三开学考试）在数列中，，前n项的和为Sn，则（?）
A．的最大值为1B．数列是等差数列C．数列是等差数列D．三、填空题7．（2022·云南昆明·模拟预测（理））记数列的前项和为，则_
_________．8．（2022·新疆·三模（理））设为数列的前n项和，，，，则___________.9．（2022·云南昆明
·模拟预测（文））数列的前10项和等于___________．四、解答题10．（2022·河北沧州·模拟预测）已知数列，满足.(1
)证明是等比数列，并求的通项公式；(2)设数列的前n项和为，证明：.11．（2023·福建漳州·三模）已知等差数列{}的前n项和为
，且(1)求{}的通项公式：(2)若数列满足，求的前10项和．12．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知数列是递增的等差数列，是
各项均为正数的等比数列，，，．(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前9项的和．（注：表示不超过x的最大整数）13．（202
2·河南洛阳·三模（理））已知正项数列的前项和为，，，数列满足且.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和.14．（2022
·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知数列的前项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)，求数列的前项和；15．（2022·山东滨州·二模
）已知公差为d的等差数列和公比的等比数列中，，，．(1)求数列和的通项公式；(2)令，抽去数列的第3项、第6项、第9项、……、第3
n项、……余下的项的顺序不变，构成一个新数列，求数列的前n项和．题型五：倒序相加法一、单选题1．（2022·湖南岳阳·二模）德国数
学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运
算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，
则（?）A．98B．99C．100D．1012．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列满足对、，都有成立，，函数，记，则数列的前
项和为（?）A．B．C．D．3．（2022·全国·高三专题练习）对于函数，时， ，则函数的图象关于点成中心对称．探究函数图象的对称
中心，并利用它求的值为（?）A．B．C．D．4．（2022·全国·高三专题练习）在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加
法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列满足，则（?）A．B．C．D．
二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.可以证明，任意三次函
数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是（?）A．存在有两个及两个以上对称
中心的三次函数B．函数的对称中心也是函数的一个对称中心C．存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心D．若函数，则三、填空题
6．（2022·四川遂宁·三模（文））德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，
就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一
定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是______.7．（2022·
江西萍乡·二模（理））已知函数，等差数列满足，则__________．8．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）设函数，定义，其中，，则______.9．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，则________.10．（2022·全国·高三专题练习）已知数列，2，3，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则数列的所有项的和为___．四、解答题11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.(1)求数列的通项公式；(2)求的值；(3)令，求数列的前2020项和.12．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，，正项等比数列满足，则值是多少？.13．（2012·江西宜春·高三阶段练习（理））设、是函数的图象上任两点，且，已知点横坐标为，（1）求点的纵坐标；（2）若，其中且，求．（3）已知，其中，为数列的前项和， 若对一切都成立，求取值范围． |
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