重难点11九种直线和圆的方程的解题方法（核心考点讲与练）
题型一：直接法求直线方程
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】联立已知两条直线方程求出交点，再根据两直线平行则斜率相同求出斜率即可.
【详解】由得两直线交点为(－1，0)，直线l斜率与相同，为，
则直线l方程为y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习（文））若经过点的直线与圆相切，则该直线在y轴上的截距为(???????)
A． B．5 C． D．
【答案】C
【分析】判断P点在圆上，圆心为原点O，则切线斜率为，根据直线方程的点斜式写出切线方程，令x＝0即可求出它在y轴上的截距.
【详解】∵，∴P在圆上，
设圆心为O，则，则过P的切线斜率，
∴切线方程为：，
令得.
故选：C.
3．（2022·浙江·高三专题练习）如图，圆、在第一象限，且与轴，直线均相切，则圆心、所在直线的方程为（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设直线的倾斜角为，则为锐角，由已知可得出，求出的值，即可得出直线的方程.
【详解】设直线的倾斜角为，则为锐角，由已知可得，
整理可得，因为，解得.
因此，直线的方程为.
故选：B.
4．（2022·重庆·高三开学考试）若直线交圆于、两点，且弦的中点为，则方程为（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由垂径定理可知，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，
因为弦的中点为，由垂径定理可知，，
，故，因此，直线的方程为，即.
故选：A.
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（???????）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可.
【详解】当截距为0时，过点和原点，直线方程为，即，
当截距不为0时，设直线方程为，可得，
∴，所以直线方程为,
故选：AC.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（???????）
A．直线与线段有公共点
B．直线的倾斜角大于
C．的边上的中线所在直线的方程为
D．的边上的高所在直线的方程为
【答案】BCD
【分析】因为，，所以可以判断A错误；因为，所以直线的倾斜角大于，B正确；因为求出直线方程可判断C、D.
【详解】
、
因为，，所以直线与线段无公共点，A错误；
因为，所以直线的倾斜角大于，B正确；
因为线段的中点为，所以边上的中线所在直线的方程为，C正确；
因为，所以上的高所在直线的方程为，即，D正确.
故选：BCD
7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l过点P（－1，1），且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（???????）
A．直线l与直线l1的斜率互为相反数 B．所围成的等腰三角形面积为1
C．直线l关于原点的对称直线方程为 D．原点到直线l的距离为
【答案】ACD
【分析】由题直线l与直线的倾斜角互补，可求直线l方程，即可判断.
【详解】由题意可知直线l与直线的倾斜角互补，
所以直线l的斜率为－2，故A正确；
直线l过点P（－1，1），
∴直线方程l为：,
所以所围成的等腰三角形面积为，故B错误；
所以直线l关于原点的对称直线方程为，故C正确；
所以原点到直线l的距离为，故D正确.
故答案为：ACD.
8．（2021·全国·模拟预测）已知平面上的线段及点，任取上一点，称线段长度的最小值为点到线段的距离，记作.已知线段，，点为平面上一点，且满足，若点的轨迹为曲线，，是第一象限内曲线上两点，点且，，则（???????）
A．曲线关于轴对称 B．点的坐标为
C．点的坐标为 D．的面积为
【答案】BCD
【分析】先确定和对应的图象，然后对进行分类讨论，分别研究点的轨迹，然后对各个选项进行逐一分析判断即可.
【详解】为线段，
：为线段，
又，
①当时，由题意可得，点在轴上；
②当时，，，此时点在轴上；
③当时，为点到的距离，，
此时点的轨迹是一条抛物线，准线方程为，
所以，故抛物线的标准方程为；
④当时，，，
此时点在的中垂线上，而，，中点坐标为，
所以，所以点在直线上，故选项A错误；
又，所以，解得，
故点A的坐标为，故选项B正确；
因为，又点在上，
联立方程组，可得，
所以点B的坐标为，故选项C正确；
，故直线AB的方程为，
则直线与的交点坐标为，
所以，故选项D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查了动点轨迹的综合应用，考查了抛物线定义的应用以及抛物线标准方程的求解，直线与直线的位置关系，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.
一、单选题
1．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知抛物线：的焦点的坐标为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（?????）
A． B．
C．=+2 D．
【答案】C
【分析】过M作MP与准线垂直，垂足为P，分析得到取得最大值，则∠MAF必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，联立直线和抛物线的方程根据即得解.
【详解】解：过M作MP与准线垂直，垂足为P，则，则当取得最大值，则∠MAF必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，
因为抛物线：的焦点的坐标为，所以.
设切线方程为y＝k（x+2），则，ky2﹣8y+16k＝0，
Δ＝64﹣64k2＝0，k2＝1，则k=±1，
因为点在第一象限且在抛物线上，所以.
则直线方程y＝x+2.
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）若直线与互相平行，且过点，则直线的方程为（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意设直线的方程为，然后将点代入直线中，可求出的值，从而可得直线的方程
【详解】因为直线与互相平行，所以设直线的方程为，
因为直线过点，
所以，得，
所以直线的方程为，
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线在轴与轴上的截距相等，则实数的值是（???????）
A．1 B．﹣1 C．﹣2或1 D．2或1
【答案】D
【分析】对a分类讨论，由截距相等解出的值.
【详解】当时，直线，此时不符合题意，应舍去；
当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意；
当且，由直线可得：横截距为，纵截距为.
由，解得：.
故的值是2或1.
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）过点作直线，满足在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（???????）条.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据“两坐标轴上截距的绝对值相等”条件进行分类讨论：一是截距相等且不为，二是截距互为相反数且不为，三是截距为
【详解】若截距相等且不为，可以设直线方程为：
将点代入直线方程后可得：
解得：
此时，直线方程为：
若截距互为相反数且不为，可以设直线方程为：
将点代入直线方程后可得：
解得：
此时，直线方程为：
若截距为0，则直线过原点，此时，直线的方程为：.
故选：C
二、多选题
5．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知直线：，则下列结论正确的是（???????）
A．直线的倾斜角是
B．若直线：，则
C．点到直线的距离是
D．过与直线平行的直线方程是
【答案】ACD
【分析】求出给定直线的斜率经计算可判断A，B；求点到直线距离判断C；由平行直线求方程判断D作答.
【详解】直线：的斜率，则其倾斜角为，A正确；
直线：的斜率，显然，，即与不垂直，B不正确；
点到直线的距离，C正确；
设过与直线平行的直线方程是，则有，解得，
所以过与直线平行的直线方程是，D正确.
故选：ACD
6．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（???????）
A．已知点，，若直线与线段有交点，则或
B．是直线：与直线：垂直的充分不必要条件
C．经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为
D．已知直线，：，，和两点，，如果与交于点，则的最大值是.
【答案】ABD
【分析】利用数形结合可判断A，利用两条直线垂直的条件及充分条件必要条件的定义可判断B，可求出过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程判断C，利用条件可得两直线垂直，再利用基本不等式可求最值判断D.
【详解】对于A，∵直线过定点，又点，，
∴，
如图可知若直线与线段有交点，则或，故A正确；
对于B，由直线：与直线：垂直得，
，解得或，
故是直线：与直线：垂直的充分不必要条件，故B正确；
对于C，当直线过原点时，直线为，
当直线不过原点时，可设直线为，代入点，得，
所以直线方程为，
故经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为或，故C错误；
对于D，∵直线，：，
又，所以两直线垂直，
∴，
∴，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：ABD
7．（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（???????）
A．若直线与直线互相垂直，则
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．四点不在同一个圆上
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
【答案】ACD
【分析】当时，两直线互相垂直，所以选项A不正确；
直线，，所以的取值范围是；所以选项B正确；
由题得,所以四点在同一个圆上，所以选项C不正确；
截距都相等的直线方程为或，所以选项D不正确.
【详解】解：当时，直线与直线也互相垂直，所以选项A不正确；
直线的倾斜角，可得，，所以的取值范围是；所以B正确；
由题得,
，所以,所以四点在同一个圆上，所以选项C不正确；
经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，或，所以D不正确；
故选：ACD
8．（2021·全国·高三专题练习）直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程可能是
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由于直线在轴、轴上的截距相等，设直线为：或，利用圆心到直线的距离为半径，即得解
【详解】由于直线在轴、轴上的截距相等，设直线为：或
由于直线与圆相切，
故圆心到直线的距离等于半径
或
故直线的方程为：
故选：ACD
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系和直线的截距，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于中档题
三、填空题
9．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线C交于，两点，若，则直线AB的方程为______．
【答案】或
【分析】由题意设直线AB的方程为，其中，代入抛物线方程消去，利用根与系数的关系，再对两边平方化简变形，结合前面的式子可求出，从而可求出直线AB的方程
【详解】焦点F的坐标为，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，其中，
联方程消去y后整理为，
可得，，
则，解得．
故直线AB的方程为或，
即或，
故答案为：或
10．（2020·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））若过点的直线将圆的周长分为两部分，则直线的斜率为___________.
【答案】或
【分析】直线将圆的周长分为2:1的两部分，则直线与圆相交的弦长对应的圆心角为，可求出圆心到直线的距离，从而求得直线斜率.
【详解】易知直线将圆的周长分为2:1的两部分，直线与圆相交的弦长对应的圆心角为，
圆心到直线的距离为，设直线方程为，
由点到直线距离公式有，
则，解得或.
故答案为：或.
四、解答题
11．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，直线：.
(1)过点，作圆的切线，求切线的方程；
(2)判断直线与圆是否相交，若相交，求出直线被圆截得的弦长最短时m的值及最短弦长；若不相交，请说明理由.
【答案】(1)或(2)相交，，最短弦长
【分析】（1）由直线与圆相切的关系，利用待定系数法求解即可；
（2）先判断点在圆的内部，直线与圆相交，则最短弦与过该点的直径垂直，即可求解
(1)当斜率存在时，设切线方程为
∴
解得
∴.
当斜率不存在时，方程为与圆相切满足条件..
∴切线方程为或.
(2)直线：
∴直线过的交点
又∵满足
∴点在圆的内部
∴直线与圆相交
又，
∴最短弦的斜率为-1，即，，
∴最短弦的方程为，
∴
∴最短弦长为.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由可以求出，将点代入椭圆方程可以解出与的值，即可得出答案；（2）当直线与轴垂直时，可以求出两点的坐标，即可求出的面积，经计算不符合题意；当直线与轴不垂直时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用弦长公式可以表示出，利用点到直线的距离公式可以表示出到直线的距离，进而得到的面积表达式，求得的值即可得到直线的方程．
【详解】（1）因为所以，
又点在该椭圆上，所以，
又，
解得，，
所以椭圆C的方程为.
（2）①当直线与轴垂直时，可得，
的面积为3，不符合题意．
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
代入椭圆的方程得，
显然成立，设
则，，
所以，
用点到直线距离公式可得到直线的距离，
所以的面积，
化简得解得，
因此直线的方程为或.
【点睛】处理涉及直线和圆锥曲线交点问题时，一般设出交点坐标，但不求交点坐标，而是用韦达定理作整体运算（把或看作一个整体）．
一、单选题
1．（2022·四川凉山·三模（理））已知直线，，且，点到直线的距离（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据两直线垂直公式求得，再用点到线的距离求解即可
【详解】由可得，解得，故
故选：D
2．（2022·辽宁·二模）己知直线，直线，则的充要条件是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据两直线平行的充要条件即可解出．
【详解】因为直线，直线，易知时，两直线垂直，
所以的充要条件是，即．
故选：A．
二、多选题
3．（2021·重庆一中高三阶段练习）下列说法正确的有（???????）
A．若，则“”是“：与：平行”的充要条件
B．当圆截直线：所得的弦长最短时，
C．若圆：与圆：有且仅有两条公切线，则
D．直线：的倾斜角为139°
【答案】AD
【分析】由直线平行的条件求得参数值判断A，求出直线所过定点，当直线与定和圆心连线垂直时，弦长最短计算后判断B，由两圆位置关系判断C，根据直线的斜率与倾斜角的关系判断D．
【详解】对于A：时，：，：，显然，
反之，若，则有或，
检验知时，重合，故，所以A对；
对于B：圆心，恒过，由圆性质知弦长最短时，，
所以，所以B错；
对于C：圆心，，，半径，，
由题知两圆相交，因此，即：，
解得，所以C错；
对于D：直线的斜率，所以D对．
故选：AD.
4．（2021·广东·高三阶段练习）已知直线过点且与圆：相切，直线与轴交于点，点是圆上的动点，则下列结论中正确的有（???????）
A．点的坐标为
B．面积的最大值为10
C．当直线与直线垂直时，
D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据题意，结合直线与圆，点与圆的位置关系，以及垂直直线的斜率关系和正切的二倍角公式，一一判断即可.
【详解】根据题意，易知点在圆上.
因为，所以直线的斜率，因此直线的方程为，
令，得，因此点的坐标为，故A正确；
因为点是圆上的动点，所以点到直线的最大距离，
又因为，所以面积，故B正确；
因为直线：与直线垂直，所以，解得，故C错误；
当直线与圆相切时，锐角最大，即最大，此时，
因为，所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
5．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））若双曲线的一条渐近线与直线平行，则直线，间的距离为______．
【答案】
【分析】根据双曲线的方程得出双曲线的一条渐近线为，再利用两直线平行的条件，结合平行线间的距离公式即可求解
【详解】由题意，双曲线的一条渐近线的方程为，
因为，所以，解得，
所以直线l的方程为，直线g的方程为，
所以l，g之间的距离为.
故答案为：.
6．（2022·天津·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，直线经过点，若对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值，则直线的方程为___________.
【答案】
【分析】先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线上，若对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值，可得直线与圆心所在的直线平行，即可求得结果
【详解】将圆，
化为标准方程为，则
圆心，半径，
令，消去，得，
所以圆心在直线上，
因为直线经过点，对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值，
所以直线与圆心所在的直线平行，
所以设直线为，
将代入，得
，得，
所以直线的方程为
故答案为：
四、解答题
7．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线在点处的切线平行于直线，且点在第三象限．
(1)求的坐标；
(2)若直线，且l也过切点，求直线l的方程．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）设点，求出给定函数的导数，再利用导数的几何意义，列式计算作答.
（2）求出直线l的斜率，由（1）的结论结合直线的点斜式方程求解作答.
(1)由求导得：，设切点，而点在第三象限，即，
依题意，，解得：，此时，，显然点不在直线上，
所以切点的坐标为.
(2)直线，而的斜率为4，则直线l的斜率为，
又l过切点，于是得直线l的方程为，即，
所以直线l的方程为：.
8．（2020·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知圆，圆，A是第一象限内的一点，其坐标为．
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
（1）若，求t的值；
（2）过A点作斜率为k的直线l，
①若直线l和圆，圆均相切，求k的值；
②若直线l和圆，圆分别相交于和，且，求t的最小值．
【答案】（1）；（2）①或；②．
【分析】（1），利用数量积坐标公式代入计算即可求得t的值；
（2）①设直线，由直线l和圆，圆均相切，根据点到直线的距离等于半径，计算可求k的值；
②设直线l：，由弦心距公式及，化简得，通过分离常量化简，构造函数借助基本不等式可求t的最小值．
【详解】解：（1）因为，，，所以，因为，所以，又，所以，所以A点的坐标为．
（2）①设直线，则，所以，因为，所以．
因为直线l和圆，圆均相切，所以，所以，所以或，即或，
当时，得；当时，得，总之，．
将代入得；将代入得，故k的值为或．
②直线l的方程为，即，到直线l的距离，所以，
同理，
因为，所以，
且，
将化简得，因为，所以，所以，，
设，则，
等号当且仅当即时取得，
所以，等号当且仅当时取得．
当时，成立，故t的最小值为．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，考查了数量积在求参数中的应用，考查了基本不等式在求范围中的应用，着重考查了分析问题与运算能力，属于难题.
一、单选题
1．（2022·山东滨州·二模）已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（???????）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】D
【分析】求出直线l过的定点，再判断此定点与圆C的位置关系即可作答.
【详解】直线，即，
由解得，因此，直线恒过定点，
又圆，即，显然点A在圆C外，
所以直线与圆C可能相离，可能相切，也可能相交，A，B，C都不正确，D正确.
故选：D
2．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））在平面直角坐标系中，已知圆，若曲线上存在四个点，过动点Pi作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则的取值范围为（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先设，根据求出点的轨迹方程，再根据直线与圆相切，即可得到 的取值范围
【详解】设，则，解得（舍去）或=4，
所以点P的轨迹方程为，曲线过点（1，2）且关于直线x=1对称，
由题可知k<0.当直线与相切时，解得k=或.
所以k的取值范围为
故选：A
二、多选题
3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知为坐标原点，点在直线上，是圆的两条切线，为切点，则（???????）
A．直线恒过定点
B．当为正三角形时，
C．当时，的取值范围为
D．当时，的最大值为
【答案】BD
【分析】根据直线过定点判断A，根据圆的切线的性质判断B，求出点的轨迹方程，根据点到直线的距离公式得到不等式，解得即可判断C，根据数量积的几何意义得到，从而得到，再利用基本不等式判断D；
【详解】对于A，直线恒过定点，故A错误；
对于B，因为为正三角形，则，所以，故B正确；
对于C，因为，所以四边形为正方形，则，
所以点的轨迹方程为，问题转化为直线与点的轨迹有公共点，
所以，即，所以的取值范围为，故C错误；
对于D，因为，则，即，
由，所以，当且仅当时取等号，故D正确；
故选：BD.
4．（2022·江苏盐城·三模）设直线l：，交圆C：于A，B两点，则下列说法正确的有（???????）
A．直线l恒过定点
B．弦AB长的最小值为4
C．当时，圆C关于直线l对称的圆的方程为：
D．过坐标原点O作直线l的垂线，垂足为点M，则线段MC长的最小值为
【答案】BC
【分析】A.由直线过定点求解；B.由CP垂直l求解； C.求得点关于直线的对称点求解；D.由垂足为时，线段MC长最小求解.
【详解】直线的方程可化为，过定点，即A错误；
设，则圆心到直线的距离，且半径，
所以最小弦长为，即B正确；
时，直线方程为，则点关于直线对称的点为，即C正确；
当垂足为时，，即D错误．
故选：BC
5．（2022·重庆·高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则k的值可能为（???????）
A．-7 B．-5 C．-2 D．–1
【答案】ABC
【分析】先设出，利用求出在以原点为圆心，半径为2的圆上，数形结合转化为且只需原点到直线的距离小于半径2即可，用点到距离公式列出不等式，求出k的取值范围.
【详解】设，连接，设，
则，，
所以，
又，
所以
令，则有，
解得：或
因为在单位圆外，所以舍去，
即在以原点为圆心，半径为2的圆上，
因为曲线上存在四个点（i＝1，2，3，4），
即与圆有4个交点，
结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可，
所以，解得：或（舍去），
故选：ABC
【点睛】数形结合的思想对于求解函数零点或交点个数问题经常使用，要能抓住一些不变量，比如本题中的直线方程过定点
三、双空题
6．（2022·北京房山·二模）已知圆和直线，则圆心坐标为___________；若点在圆上运动，到直线的距离记为，则的最大值为___________.
【答案】???? ???? ##
【分析】由圆的标准方程可得圆心坐标；根据直线过定点，可知当时，圆心到距离最大，则.
【详解】由圆的方程知：圆心坐标为；
由直线方程知：恒过点，则，
当时，圆心到距离最大，
又圆的半径，.
四、填空题
7．（2022·河南焦作·三模（文））已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】将方程的根转化为图象交点问题，画出图象，数形结合进行求解.
【详解】方程的根转化为和的图象的公共点的横坐标，
因为两个图象均关于点对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．
作出和的图象如图所示．
当时，只需直线与圆相离，可得；
当时，只需直线与圆相切，可得．
故k的取值范围是．
故答案为：
五、解答题
8．（2022·全国·高三专题练习）为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点在直线上，且，直线过点且垂直于，求证：直线过定点.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）用相关点法求点的轨迹方程；
（2）先表达出条件，再转换成直线过定点的具体条件.
(1)设，，则，，，
由得：，，
因为点在椭圆上，所以，
即点的轨迹方程：；
(2)由题意设，则，
由得：，，，
，
，
由已知得，
直线的方程：，
所以直线恒过定点.
9．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与此椭圆分别交于点，、，，其中，，
(1)设动点满足，求点的轨迹方程；
(2)设，，求点的坐标；
(3)若点在点的轨迹上运动，问直线是否经过轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.
【答案】(1)(2)(3)是，
【分析】（1）直译法求轨迹；
（2）求解直线的交点可得点的坐标；
（3）先表达出直线的方程，再去求定点.
(1)由椭圆可得：，，.
，.
设，则，.
满足，
，，，
，化简得，
故的轨迹方程为
(2)由及得，则点，
从而直线的方程为；
同理可以求得直线的方程为
联立两方程可解得
点的坐标为.
(3)假设直线过定点，由在点的轨迹上，
直线的方程为，直线的方程为
点，满足得，
又，解得，从而得.
同理：，.
直线的方程：，
令，解得.
直线经过定点.
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））集合在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为.若集合，，则下列说法中不正确的有（???????）
A．若，则实数的取值范围为 B．存在，使
C．无论取何值，都有 D．的最大值为
【答案】B
【分析】对于A，要使，只要原点到直线的距离小于等于5即可，从而可求出的取值范围；对于B，C，由于直线过定点，而点在圆内，从而可得；对于D，设原点到直线的距离为，则，分母有理化后可求出其最大值，从而可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确.
对于B和C，直线过定点，因为，故C正确，B错误.
对于D，设原点到直线的距离为，，则，当最大时，取最大值，于是的最大值为，故D正确.
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数,都有,则向量与夹角的最大值的余弦值为（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系,设出相关向量,通过分析位置,寻求临界值.
【详解】设.
如图,不妨设.
设为AB的中点,为OC的中点,为BD的中点,为AD的中点.
则.
,点在平行四边形内(含边界).
由题知恒成立.
为了使最大,则思考为钝角,即思考点在第一或第四象限.
思考临界值即与重合,与重合,且GM不能充当直角三角形斜边,否则可以改变的位置，使得
所以,即
即,即.
所以.
所以
所以向量与夹角的最大值的余弦值为
故选:A.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用已知条件转化出所在的位置.
二、多选题
3．（2022·全国·模拟预测）已知直线，过直线上任意一点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则有（???????）
A．四边形MACB面积的最小值为 B．最大度数为60°
C．直线AB过定点 D．的最小值为
【答案】AD
【分析】，当时有最小值，求出可判断A；当时最大，可判断B；设点，，，求出直线的方程，整理得，由可得直线AB过的定点可判断C；直线AB所过定点为P，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D.
【详解】对于A选项，由题意可知，当时，有最小值，即，此时，所以四边形MACB面积的最小值为，故选项A正确；
对于B选项，当时，最大，此时，此时，故选项B错误；
对于C选项，设点，，，则，易知在点A、B处的切线方程分别为，，将点分别代入两切线方程得，，所以直线方程为，整理得，代入，得，
解方程组得所以直线AB过定点，故选项C错误；
对于D选项，设直线AB所过定点为P，则，当时，弦长最小，此时，则的最小值为，故选项D正确，故选：AD.
4．（2022·福建三明·模拟预测）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（???????）
A．的最小值为 B．若圆C关于直线l对称，则
C．若，则或 D．若A，B，C，O四点共圆，则
【答案】ACD
【分析】判断出直线过定点，结合勾股定理、圆的对称性、点到直线的距离公式、四点共圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】直线过点，
圆，即①，
圆心为，半径为，
由于，所以在圆内.，
所以，此时，所以A选项正确.
若圆关于直线对称，则直线过两点，斜率为，所以B选项错误.
设，则，此时三角形是等腰直角三角形，
到直线的距离为，即，
解得或，所以C选项正确.
对于D选项，若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为，
的中点为，，
所以的垂直平分线为，则②，
圆的方程为，
整理得③，
直线是圆和圆的交线，
由①-③并整理得，
将代入上式得，④，
由②④解得，
所以直线即直线的斜率为，D选项正确.
故选：ACD
【点睛】求解直线和圆位置关系有关题目，首先要注意的是圆和直线的位置，是相交、相切还是相离.可通过点到直线的距离来判断，也可以通过直线所过定点来进行判断.
三、填空题
5．（2022·全国·模拟预测）已知平面内点，，点满足．设到直线的距离的最大值为，若数列的前n项和恒成立，则实数m能取的最小值是______．
【答案】
【分析】易知点在圆上，先求得圆心O到直线的距离，进而得到点到直线的距离的最大值，即，再利用裂项相消法求解.
【详解】解：因为的中点为坐标原点O，且，
所以，
则点在圆上，且圆心为O，半径．
又坐标原点O到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最大值为，
所以，
则，
所以，
，
．
因为恒成立，
所以，
即实数m能取的最小值是．
故答案为：
6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆和圆交于两点，直线与直线平行，且与圆相切，与圆交于点，则__________．
【答案】4
【分析】由题可得，利用点到直线的距离公式可得，然后利用弦长公式即得.
【详解】由圆，可知圆心，半径为2，圆，可知圆心，半径为，
又，，
所以可得直线，
设，直线与圆相切，则。
解得，或，
当时，，
∴，
当时，，，故不合题意.
故答案为：4.
7．（2022·广东佛山·模拟预测）已知点，，若，则点P到直线l：的距离的最小值为____________．
【答案】
【分析】先设P的坐标，根据得到P的轨迹方程为圆，利用圆心到直线的距离减去半径即为P到直线l的最小值
【详解】设点P的坐标为，
，
即P的轨迹是以为圆心，半径为的圆
点到直线l的最短距离为，则可得点P到直线l的距离的最小值为．
故答案为：
四、解答题
8．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．
(1)求C与坐标轴交点的直角坐标；
(2)以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C与坐标轴的交点是否共圆，若共圆，求出该圆的极坐标方程；若不共圆，请说明理由.
【答案】(1)，，；(2)共圆，．
【分析】(1)分别令x=0和y=0即可求解；(2)假设(1)中三点共圆，设该圆的平面直角坐标方程为，根据三点坐标列方程组求出D、E、F即可得该圆的平面直角坐标方程，代入和化简即可得该圆的极坐标方程．
(1)令，解得或，
当，，交点，
当，，交点；
令，解得或，
当，，交点，
当，，交点；
∴C与坐标轴交点的直角坐标为，，；
(2)假设圆M：过，，三点，
则，解得，
即过曲线C与坐标轴交点的圆的方程为．
由，得所求圆的极坐标方程为．
9．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线，圆，圆
(1)若，求直线的倾斜角；
(2)设直线截两圆的弦长分别为，当时，求的最大值并求此时的值.
【答案】(1)；(2)，
【分析】（1）先由的方程求出斜率，设直线的倾斜角为，再利用，结合诱导公式即可求出直线的倾斜角；
（2）先求出圆心到直线的距离，由圆心到直线的距离小于半径求出的范围，再通过弦长公式求出，由结合基本不等式求得的最大值即可.
(1)若，则直线，易知直线斜率为，设直线的倾斜角为，
则，又，故，故直线的倾斜角为；
(2)当时，直线，易知圆心，半径，圆心，半径，
且，即或；圆心到直线的距离为，由圆和直线相交得，
解得，则；圆心到直线的距离为，
由圆和直线相交得，解得或，则，
故或，又，，故，
即，故，当且仅当时即取等.
故的最大值为，此时.
10．（2022·江西南昌·一模（理））已知面积为的等边（是坐标原点）的三个顶点都在抛物线上，过点作抛物线的两条切线分别交轴于，两点.
(1)求的值；
(2)求的外接圆的方程.
【答案】(1)1；(2).
【分析】（1）根据面积求出等边三角形的边长，进而求出点A的坐标，从而求出p的值；
（2）设出切线方程，并与抛物线E的方程联立，借助判别式切线方程，可求出点M，N的坐标，然后由几何法求出圆的方程作答.
(1)依题意，不妨令点A在第一象限，设，，则有，，
因是等边三角形，即，则，即，
整理得：，而，于是得，有，
因此，点A，B关于x轴对称，而，则直线OA的倾斜角为，从而得，，
又等边的面积为，于是得，即，解得，点，
因此，，解得，
所以.
(2)由（1）知，抛物线的方程为：，点，显然过点P的抛物线E的切线不垂直于坐标轴，
设过点的抛物线的切线方程为：，由消去x并整理得：，
从而得，解得，，
依题意，所对切线为，由得，不妨令该切线与y轴交于点，
所对切线为，由得，该切线与y轴交于点，
的外接圆的圆心C在线段MN中垂线：上，设点，
由得，解得，即点，圆半径，
所以的外接圆的方程为：.
【点睛】方法点睛：几何法求圆的方程，就是解题过程中要用到圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线.
一、多选题
1．（2022·广东·模拟预测）三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆的圆心在的欧拉线上，为坐标原点，点与点在圆上，且满足，则下列说法正确的是（???????）
A．圆的方程为
B．的方程为
C．圆上的点到的最大距离为
D．若点在圆上，则的取值范围是
【答案】BCD
【分析】分析可知的欧拉线即为的中垂线，求出线段的中垂线方程，可判断B选项；根据题意可设，求出的值，可得出圆的方程，可判断A选项；求出圆上的点到的最大距离，可判断C选项；利用点到直线的距离公式可判断D选项.
【详解】对于B选项，由题意可知，故的欧拉线即为线段的中垂线，
线段的中点为，直线的斜率为，
所以，线段的垂直平分线方程为，即，B对；
对于A选项，因为圆的圆心在的欧拉线上，
因为，，，所以，
设圆心为，则圆的方程为，
将代入圆的方程可得，解得或，
所以，圆的方程为或，A错；
对于C选项，因为过圆心，所以圆上的点到的最大距离为圆的半径，C对；
对于D选项，因为点在圆上，设，圆心在上，半径为，
则，D对．
故选：BCD.
二、填空题
2．（2022·河北·模拟预测）圆心为，且截直线所得弦长为的圆的方程为___________.
【答案】
【分析】由题知圆心为，到直线的距离为，进而根据弦长得圆的半径，再根据标准方程求解即可.
【详解】解：由题知，圆心为，到直线的距离为，
因为圆心为，且截直线所得弦长为，
所以，圆的半径为，
所以，所求圆的方程为.
故答案为：
3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知?圆：的离心率为，和是的左右焦点，M是上的动点，点N在线段的延长线上，，线段的中点为P，则的最大值为______．
【答案】3
【分析】由已知，根据离心率为，先求解出?圆的方程，在利用椭圆的定义得到动点N的轨迹方程，然后利用和线段的中点为P，设P点坐标，并用P点坐标表示动点N，带入动点N的轨迹方程，即可求解出动点N的轨迹方程，然后利用圆心与的位置关系即可完成求解.
【详解】由条件得，∴，∴?圆的方程是，
∴，．由于点N在线段的延长线上，，
所以，∴点N的轨迹是以为圆心，以4为半径的圆，
方程为．
设，则关于对称的点的坐标为，
∴，化简得点P的轨迹方程为，
即点P的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，
所以，的最大值为3．
故答案为：3.
4．（2022·天津·高三专题练习）已知圆C过点两点，且圆心C在x轴上，经过点且倾斜角为钝角的直线l交圆C于A，B两点，若(C为圆心)，则该直线l的斜率为________．
【答案】
【分析】根据圆的性质可知圆心为PQ中垂线与x轴的交点，据此即可求出圆心坐标和半径；由题可知△CAB为等腰直角三角形，于是可求圆心到直线l的距离，再根据点到直线距离公式即可求出直线l的斜率.
【详解】由题可知，为圆C的弦，则圆心C在PQ中垂线上，又∵圆心在x轴上，
故圆心坐标为C(1，0)，故圆的半径，
∵过点的直线l交圆C于A，B两点，若(C为圆心)，
故△CAB为等腰直角三角形，，
则圆心C到AB即直线l的距离，
设l为：，即，
则，，.
故答案为：.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x＋2)与x轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若|PA|＝|PT|，则实数k的取值范围是______________．
【答案】
【分析】设P(x,y)，由已知条件并利用两点距离公式、圆切线长列方程求P的轨迹方程，再由直线l与轨迹的位置关系求参数范围.
【详解】由题意，A(－2,0)，C(2,0)，设P(x,y)，由|PA|＝|PT|，
所以|PA|2＝2|PT|2＝2(|PC|2－2)，故(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，化简得(x－6)2＋y2＝36，
所以点P在以(6,0)为圆心，6为半径的圆上，
由题意知，直线y＝k(x＋2)与圆(x－6)2＋y2＝36有公共点，
所以，解得．
故答案为：
三、解答题
6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））拋物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点M的坐标为，与直线l相切．
(1)求抛物线C和的标准方程；
(2)已知点，点，是C上的两个点，且直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)，(2)相切，理由见解析
【分析】（1）由题意设拋物线C的方程为，将代入可求出P，Q两点坐标，再由可得，从而可求得的值，则可得抛物线的方程，由题意可得的半径为2，从而可求出的方程，
（2）由已知可得在抛物线上，设，，则可得， 从而可表示出直线的方程，由于直线与圆相切，所以由圆心到直线的距离等于半径，可得，同理得的方程为，所以可得
直线方程为，进而可求出点M到直线距离，由此可得结论
(1)由已知，设拋物线C的方程为（），
当时，，则，
所以不妨设 ，，
因为，所以，
所以，解得
所以抛物线C的，
因为与直线l：相切，，
所以的半径为2，
所以的方程
(2)由已知可得在抛物线上，设，
所以，
所以的点斜式方程为
整理可得，
此直线与圆相切，可得，
平方后可得
又因为
化简得，
同理：的方程为，
所以直线方程为，
所以点M到直线距离为，
所以直线与相切
7．（2022·江苏·南京市第五高级中学一模）已知O为坐标原点，抛物线E：（p＞0），过点C（0，2）作直线l交抛物线E于点A、B（其中点A在第一象限），且（＞0）.
(1)求抛物线E的方程；
(2)当=2时，过点A、B的圆与抛物线E在点A处有共同的切线，求该圆的方程
【答案】(1)(2)
【分析】（1）可设直线l的方程为，，联立方程，利用韦达定理求得，再根据，求得，即可得解；
（2）联立方程，利用韦达定理求得，当时，知，从而可求得点的坐标及直线方程，再根据导数的集合意义可求得点A且与切线垂直的直线方程，从而可求得圆心及半径，即可得解.
(1)解：直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为，
设直线l与抛物线的交点坐标为，
A、B在抛物线上，则=，
由消y并整理成，
所以，
又，则，所以，
所以，
所以抛物线E的方程为 ；
(2)解：由消y并整理成，
所以，
当时，知，
又，所以，
所以线段AB的中点坐标为，A的坐标为，
线段AB的垂直平分线方程为，即，
求导得，
抛物线E在点A处的切线斜率为2，
过点A且与切线垂直的直线方程为，即，
由及得圆心坐标为，
圆的半径为，
所以所求的圆方程为.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的倍．
（1）求点的轨迹方程：
（2）若点与点关于点对称，求、两点间距离的最大值；
（3）若过点的直线与点的轨迹相交于、两点，，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）14；（3）存在；或．
【分析】（1）由已知列关于，的方程化简即可求得点的轨迹方程；
（2）设，由点与点关于点对称，可得点坐标为，把的坐标代入（1）中的轨迹方程，整理可得点的轨迹方程为，由此可得、两点间距离的最大值；
（3）由题意知的斜率一定存在，设直线的斜率为，且，，，，则，联立直线与圆的方程，由判别式大于0求得的范围，再求出及到直线的距离，代入三角形面积公式，利用配方法求最值，得到值，可得直线方程．
【详解】解：（1）由已知，．
，即，
（2）设，因为点与点关于点对称，
则点坐标为，
点在圆上运动，
点的轨迹方程为，
即：，
；
（3）由题意知的斜率一定存在，设直线的斜率为，且，，
则：，
联立方程：，
，
又直线不点，．
点到直线的距离，，
，
，，
当时，取得最大值，此时，，
直线得方程为或．
一、单选题
1．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）已知圆的半径为1，若此圆同时与 轴和直线 相切，则圆的标准方程可能是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设圆的方程为，依题意利用圆心到直线的距离等于半径得到方程组，解得即可；
【详解】解：设圆的方程为，圆心为，半径，
依题意，解得或或或，
所以圆的方程为或
或或；
故选：A
二、填空题
2．（2022·四川眉山·三模（文））已知函数.过点作曲线两条切线，两切线与曲线另外的公共点分别为B、C，则外接圆的方程为___________.
【答案】(或 )
【分析】求f(x)的导数，设切点为，根据直线点斜式方程求出切线方程，将A的坐标代入求出切点坐标，联立切线方程和y=f(x)求得B、C坐标，设△ABC外接圆方程为，代入A、B、C三点坐标得方程组，解方程组即可得到圆的方程．
【详解】∵，
∴
．
则，设y=f(x)切线的切点为，
则切线方程为：，
∵切线过A(-1，0)，∴
即
当时，，即，即，解得．
∴，，，．
①当切点为A时，切线方程为，
由解得或，则不妨设B(5，6)；
②当切点为(2，-3)时，切线为，即，
由解得或，则不妨设C(2，-3)；
故，，，设△ABC外接圆为，
则，解得，
∴所求圆的方程为．
故答案为：．
【点睛】本题关键是熟练掌握曲线切线的求法，设出切点，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过A求出切点坐标，再求出B、C两点坐标，采用待定系数法即可求出圆的方程．
3．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为点A，B，以为直径的圆交x轴于P，Q两点，则_______．
【答案】8
【分析】先利用导数和切线方程求出A，B坐标，即可求出圆心和半径，即可得到圆的方程，令y=0，求出.
【详解】抛物线可化为：.设.
由题意可得：，解得：，同理可求：，
所以直径长为，圆心为（2，3），
所以以为直径的圆为.
令y=0，解得：，所以.
故答案为：8
4．（2022·天津·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点位于第一象限，且满足，则以点为圆心，为半径的圆的方程为______.
【答案】
【分析】设，根据抛物线的定义求得，进而求出，结合圆的标准方程即可得出结果.
【详解】由题意，抛物线，可得焦点，
设，根据抛物线的定义，可得，
解得，代入方程，由可得，
即，又，
所以圆的方程为：.
故答案为：.
三、解答题
5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C经过点A(0，2)，B(2，0)，圆C的圆心在圆x2＋y2＝2的内部，且直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为.点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N.
(1)求圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋1与圆C交于A1，A2两点，求；
(3)求证：|AN|·|BM|为定值.
【答案】(1)x2＋y2＝4；(2)3；(3)证明见解析.
【分析】（1）设C(a，a)，解方程＝＋3，即得解；
（2）将y＝x＋1代入x2＋y2＝4得2x2＋2x－3＝0.设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，再利用韦达定理和数量积公式求解；
（3）当直线PA的斜率不存在时，|AN|·|BM|＝8. 当直线PA与直线PB的斜率都存在时，设P(x0，y0)，求出的坐标，再代入数量积公式化简即得证.
(1)解：由题知圆心C在线段AB的中垂线y＝x上，
故可设C(a，a)，圆C的半径为r.
因为直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为2，且r＝，
所以C(a，a)到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝，
由r2＝d2＋3得＝＋3，
即a2－170a＝0，
所以a＝0或a＝170.
又圆C的圆心在圆x2＋y2＝2的内部，
所以a＝0，圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)解：将y＝x＋1代入x2＋y2＝4得2x2＋2x－3＝0.
设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，
则x1＋x2＝－1，x1x2＝－.
所以＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(x1＋1)(x2＋1)
＝2x1x2－(x1＋x2)＋5＝－3＋1＋5＝3.
(3)证明：当直线PA的斜率不存在时，|AN|·|BM|＝8.
当直线PA与直线PB的斜率都存在时，设P(x0，y0)，
直线PA的方程为y＝x＋2，
令y＝0得M.
直线PB的方程为y＝ (x－2)，令x＝0得N.
所以|AN|·|BM|＝
＝4＋4
＝4＋4×
＝4＋4×＝8，
故|AN|·|BM|为定值8.
6．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知圆过点，，．
(1)求的标准方程；
(2)若点在上运动，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设的一般方程为，进而待定系数法求解，最后化为标准方程即可；
（2）设，进而根据圆心到直线的距离满足求解即可.
(1)设的一般方程为，
则解得，
故的一般方程为，
化标准方程为．
所以的标准方程为
(2)解：由（1）知圆的圆心为，半径为，
设，
所以的圆心到直线的距离满足，
解得，
故的取值范围为．
7．（2021·全国·模拟预测）已知点在抛物线：上，过点作圆：的两条切线，切点为，，延长，交抛物线于，.
（1）当直线抛物线焦点时，求抛物线的方程与圆的方程；
（2）证明：对于任意，直线恒过定点.
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）由点在抛物线上，求出，利用，，，四点共圆知是以为直径的圆和圆的公共弦，求出圆方程，通过两圆方程相减可得的方程，利用过拋物线焦点，可求出；
（2）设出点，坐标及直线，的方程，利用圆心到切线距离等于半径，建立，的关系，再联立切线与抛物线方程，可建立，与，的关系，代入直线的方程，即可证明直线过定点.
【详解】（1）因为点在抛物线：上，所以，解得，
所以抛物线的方程为.
以为直径的圆的方程为.
依题意，直线是圆和圆的公共弦，则直线的方程为.
又直线经过抛物线焦点，所以，
所以圆的方程为.
（2）证明：设，，则的方程为.①
设直线的方程为，
即.
依题意得
即.
设直线的方程为，
同理可得，
则，.
联立消去并整理得.
因为点，在直线上，所以，
同理可得，
于是，
，
代入①中得，
即，
所以直线过定点.
8．（2019·云南·二模（理））已知是坐标原点，抛物线：的焦点为，过且斜率为1的直线交抛物线于、两点，为抛物线的准线上一点，且.
（1）求点的坐标；
（2）设与直线垂直的直线与抛物线交于、两点，过点、分别作抛物线的切线、，设直线与交于点，若，求外接圆的标准方程.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由题易知直线的方程为：，设，联立，可得
，又因为，可得建立方程求得，可得结果；
（2）设出直线：，即可已知得：，：，联立方程求得点，利用向量数量积为0，解得，代入可得OM垂直ON，即为外接圆的直径，最后求得答案即可.
【详解】解：（1）由已知得直线的方程为：，设.
由得，.∴.
由得.
∴，解得.
∴点的坐标为.
（2）设，，直线：，
由已知得：，：，
解得.∴.
由得.由题意得，即.
∴，.
∵，∴，解得.∴，
∴.∴.∴为外接圆的直径.
又∵，
，
∴外接圆的圆心为，半径为.
∴外接圆的标准方程为.
【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的综合知识，理解题意，分析转化是解题的关键，属于难题.
直线与圆锥曲线解题步骤：
(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；
（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；
（3）转化，由题已知转化为数学公式；
（4）计算，细心计算.
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知直线 l 过点，则直线 l 被圆O：截得的弦长的最小值为（???????）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】由题可知当OA与直线 l 垂直时，所截得的弦长最短，利用弦长公式即得.
【详解】依题意可知在圆内，且，圆O的半径为．
当OA与直线 l 垂直时，所截得的弦长最短，
即弦长的最小值为.
故选：B．
2．（2022·全国·模拟预测）过点，作倾斜角为的直线l，则直线l被圆截得的弦长为（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题，由点斜式写出直线，由点线距离公式求出圆心到直线距离，可结合垂径定理得出所截弦长
【详解】依题意，直线l的方程为，即，则圆心O到直线l的距离.又因为圆的半径，所以所求的弦长为，
故选：D.
二、多选题
3．（2022·广东·模拟预测）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，则（???????）
A．线段的长度大于
B．线段的长度小于
C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为
D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为
【答案】AD
【分析】根据圆的切线的几何性质可求得，确定，可求得，即可判断A,B; 当直线与圆相切时，设直线的方程，利用和圆相切可得，继而求得原点到直线的距离，判断C; 当直线平分圆的周长时, 直线过点,设直线方程，可得，由此求得原点到直线的距离，判断D.
【详解】如图示： ,
根据直角三角形的等面积方法可得， ,
由于，故，
由于，故A正确，B错误；
当直线与圆相切时，由题意可知AP斜率存在，
故设AP方程为 ，
则有 ，即 ，
即 或 ，
设原点到直线的距离为d,则 ，
当时， ；当时，，故C错误；
当直线平分圆的周长时，即直线过点,
AP斜率存在，设直线方程为，即 ，
则 ，即，
故原点到直线的距离为,则 ，故D正确；
故选:AD
三、填空题
4．（2022·河北唐山·三模）直线与圆交于A、B两点，且，则实数_______．
【答案】或5
【分析】设AB中点为D，则CD⊥AB，且DB=DA，根据化简即可求得圆心C到直线l的距离，再根据点到直线的距离公式即可求出m的值．
【详解】，则圆心，半径，
设AB中点为D，则CD⊥AB，且DB=DA，
则
，
即，
∴或5．
故答案为：或5．
四、解答题
5．（2022·全国·高三专题练习）已知点，不垂直于x轴的直线l与椭圆相交于，两点.
(1)若M为线段AB的中点，证明：；
(2)设C的左焦点为F，若M在∠AFB的角平分线所在直线上，且l被圆截得的弦长为，求l的方程.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）把A，B两点坐标代入椭圆方程相减，结合中点坐标公式得直线斜率与的关系，由点在椭圆内部，得参数范围，从而可得直线斜率范围，得结论；
（2）先说明直线斜率不可能为0，然后设直线方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，由轴，MF平分，得，代入韦达定理的结果可得值，再利用圆的弦长求得得直线方程．
(1)证明：因为A，B在椭圆上，所以，
两式相减可得，，
所以，
因为M为AB的中点，故点M在椭圆C的内部，所以，
又，所以，故；
(2)解：①当l的斜率为0时，l被圆截得的弦长为4，不符合题意；
②当l的斜率不为0时，设直线，
联立方程组，可得，
则，即，
且，，
又，则轴，因为MF平分，
所以，即，
可得
解得，所以直线l的方程为，
由l被圆截得的弦长为，
则圆心O到直线l的距离，
解得，满足，
所以直线l的方程为.
6．（2021·湖北·武汉市第六中学高三阶段练习）已知圆O：x2＋y2=2，过点A（1，1）的直线交圆O所得的弦长为，且与x轴的交点为双曲线E：=1的右焦点F（c，0）（c＞2），双曲线E的离心率为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)若直线y=kx＋m（k＜0，k≠﹣，m＞0）交y轴于点P，交x轴于点Q，交双曲线右支于点M，N两点，当满足关系时，求实数m的值．
【答案】(1)；(2)﹒
【分析】(1)设出直线的方程，用垂径定理求出其与圆相交的弦长，从而解得直线的方程，令其y为零，求与x轴的交点，再结合双曲线离心率即可求得双曲线方程；
(2)本题可设直线的参数方程，从而利用直线参数方程下的弦长公式，代入化简即可解出m的值﹒
(1)当过点A(1，1)的直线斜率不存在时，直线方程为x=1，
由弦长为2，不满足题意，故直线斜率存在，设斜率为n，
则过点A(1，1)的直线为y﹣1＝n(x﹣1)，
即为nx﹣y＋1﹣n＝0，
圆心O到直线的距离为，
由圆的弦长公式可得，
解得，由，解得n＝﹣2或．
则有直线为y﹣1＝﹣2(x﹣1)，令y＝0，则x＝1.5＜2舍去，
或直线y﹣1＝(x﹣1)，令y＝0，则x＝3＞2成立，
即有c＝3，
由离心率为，即有a＝2，．
则双曲线E的方程为；
(2)设直线y＝kx＋m(k＜0，，m＞0)的参数方程为(t为参数)，
则令y＝0，则有，(m＞0，sinα＞0)．
即有，
将参数方程代入双曲线的方程可得5t2cos2α﹣4(m＋tsinα)2﹣20＝0，
整理可得(5cos2α﹣4sin2α)﹣8mtsinα﹣4m2﹣20＝0，
则有，
由，以及M，N在P的下方，则可设|PM|＝﹣t1，|PN|＝﹣t2，
即有，
即有，
即有4m2＋20＝8m2，
由m＞0，解得．
【点睛】(1)圆的弦长的常用几何法求解：圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；
(2)直线与圆锥曲线的位置关系，一般要用到根与系数的关系，有时可以考虑使用直线的参数方程与圆锥曲线的方程联立，利用直线参数方程里面参数的几何意义来求弦长﹒
7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，直线过E的上顶点A和左焦点.
(1)求E的方程；
(2)设直线l与椭圆E相切，又与圆交于M，N两点（O为坐标原点），求面积的最大值，并求出此时直线l的方程.
【答案】(1)(2)，.
【分析】（1）根据已知的直线方程可以求出椭圆中的的值，从而确定椭圆方程
（2）设直线方程，与椭圆联立，根据直线与椭圆相切得到与的等量关系，写出面积的表达式，结合函数性质可以求出面积的最大值
(1)由题意，知直线，过椭圆E的上顶点A和左焦点.
所以，，所以，.
因为，所以，.
故所求椭圆E的方程为
(2)根据题意，设点，.
①当轴时，易知直线l与圆O相切，不满足题意；
②当与轴不垂直时，设直线l的方程为.
将代入椭圆E的方程，消去y，并整理得
，由题设条件，知
恒成立，
即.又圆的圆心到直线l的方程的距离，
所以，
所以
.令，则，
且有，
当时，函数单调递增，
所以，此时，所以，
所以直线l的方程.综上，所求面积的最大值为，
直线l的方程为.
一、单选题
1．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知直线，圆.则“”是“与相切”的（???????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离大于半径可得答案.
【详解】直线与圆相切，则或，
”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知圆上仅存在一个点到直线的距离为1，则实数a的值为（???????）
A．-2 B． C．-1 D．0
【答案】D
【分析】写出圆的标准形式确定圆心和半径，求圆心到直线距离并结合已知，判断与半径的关系求实数a.
【详解】由圆的标准方程为，则圆心为，半径为且，
又到的距离，
所以要使圆上仅有一点到直线距离为1，只需且，则.
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习（文））圆O：上点P到直线l：距离的最小值为（???????）
A． B．
C．2 D．0
【答案】B
【分析】根据圆与直线的位置关系，以及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】圆心到直线的距离设为，则，
又因为圆的半径，所以点P到直线l：距离的最小值为
故选：B
4．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先表示出四边形的面积，再求的最小值即可，又，转化为求的最小值，当垂直于直线时，利用点到直线距离即可求解.
【详解】
由题意得：圆，则圆心，半径，，如图，
易知，故要使四边形的面积最小，即最小，
又，最小时，最小，当垂直于直线时，最小，
此时，，故四边形的面积最小为.
故选：A.
二、多选题
5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知点在圆上，点，，则（???????）
A．点到直线的距离最大值为
B．满足的点有2个
C．过点作圆的两切线，切点分别为?，则直线的方程为
D．的最小值是
【答案】ABCD
【分析】对A，求出直线AB的方程，算出圆心到该直线的距离，进而通过圆的性质判断答案；
对B，设点，根据得到点P的轨迹方程，进而判断该轨迹与圆的交点个数即可；
对C，设，进而得到切线方程MB,NB，再根据点B在两条切线上求得答案；
对D，设，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，进而求出点P的轨迹方程，然后结合点P在圆O上求得答案.
【详解】对A，，则圆心到直线的距离，所以点P到该直线距离的最大值为.A正确；
对B，设点，则，且，由题意，
两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为，于是，即两圆相交，满足这样条件的点P有2个.B正确；
对C，设，则直线MB,NB分别为，因为点B在两条直线上，所以，于是都满足直线方程，即直线MN的方程为.C正确；
对D，即求的最小值，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，设，则有，化简得，∵，
则有，即，∴，，
所以，所以D正确.
故选：ABCD.
6．（2022·重庆·二模）已知点是圆上的任意一点，直线，则下列结论正确的是（???????）
A．直线与圆的位置关系只有相交和相切两种
B．圆的圆心到直线距离的最大值为
C．点到直线距离的最小值为
D．点可能在圆上
【答案】ACD
【分析】求出直线所过定点的坐标，判断点与圆的位置关系，可判断A选项；利用当直线与圆相切时，圆的圆心到直线距离最大可判断B选项；求出圆心到直线的距离，利用圆的几何性质可判断C选项；判断两圆的位置关系可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为直线的方程可化为．
令解得，所以直线过定点，
直线是过点的所有直线中除去直线外的所有直线，
圆心到直线的距离为，即直线与圆相交，
又点在圆上，所以直线与至少有一个公共点，
所以直线与圆的位置关系只有相交和相切两种，A正确；
对于B选项，当直线为圆的切线时，点到直线的距离最大，且最大值为，B错误；
对于C选项，因为圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线距离的最小值为，C正确；
对于D选项，圆的圆心为原点，半径为，
因为，所以，圆与圆内切，故点可能在圆上，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
7．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））过直线上动点P作圆的一条切线，切点为A，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为___________．
【答案】
【分析】将使得的点P有两个，转换为圆心到直线的距离的不等关系式求解即可
【详解】由题，使得的点P有两个，即使得的点P有两个，即圆心到直线的距离小于半径.又圆心到直线的距离，故，即，即
故答案为：
8．（2022·贵州遵义·三模（理））圆上点P到直线距离的最小值为__________．
【答案】
【分析】利用点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】圆的圆心为，半径为，
到直线的距离为，
所以圆上点P到直线距离的最小值为.
故答案为：
四、解答题
9．（2022·广东茂名·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线C交于A，B两点.
（1）求的面积；
（2）过抛物线C上一点Р作圆的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C交于异于点P的两点D，E.证明：直线DE与圆M相切.
【答案】（1）；（2）见解析.
【分析】（1）将直线方程和抛物线联立，整理得关于的一元二次方程，设，，通过韦达定理和弦长公式求出的值，再通过点到直线的距离公式求出点到的距离，进而求出面积；
（2）设为抛物线上的一点，则点坐标为，设过点的圆的切线方程为，通过圆心到直线的距离等于半径可得关于的一元二次方程，进而求出、的坐标，再根据圆心到直线的距离等于半径，得证直线DE与圆M相切.
【详解】
（1）联立，消去整理得：，
，
设，，
则，，
由题得：，
到直线的距离为，
；
（2）设为抛物线上的一点，设，
设过的圆的切线方程，
则由相切知圆心到切线距离即，
设切线解析式为：，切线解析式为：，
、为方程的两根，则，，
联立得：，
解得：，，
，
化简得：，
圆心到直线的距离，
直线与圆相切.
【点睛】思路点睛：（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形；
（3）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.
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