2021年山东省济南市中考数学真题及答案
满分150分，考试时间120分钟
一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分）
1. 9的算术平方根是
A. 3 B. -3 C. ±3 D.
2. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是
3. 2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆。火星具有和地球相近的环境，与地球最近的时候的距离约55 000 000 km，将数字55 000 000用科学计数法表示为
A. 0.55×108 B. 5.5×107 C. 5.5×106 D. 55×106
4. 如图，AB∥CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为
A. 45° B. 60° C. 75° D. 80°
5. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
6. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
7. 计算的结果是
A. B. C. D.
8. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”，“文明出行”，“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选在同一个宣传队的概率是
A. B. C. D.
9. 反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数的图象大致是
10. 无人机低空遥感技术已经广泛应用于农作物检测，如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行检测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为
（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）
A. 188m B. 269m C. 286m D. 312m
11. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，交AC于点D，连结BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点E，连结DE，则下列结论中不正确的是
A. BE=DE B. DE垂直平分线段AC
C. D. BD2=BC·BE
12. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（，）和点P''（，），若满足≥0时，；时，，则称点P''（，）是点P（，）的限变点。例如：点P1（2，5）的限变点是P''1（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P''2（-2，-3）。若点P（，）在二次函数的图象上，则当-1≤≤3时，其限变点P''的纵坐标的取值范围是
A. -2≤≤2 B. 1≤≤3 C. 1≤≤2 D. -2≤≤3
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
13. 因式分解：=________
14. 如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若飞镖随机投掷到圆面上，则飞镖落在黑色区域的概率是________
15. 如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上，
则∠PAE=________
16. 关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________
17. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用。小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（cm）是时间（min）的一次函数。下表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当为8cm时，对应的时间为________min
（min） … 1 2 3 5 … （cm） … 2.4 2.8 3.4 4 …
18. 如图，一个由8个正方形组成的“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为________
三、解答题（本题有9小题，共78分）
19.（本题6分）
计算：
20.（本题6分）
解不等式组： 并写出它的所有整数解。
21.（本题6分）
如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上的点，且∠ABE=∠CBF，
求证：DE=DF。
22.（本题8分）
为倡导绿色将康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动。志愿者随机抽取了社区50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
方便筷使用数量在5≤<15范围内的数据：
5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7。
不完整的统计图表：
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的=________；
（2）统计图中E组对应扇形的圆心角为________度；
（3）C组数据的众数是________；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是________；
（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民使用方便筷数量不少于15双的人数。
23.（本题8分）
如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连结CD，BC。
（1）求证：∠DAB=2∠ABC；
（2）若tan∠ADC=，BC=4，求⊙O的半径。
24.（本题10分）
端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，某超市节前购进了甲，乙两种畅销口味的粽子。已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍。
（1）求甲，乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种粽子共200个，若总金额不超过1120元，问：最多购进多少个甲种粽子？
25.（本题10分）
如图，直线与双曲线（）交于A，B两点，点A的坐标为（，-3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连结BC并延长交轴于点D，且BC=2CD。
（1）求的值，并直接写出点B的坐标；
（2）点G是轴上的动点，连结GB，GC，求GB+GC的最小值；
（3）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
26.（本题12分）
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，BD=BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为，连结DE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连结AF。
（1）如图1，当时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；
（2）当时，
①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当B，E，F三点共线时，连结AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由。
27.（本题12分）
抛物线过点A（-1，0）点B（3，0），顶点为C。
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线上，连结CP并延长交轴于点D，连结AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连结PE，作∠PEF=∠CAB，边EF交轴于点F，设点F的横坐标为，求的取值范围。
答案解析
一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分）
1-5 ACBBA
6-10 BBCDC
11-12 CD
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
13.
14.
15. 18°
16. -3
17.15
18.
三、解答题（本题有9小题，共78分）
19.
20.解：由①，≥， ≥-2③；
由②：， ，
∴原不等式组的解为 -2≤，其中整数解为-2，-1，0 。
21.
【解答过程】证明：连结BD，则∠3=∠4，∠ABD=∠CBD，
∵∠ABE=∠CBF，∴∠ABD-∠ABE =∠CBD -∠CBF，即∠1=∠2，
在△BED和△BFD中，∵∠1=∠2，BD=BD，∠3=∠4，∴△BED≌△BFD（ASA），
∴DE=DF。
22.（本题8分）
【解答过程】（1）样本容量是50人，由统计图得知D组人数占18%，可求出人；
（2）E组10人占样本容量50人的20%，所以所对扇形圆心角是360°×0.2=72°；
（3）C组出现最多的是12；
一共50个数据，如果把这些数据从小到大排列，那么中位数是第25和荻26这两个数的算术平均数，
由题中的数据，B组有9人，C组有7人，A，B两组共23人，那么该样本的中位数出现在C组的第二小和荻三小，这两个数都是10，所以整个样本的中位数是10；
（4）解：根据本样本，不少于15的有D组9人和E组10人，共19人 ，占38%，
以此估计该社区2000人中使用方便筷不少于15双的人数可能会达到
2000×38%=760人
答：所求人数可能有760人。
23.（本题8分）
【解答过程】（1）连结CO，则有∠3=∠B， ∠2=∠3+∠B=2∠B①；
∵CE是切线，点C是切点，∴OC⊥CE，
又∵DE⊥CE，∴DE∥OC，∴∠1=∠2，而∠2=2∠B①，∴∠1=2∠B，
即∠DAB=2∠ABC；
（2）在⊙O中，∠B=∠D（同圆中，同弧所对圆周角相等），则tan∠B=tan∠D=，
连结AC，因为AB是直径，所以∠ACB=90°，
则在Rt△ABC中，AC=BC·tan∠B=4×=2，
Rt△ABC中，AC=2，BC=4，∴AB=，∴AO= 。
24.（本题10分）
【解答过程】解：（1）设甲、乙两种粽子单价分别为元/个和元/个，
根据题意：，解这个方程，得，
检验知是所列方程的根，∴，
∴甲乙两种粽子单价分别是8元/个和4元/个；
（2）设加购甲种粽子个，如下表：
单价 数量 金额 甲 8 乙 4 合计 200 根据题意：≤1120， ≤80，
另一方面：0≤≤200，0≤≤200，≥0，∴0≤≤80，
∴甲种粽子最多加购80个。
25.（本题10分）
【解答过程】解：（1）∵点A（，-3）在直线上，
∴，，
将A（-2，-3）代入双曲线，求得，
∴所求反比例函数为；
点A（-2，-3）关于原点的对称点为B（2，3）；
（2）分别作点B和点C到轴的垂线段BM，CN，则△CDN∽△BDM，
∵BC=2CD，∴CD=BD，则CN=BM，
而B（2，3），∴BM=3，∴CN=1，即点C的纵坐标为1，
∵点C在双曲线上，且纵坐标为1，∴点C横坐标为6，C（6，1）；
作点C关于轴的对称点C1，则C1（-6，1），
连结C1G，则有C1G=CG，当点G在直线C1B上时，C1G+GB最短，也就是GC+GB最短；
分别作点C1到BM的垂线段CH，则H（2，1），C1H=8，BH=2，
在Rt△C1BH中，C1H=8，BH=2，∴C1B=，
∴GB+GC的最小值为；
（3）如图2，设四边形ABPQ是矩形，因为点B在第一象限，且BP⊥AB，所以点P只能在轴正半轴或轴正半轴上，
当点P在轴正半轴上时，如图，△OBM∽△OPB，
则OB2=OM·OP，
∵B（2，3），∴OM=2，BM=3，
OB2=OM2+BM2=13，∴OP=，
∴P1（，0）；
同样的，当点P在轴正半轴上时，可求得其坐标为（0，），
∴，所求点P为P1（，0），P2（0，） 。
26.（本题12分）
【解答过程】（1）将线段AF沿线段FE方向平移到A1E，如图1，
等腰直角三角形A1BE中，BE=A1E， ∴BE=AF；
（2）如图2，在等腰直角三角形ABC和FEC中，
BC=AC，EC=FC，∴，
∵∠ACB=45°=∠FCE，
∴∠1=∠ACB-∠ACF=∠FCE-∠ACF=∠2，
①在△BCE和△ACF中，∵，∠1=∠2，∴△BCE∽△ACF，
∴，∴BE=AF；
②当B，E，F共线时，四边形AECF是平行四边形。
如图3，取BC中点G，连结EG，则DG=DC，
∵BD=BC，∴BD=DG，
△BGE中，DE是BG边上的中线，且DE=BD=DG，∴∠BEG=90°，
∵EG⊥BF，FC⊥BF，EG∥FC，∴，∴BE=2EF=2FC，
由①：BE=AF，∴AF =FC ；
直角等腰三角形EFC中，EC=FC，∴AF=EC ③；
∵△BCE∽△ACF，∴∠3=∠4，而∠1=∠2，∴∠4+∠2=∠3+∠1=∠5=45°，
而∠ACE+∠2=∠FCE=45°， ∴∠FCE=∠4，∴AF∥EC ，
∵AF∥EC ，且AF=EC ③，∴四边形AECF是平行四边形。
27.（本题12分）
【解答过程】（1）因为抛物线与轴交于点A（-1，0）和B（3，0），
所以函数可改写为，则，，
∴所求函数为，或者，∴C（1，4）；
（2）作CH⊥轴，点H为垂足，则H（1，0），原点O恰为AH的中点， 如图1，
则AC与轴的交点G也恰好为AC的中点，则G（0，2）；
连结DG， △DAC中，∵DC=DA，G是AC中点，
∴DG⊥AG，∴在Rt△ADG中，GO2=AO·DO，
而AO=1，GO=2，∴DO=4，则D（4，0）；
求得过C（1，4），D（4，0）两点的直线为，
解方程组，得点P坐标为P（，）；
（3）过点P作轴的平行线，交AC于点E0，过E0作CD的平行线交轴于点F0，
则△AE0F0∽△ACD，如图3，
作E0到轴的垂线段E0M，∵E0P∥轴，且点P（，），∴E0M=，
∵△AE0F0∽△ACD，∴，而AD=5，E0M=，CH=4，
∴AF0=，则OF0=AF0-AO==， ∴F0（，0）；
我们假设是E从点A的位置沿AC开始向上攀爬，
当E在点A位置时，F与A重合，此时点F的位置是（-1，0）；
当点E在AC上，并且非常靠近点A的位置的时候，点F在线段AF0上非常靠近点A的位置，也就是说：在F（，0）中，有；
当点E继续往上攀爬，在还没有到达E0位置时，点F始终在点A和点F0之间，
直到点E到达E0时，F也到达F0位置，此时，，如图4；
如图5，当点E越过E0位置继续向上时，点F又返回到点F0左侧，
直到点E从点C的下方非常靠近点C的时候，点F也从点A的右侧靠近A，
也就是此时还是有；
当点E到达C的位置时，点F又与点A重合，此时，点F的位置是（-1，0）；
因为点E不在线段AC两端点的位置，所以的取值范围是≤。
学科网（北京）股份有限公司
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