2023届安徽省江淮十校高三三模
数学试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则集合的元素个数为（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（????）
A． B． C． D．
3．已知，为实数，则使得“”成立的一个充分不必要条件为（????）
A． B．
C． D．
4．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（???）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（）
A．20 B．21 C．22 D．23
5．哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段和两个圆弧、围成，其中一个圆弧的圆心为，另一个圆弧的圆心为，圆与线段及两个圆弧均相切，若，则（????）
A． B． C． D．
6．将函数的图像向左平移个单位后的函数图像关于轴对称，则实数的最小值为（????）
A． B． C． D．
7．若的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对共有（????）组不同的解
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知为坐标原点，椭圆：，平行四边形的三个顶点A，，在椭圆上，若直线和的斜率乘积为，四边形的面积为，则椭圆的方程为（????）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的有（????）
A．空间中两两相交的三条直线一定共面
B．已知不重合的两个平面，，则存在直线，，使得，为异面直线
C．过平面外一定点，有且只有一个平面与平行
D．已知空间中有两个角，，若直线直线，直线直线，则或
10．学校北园食堂老麻抄手窗口又推出了酸辣粉、米粉等新品．小明同学决定每隔9天去老麻抄手窗口消费一次，连续去了5次，他发现这5次的日期中没有星期天，则小明同学在这5次中第一次去北园食堂可能是（????）
A．星期一 B．星期三
C．星期五 D．星期六
11．某项科学素养测试规则为：系统随机抽取5道测试题目，规定：要求答题者达到等级评定要求或答完5道题方能结束测试．若答题者连续做对4道，则系统立即结束测试，并评定能力等级为；若连续做错3道题目，则系统自动终止测试，评定能力等级为；其它情形评定能力等级为．已知小华同学做对每道题的概率均为，且他每道题是否答对相互独立，则以下说法正确的是（????）
A．小华能力等级评定为的概率为
B．小华能力等级评定为的概率为
C．小华只做了4道题目的概率为
D．小华做完5道题目的概率为
12．已知函数，则下列说法正确的有（????）
A．，函数是奇函数
B．，使得过原点至少可以作的一条切线
C．，方程一定有实根
D．，使得方程有实根
三、填空题
13．已知复数满足（是虚数单位），则的最大值为__________
14．是公差不为零的等差数列，前项和为，若，，，成等比数列，则________．
15．函数的值域为____．
16．若函数与函数的图像恰有三个不同交点，且交点的横坐标构成等差数列，则实数的取值范围是________．
四、解答题
17．在中，内角A、、所对的边分别为、、，已知．
(1)求角A的大小；
(2)点为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围．
18．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．下图是2018-2022年移动物联网连接数与年份代码的散点图，其中年份2018-2022对应的分别为1~5．
(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到），并推断它们的相关程度；
(2)求关于的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
附：样本相关系数，，，
19．已知平行六面体中，底面和侧面都是边长为2的菱形，平面平面，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求二面角的余弦值．
20．设数列的前项和为，且，．
(1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)设，证明：．
21．已知点，动点在直线：上，过点且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的标准方程；
(2)过的直线与曲线交于A，两点，直线，与圆的另一个交点分别为，，求与面积之比的最大值．
22．对于定义在上的函数，若存在，使得，则称为的一个不动点．设函数，已知为函数的不动点．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，且对任意满足条件的成立，求整数的最大值．
（参考数据：，，，，）
2023届安徽省江淮十校高三三模
数学试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则集合的元素个数为（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
求出函数与的交点坐标，即可判断.
由，消去得，即，
解得或（舍去），
所以或，
即方程组的解为或，
即函数与有两个交点，
又集合，集合，
所以
即集合的元素个数为个.
故选：B
2．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可.
由题意可得：直线的斜率，即直线的倾斜角为.
故选：A
3．已知，为实数，则使得“”成立的一个充分不必要条件为（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
根据“充分必要条件”的定义逐项分析.
对于A，如果 ，例如 ，则 ，不能推出 ，如果 ，则必定有 ，既不是充分条件也不是必要条件，错误；
对于B，如果 ，根据对数函数的单调性可知 ，但不能推出 ，例如 ，不是充分条件，
如果 ，则 ，是必要条件，即 是 的必要不充分条件，错误；
对于C，如果 ，因为 是单调递增的函数，所以 ，不能推出 ，例如 ，
如果 ，则必有 ，是必要不充分条件，错误；
对于D，如果 ，则必有 ，是充分条件，如果 ，例如 ，则不能推出 ，所以是充分不必有条件，正确.
故选：D.
4．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（???）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】D
根据题意可列出方程，求解即可，
设经过天“进步“的值是“退步”的值的10000倍,
则，
即，
,
故选：D．
5．哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段和两个圆弧、围成，其中一个圆弧的圆心为，另一个圆弧的圆心为，圆与线段及两个圆弧均相切，若，则（????）
A． B． C． D．
【答案】A
构造直角三角形，勾股定理求圆O的半径，得到，余弦定理求，利用向量数量积公式求.
若，则圆弧、的半径为2，设圆O的半径为，则，过O作，则，，
中，，即，解得，则有，
中，由余弦定理得，
．
故选：A.
6．将函数的图像向左平移个单位后的函数图像关于轴对称，则实数的最小值为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由平移变换写出的表达式，再由对称性求得，从而可得最小值．
，将函数图像向左平行移动个单位后的函数记为，则，而函数的图像关于轴对称有，，，()，，实数的最小值为．
故选：C．
7．若的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对共有（????）组不同的解
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
根据二项式系数的性质求解.
根据二项式系数的性质知：由第6项的二项式系数最大知的可能取值为9，10，11，
又由题得：令x=1，有，当，11时，；当时，或，
故有序实数对共有4组不同的解，分别为 .
故选：D.
8．已知为坐标原点，椭圆：，平行四边形的三个顶点A，，在椭圆上，若直线和的斜率乘积为，四边形的面积为，则椭圆的方程为（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
利用三角换元设，，代入椭圆方程可得，再根据三角形面积的向量公式及斜率之积计算即可.
先证三角形面积公式的向量形式：在中，，
则 ，而
设，，由题意可知;，
所以，
将坐标代入椭圆方程有
，
则
所以四边形的面积为，
即，又根据和的斜率乘积为知，
所以，解之得：，．
故选：B
二、多选题
9．下列命题正确的有（????）
A．空间中两两相交的三条直线一定共面
B．已知不重合的两个平面，，则存在直线，，使得，为异面直线
C．过平面外一定点，有且只有一个平面与平行
D．已知空间中有两个角，，若直线直线，直线直线，则或
【答案】BC
利用平面性质判断选项A；利用两平面位置关系和异面直线定义判断选项B；利用线面垂直的性质判断选项C；举反例否定选项D.
选项A：空间中两两相交的三条直线可以共面也可以不共面.判断错误；
选项B：已知不重合的两个平面，，则，或，相交，
两种情况均存在直线，，使得，为异面直线.判断正确；
选项C：过平面外一定点，有且只有一条直线m与平面垂直，
过点有且只有一个平面与直线m垂直，则.
则过平面外一定点，有且只有一个平面与平行. 判断正确；
选项D：在如图正方体中，直线直线，直线直线，
由，可得，
且.判断错误.
故选：BC
10．学校北园食堂老麻抄手窗口又推出了酸辣粉、米粉等新品．小明同学决定每隔9天去老麻抄手窗口消费一次，连续去了5次，他发现这5次的日期中没有星期天，则小明同学在这5次中第一次去北园食堂可能是（????）
A．星期一 B．星期三
C．星期五 D．星期六
【答案】BD
依题意每隔天去一次，即每次都是在上一次的星期数往后数三天，一一列举即可判断.
若第一次是星期一，则第二次是星期四，第三次是星期日，不符合题意，故A错误；
若第一次是星期三，则第二次是星期六，第三次是星期二，第四次是星期五，第五次是星期一，符合题意，故B正确；
若第一次是星期五，则第二次是星期一，第三次是星期四，第四次是星期日，不符合题意，故C错误；
若第一次是星期六，则第二次是星期二，第三次是星期五，第四次是星期一，第五次是星期四，符合题意，故D正确；
故选：BD
11．某项科学素养测试规则为：系统随机抽取5道测试题目，规定：要求答题者达到等级评定要求或答完5道题方能结束测试．若答题者连续做对4道，则系统立即结束测试，并评定能力等级为；若连续做错3道题目，则系统自动终止测试，评定能力等级为；其它情形评定能力等级为．已知小华同学做对每道题的概率均为，且他每道题是否答对相互独立，则以下说法正确的是（????）
A．小华能力等级评定为的概率为
B．小华能力等级评定为的概率为
C．小华只做了4道题目的概率为
D．小华做完5道题目的概率为
【答案】ABC
利用独立事件的概率和对立事件的概率可求四个选项，根据结果判断正误.
小华能力等级评定为，则需要连续做对4道题，所以，A正确；
小华能力等级评定为，则他连续做错3道题目，有四种情况，
所以．
由题意小华能力等级评定为的概率为，B正确；
小华只做了4道题目有两种情况，一是4道题全对，二是第1题对了，后续3道题目全错，其概率为，C正确；
小华做完3道题目结束测试的概率为，
小华做完5道题目的概率为，D不正确．
故选：ABC.
12．已知函数，则下列说法正确的有（????）
A．，函数是奇函数
B．，使得过原点至少可以作的一条切线
C．，方程一定有实根
D．，使得方程有实根
【答案】AD
选项A，由奇函数的定义判断；选项B，通过联立方程组判断切线是否存在；选项C，由正弦函数的有界性判断方程的解；选项D，特殊值法判断存在性.
函数，定义域，且，函数是奇函数，A选项正确；
设直线，联立方程：，得，，直线不可能是的一条切线， B选项错误；
若，，则，得，
即，由的有界性，显然不一定有解，C选项错误；
当，，显然存在，，使方程有解，D选项正确.
故选：AD
三、填空题
13．已知复数满足（是虚数单位），则的最大值为__________
【答案】/
根据复数的几何意义有，复数对应的点到点的距离为1，即点的轨迹为以为圆心，半径的圆，从而即可求解.
解：因为复数满足，
所以根据复数的几何意义有，复数对应的点到点的距离为1，即点的轨迹为以为圆心，半径的圆，
所以的最大值为，
故答案为：.
14．是公差不为零的等差数列，前项和为，若，，，成等比数列，则________．
【答案】1012
利用等差中项及等比中项，结合等差数列的通项公式及前项和公式即可求解.
设等差数列的首项为，公差为，则
因为，
所以，即，解得.
因为，，成等比数列，
所以，即，解得或（舍），
所以，解得，
所以，
所以.
故答案为：.
15．函数的值域为____．
【答案】
利用换元法和二次函数性质即可求得的值域.
令，则，
则的值域转化为，的值域，
，则，
则的值域为，则函数的值域为.
故答案为：
16．若函数与函数的图像恰有三个不同交点，且交点的横坐标构成等差数列，则实数的取值范围是________．
【答案】
依题意，函数有三个不同的零点，则有两个不同的实数根，三个不同的零点构成等差数列，则三次函数的对称中心在轴上，根据不等式求实数的取值范围.
函数与函数的图像三个不同交点，
等价于函数有三个不同的零点，即的图像与轴有三个交点，
由，故必有方程有两个不同的实数根，
则，，
三次函数的图像是中心对称图形，由的图像与轴三个不同交点的横坐标构成等差数列，则的图像的对称中心一定在轴上，
，令，令得，
则函数图像的对称中心横坐标为，当时符合题意，
，化简整理即有，
故，且
所以实数的取值范围是．
故答案为：
四、解答题
17．在中，内角A、、所对的边分别为、、，已知．
(1)求角A的大小；
(2)点为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等变换化简即可；
（2）利用正弦定理将线段比值转化为关于C的三角函数值计算范围即可.
（1）由，结合正弦定理可得：
因为，所以即，
所以，而，所以；
（2）
由知:，所以，即????
在中，有，，
由正弦定理可得：???
所以
由可得，所以.
18．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．下图是2018-2022年移动物联网连接数与年份代码的散点图，其中年份2018-2022对应的分别为1~5．
(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到），并推断它们的相关程度；
(2)求关于的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
附：样本相关系数，，，
【答案】(1)0.98，两个变量具有很强的线性相关性
(2)，2024年移动物联网连接数亿户．
（1）由散点图可判断是否线性相关，再根据已知数据计算相关系数即可；
（2）由数据计算回归方程，并由方程计算预测即可.
（1）由图可知，两个变量线性相关．
由已知条件可得：，，
所以，???
，，
所以相关系数，
因此，两个变量具有很强的线性相关性．
（2）结合（1）可知，，???
所以回归方程是：，????
当时，有，即预测2024年移动物联网连接数为亿户．
19．已知平行六面体中，底面和侧面都是边长为2的菱形，平面平面，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
连接，作于．
因为是菱形，所以，
又因为，，面，
所以面，而面，所以，
又平面平面，平面平面，所以面，
又因为面ABCD，所以.
、相交，且、面，
所以面，面，所以，
而为菱形， 所以四边形是正方形．
（2）在时，易知为的中点，如图以H为中心，建立空间直角坐标系
则，，，，，
，，
设平面的一个法向量，则，即，
令，则，故???
设平面的一个法向量，则，即令，则，解得，????
则???
又因为为锐二面角，所以的余弦值为．
20．设数列的前项和为，且，．
(1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)设，证明：．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
（1）根据，作差得到，即可得到，从而得证，即可求出的通项公式；
（2）由（1）可得，方法一：令，则，即可得证；
方法二：利用放缩法得到，再累乘即可得证.
（1）因为，
当时，解得，
当时，
相减得，所以，
所以是以首项为6，公比为3的等比数列，
即，所以.
（2）由（1）可得，
即证：
方法一：令．
则，
因为，所以，
所以单调递增，即，
即．
方法二：放缩法：，
所以，，，，
相乘得
即
21．已知点，动点在直线：上，过点且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的标准方程；
(2)过的直线与曲线交于A，两点，直线，与圆的另一个交点分别为，，求与面积之比的最大值．
【答案】(1)
(2)
（1）利用抛物线定义即可求得曲线的标准方程；
（2）先求得的表达式，再利用均值定理即可求得其最大值.
（1）过点且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，
则，则点到直线和定点距离相等，
则的轨迹为以为焦点以直线为准线的抛物线，
则曲线的方程为：
（2）设A，，，坐标分别为，，，，
因为????
令直线：，，：，，
由得：，
由得：
所以????
令：，与联立得：，
所以，，，则
所以，代入得：???
又因为，
所以，当且仅当，时取等号
所以与面积之比的最大值为
22．对于定义在上的函数，若存在，使得，则称为的一个不动点．设函数，已知为函数的不动点．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，且对任意满足条件的成立，求整数的最大值．
（参考数据：，，，，）
【答案】(1)；
(2)2.
（1）根据给定的不动点定义，构造函数，利用导数结合零点存在性定理探讨函数在上的零点作答.
（2）由（1）可得，结合给定条件确定出k值2，再利用导数讲明不等式作答.
（1）依题意，方程在内有根，且，
令，，求导得，
当时，在，上都递增，而，因此函数在、无零点，
当时，令，，，则函数在，上都递增，
当时，当时，，函数在上递增，无零点，
当时，，则存在，使得，即，
当时，递减，在时，递增，
，而，有，
，
因此存在，使得，即函数在上有零点，则，
当时，当时，，函数在上递减，，无零点，
当时，，则存在，使得，即，
当时，递减，在时，递增，，
，令，求导得，
令，则，即函数在上单调递增，
，函数在上单调递增，
因此存在，使得，即函数在上有零点，则，
所以实数的取值范围是.
（2）依题意，，于是，即
因为，取，有，因此取2，
下证：对任意成立，令，
，当时，递增，当时，递减，
，即对恒成立，当时，，
令，，函数在上递增，，
即，从而成立，
当时，只需证：成立，
令，，只需证，
，令，
，显然在上递增，
，，即存在，使，
且当时，递减，当时，递增，
，整理得，
因为函数在递减，
所以，
所以在恒成立，即在递增，
显然，所以成立.
思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
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