厦门市2023届高三毕业班第四次质量检测
数 学 试 题
满分:150分 考试时间:120分钟
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将答题卡交回.
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.全集,能表示集合和关系的Venn图是( )
A. B.
C. D.
2.等差数列的前项和为,,则( )
A. 9 B. C. 12 D.
3.平面上的三个力,,作用于同一点,且处于平衡状态.已知,,则( )
A. B. 1 C. D. 2
4.如图中阴影部分是一个美丽的螺旋线型图案,其画法是:取正六边形各边的三等分点,,,,,,作第2个正六边形,然后再取正六边形各边的三等分点,、、,,,作第3个正六边形,依此方法,如果这个作图过程可以一直继续下去,由,,...构成如图阴影部分所示的螺旋线型图案,则该螺旋线型图案的面积与正六边形的面积的比值趋近于( )
A. B. C. D.
5.已知,则( )
A.0 B. C. D.
6.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技能比赛,决出第1名到第5名的名次,甲和乙去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你没有得到冠军”,对乙说:“你不是最后一名”,从这两个回答分析,5人名次的不同排列情况共有( )
A.72种 B.78种 C. 96种 D.102种
7.函数定义域均为,且,.若为偶函数,,则( )
A. 10 B. 13 C. 14 D. 39
8.一封闭圆台上、下底面半径分别为1,4,母线长为6.该圆台内有一个球,则这个球表面积的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.
9.已知函数,则( )
A. 曲线关于轴对称 B.曲线关于原点对称
C. 在上单调递减 D. 在上单调递增
10.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻的经常性有影响,随机抽取了300名学生,对他们是否经常锻炼的情况进行了调查,调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍,绘制其等高堆积条形图,如图所示,则( )
A.参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
B.从参与调查的学生中任取一人,已知该生为女生,则该生经常锻炼的概率为
C.依据的独立性检验,认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性,该推断犯错误的概率不超过0.1
D.假设调查人数为600人,经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变,统计得到的等高堆积条形图也不变,依据的独立性检验,认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性,该推断犯错误的概率不超过0.05
附:,
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
11.在四面体中,,,,同时平行于的平面分别与棱交于四点,则( )
A. B.
C.四边形的周长为定值 D.四边形的面积最大值是3
12.抛物线:,是上的点,直线与交于两点,过的焦点作的垂线,垂足为,则( )
A.的最小值为1 B. 的最小值为1
C. 为钝角 D.若,直线与的斜率之积为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
13.若,则____________.
14.写出同时满足下列条件的一条直线的方程_______________.
①直线在轴上的截距为;
②直线与双曲线只有一个公共点.
15.已知,将图象向左平移个单位后得到的图象,若与的图象关于轴对称,则_____________.
16.函数,当时,的零点个数为_____________;若恰有4个零点,则的取值范围是______________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
记的内角的对边分别为,已知.
(1)求;
(2)若,是上一点,为角的平分线,求.
18.(12分)
数列中,,记,是公差为1的等差数列.
(1)求的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
19.(12分)
如图,在中,,,是的中点,在上,,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且二面角的大小为60°.
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
20.(12分)
已知分别为椭圆的上顶点和右顶点,,为的左焦点,.
(1)求的方程;
(2)设直线与的另一个交点分别为,.为坐标原点,判断面积是否可能大于1,并说明理由.
21.(12分)
甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛,比赛分三轮,每轮两场比赛,具体赛程如下表:
第一轮
甲VS乙
丙VS丁
第二轮
甲VS丙
乙VS丁
第三轮
甲VS丁
乙VS丙
规定:每场比赛获胜的球队记3分,输的球队记0分,平局两队各记1分,三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名,排名前两位的球队出线.假设甲、乙、丙三支球队水平相当,彼此间胜、负、平的概率均为,丁的水平较弱,面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为,,.每场比赛结果相互独立.
(1)求丁的总分为7分的概率;判断此时丁能否出线,并说明理由;
(2)若第一轮比赛结束,甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3,0,3,0,求丁以6分的成绩出线的概率.
22.(12分)
已知函数.
(1)若,求的极值;
(2)若有三个极值点,,,,且,求的最小值.
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数学参考答案
一、选择题:
1-4:DACB 5-8:ABCA
二、多选题:
9. AD 10. ABD 11. ACD 12. ACD
8. 提示:圆台得高,将圆台补成圆锥,由相似比1:4知轴截面是边长为8的等边三角形,此时该圆锥内切球半径,此时,所以该球半径最大时,对应情形为:与下底面和侧面相切,不与上底面相切,其表面积为.
12. 提示:A.设所以,因为,所以,A正确;
B. 设,所以点轨迹为,设,
设,,又因为
,所以,B错误;
C. 设,又因为,所以,
,所以,又因为
所以为钝角,C正确(或者由)
D. 设,因为,所以,
所以,
所以
所以
所以,又因为,
所以,即,即,D正确.
三、填空题:
13. 0
14.(写出其中一条直线方程)
15.
16. 1;
16.提示:第一空:当时,当时,,解得;
当时,,无零点,
故此时的零点个数是1;
第二空:显然,至多有2个零点,故在上至少有2个零点,所以;
①
若恰有2个零点,则,此时恰有两个零点,所以,解得,
此时;
②
若恰有3个零点,则,此时,所以恰有1个零点,符合要求;
③当时,,所以恰有1个零点,
而至少有4个零点,
此时至少有5个零点,不符合要求,舍去.
综上,或.
四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换等基础知识:考查运算求解、推理论证能力:考查数形结合、化归与转化思想等。本题满分10分
解:(1)由题意得
所以
即
所以
因为,所以,所以,所以
(2)中,,,
所以,所以,
又因为为角的平分线,
所以
所以.
18. 本题考查数列递推关系、数列通项,数列求和等基础知识;考查运算求解、推理论证能力:考查函数与方程思想、化归与转化思想等。本题满分12分.
解:(1)当时,
所以
所以
当时,
所以
又符合
所以
(2)由(1)得
所以 ①
所以 ②
①-②得
所以.
19. 本题考查直线与平面的位置关系、空间角、空间向量等基础知识:考查空间想象、运算求解、推理论证能力:考查数形结合思想、化归与转化思想等。本题满分12分.
解:(1)依题,所以平面,
则为二面角的平面角,即,
因为,所以为等边三角形,
取中点,连接,,,则,
因为,所以,
又,所以平面,
又平面,
所以;
(2)因为,
所以面,从而
因为,所以,所以,
所以两两垂直,
以为原点,以的方向分别为轴的正方向,
建立空间坐标系,如图所示:
则,
所以,,
设平面的法向量,则
,所以,
令,则平面的一个法向量,
设直线与平面所成角为,
则,
则直线与平面所成角的正弦值为.
20. 本题考查椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识:考查运算求解、逻辑思维能力:考查数形结合思想、化归与转化思想等。本题满分12分.
解:(1)依题,,结合
得,所以;
(2)的面积不可能大于1,理由如下:
依题设直线,
设,
由,得,所以,
从而
由,得,所以,
从而,
记面积为,,
则
所以,
所以的面积不可能大于1.
21. 本题考查相互独立事件的概率等基础知识:考查推理论证能力、运算求解能力:考查分类与整合、概率统计等思想。本题满分12分.
解:(1)记第轮比赛丁胜、平、负的事件分别为,每场比赛结果相互独立.
丁总分为7分,则丁三场比赛两胜一平,记丁三轮比赛两胜一平的事件为,
丁总分7分一定出线
理由如下:丁三场比赛中赢两场,这两场丁的对手比分最多6分.
小组赛两队出线,所以丁一定出线.
(2)第一轮比赛,甲胜乙,丙胜丁,又丁总分为6分,则丁对战甲、乙都获胜,此时,乙队总分最多3分,少于丁队总分,
①第二轮中若甲负于丙或平丙时,甲总分最多4分,少于丁队总分,此时甲、乙两队少于丁队总分,丁一定出线,其相应的概率
②第二轮中若甲胜丙、第三轮中丙平乙或负于乙时,丙总分最多4分,此时丙、乙两队少于丁队总分,丁一定出线,其相应的概率
③第二轮中若甲胜丙时、第三轮中丙胜乙时,甲、丁、丙队总分均为6分,此时由抽签确定出线,三队中有两队出线,每队出线概率为,
丁队出线的概率
综上,丁以6分出线的概率为.
22. 本题考查函数及用导数研究函数的单调性、极值、最值等基础知识:考查运算求解、逻辑思维能力:考查分类与整合、化归与转化等数学思想.本题满分12分.
解:(1)依题意,时,
所以,
记,则,
当时,,单调递减;当时,,单调递增;
所以,当且仅当取等号,即,
所以变化情况如下:
1
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
所以的极小值为,无极大值.
(2),
①当时,由(1)可知,,当且仅当取等号,
所以当时,,
所以当时,,单调递减,
当时,,单调递增;
所以有三个极值点,舍去.
②当时,
记,
所以当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
,
由零点存在性定理知存在唯一,使得,即,
由(1)有,所以当时,有,所以,
取,则,
由零点存在性定理知存在唯一,使得
由以上推理知,且有
当或时,;当时,,
所以变化情况如下:
1
-
0
+
0
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以有三个极值点(其中)
此时,两式相除得①
设,②
由①②可得,所以,
记
则
设,则
所以,从而,
所以在上单调递减,又因为,
即,所以
此时,记,
由(1)有,所以当时有,,所以
所以,在单调递减,
所以,故
此时,记,,
所以,
故的最小值为
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