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| 浙江省金华市东阳市2023届高三下学期5月模拟数学试题（含答案） |
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东阳市2023年5月高三模拟考试
考生须知：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.考生答题前，务必将自己的姓名?准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡上.
3.选择题的答案须用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.
4.非选择题的答案用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效.
5.参考公式：
若事件互斥，则
若事件相互独立，则
若事件在一次试验中发生的概率是，
则次独立重复试验中事件恰好发生次的概率
台体的体积公式
其中分别表示台体的上?下底面积，表示台体的高
柱体的体积公式
其中表示柱体的底面积，表示柱体的高
锥体的体积公式
其中表示锥体的底面积，表示锥体的高
球的表面积公式
球的体积公式
其中表示球的半径
选择题（共60分）
一?单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若复数满足.则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为实数集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知平面向量，则（ ）
A. B.
C.与的夹角为钝角 D. 在上的投影向量的模为
4.如图位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早?规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一个正四棱锥，已知正四棱锥的高为，其侧棱与底面的夹角为，则该正四棱锥的体积约为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数，集合中恰有3个元素，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.某市举行一环保知识竞赛活动.竞赛共有“生态环境”和“自然环境”两类题，每类各5题.其中每答对1题“生态环境”题得10分，答错得0分；每答对1题“自然环境”题得20分，答错扣5分.已知小明同学“生态环境”题中有3题会作答，而答对各个“自然环境”题的概率均为.若小明同学在“生态环境”题中抽1题，在“自然环境”题中抽3题作答，每个题抽后不放回.则他在这次竞赛中得分在10分以下（含10分）的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆为椭圆的右焦点，曲线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知直角梯形，点在边上.将沿折成锐二面角，点均在球的表面上，当直线和平面所成角的正弦值为时，球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.已知为圆的直径，直线与轴交于点，则（ ）
A.与恒有公共点
B.是钝角三角形
C.的面积的最大值为1
D.被截得的弦的长度的最小值为
11.已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，，又，则（ ）
A.为偶函数 B. 的图象关于点中心对称
C.是奇函数 D.
12.如图，已知是抛物线的焦点，过点和点分别作两条斜率互为相反数的直线，交抛物线于四点，且线段相交于点，则下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
非选择题（共90分）
三?填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为__________.
14.数学王子高斯在小时候计算时，他是这样计算的：，共有50组，故和为5050，事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数图象关于对称，，则__________.
15.已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是__________.
16.对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.
四?解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.）
17.已知数列的前项和，且.数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，求数列的前100项的和.
18.在中，内角的对边分别为，且
（1）求；
（2）若，求线段长的最大值.
19.在四棱锥中，面面，，是线段上的靠近点的三等分点.
（1）求证：面；
（2）若面和面的夹角为，求线段的长.
20.某市阅读研究小组为了解该城市中学生阅读与语文成绩的关系，在参加市中学生语文综合能力竞赛的各校学生中随机抽取了500人进行调查，并按学生成绩是否高于75分（满分100分）及周平均阅读时间是否少于10小时，将调查结果整理成列联表.现统计出成绩不低于75分的样本占样本总数的，周平均阅读时间少于10小时的人数占样本总数的一半，而不低于75分且周平均阅读时间不少于10小时的样本有100人.
周平均阅读时间
少于10小时
周平均阅读时间
不少于10小时
合计
75分以下
不低于75分
100
合计
500
（1）根据所给数据，求出表格中和的值，并分析能否有以上的把握认为语文成绩与阅读时间是否有关；
（2）先从成绩不低于75分的样本中按周平均阅读时间是否少于10小时分层抽样抽取9人进一步做问卷调查，然后从这9人中再随机抽取3人进行访谈，记抽取3人中周平均阅读时间不少于10小时的人数为，求的分布列与均值.
参考公式及数据：.
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
21.已知双曲线的方程为：，左右焦点分别为是线段的中点，过点作斜率为的直线与双曲线的左支交于两点，连结与双曲线的右支分别交于两点.
（1）设直线的斜率为，求的取值范围.
（2）求证：直线过定点，并求出定点坐标.
22.已知函数.
（1）对任意，方程恒有三个解，求实数的取值范围；
（2）已知，方程有三个解为，且，求证：.
东阳市2023年5月高三模拟考试
数学参考答案及评分标准
一?单项选择题：
1-8CCDBDBAD
二?多项选择题：
9.ABD 10.ABD 11.AD 12.ABC
三?填空题：
13.-84 14. 15. 16. .
四?解答题：
17.解：
所以两式相减得：
又因为，所以：，满足上式.
所以：
是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，即.
，所以
即.
18.解：由余弦定理得：
.
令
.
当且仅当时取等号.
.
解法二：
设外接圆的半径为.则.
当过圆心时，的长取得最大值.
作，因为，所以，所以
19.解法一：由勾股定理可得：，因为，又
所以，所以
易得：.所以
所以
又，所以面.
取的中点，连结，交于点，因为，
所以垂直平面，过作垂直于点，
连结就是二面角的平面角，即
，利用直角可得.
解法二：因为面面，在平面内作，
则面，如图以点为原点建立空间直角坐标系，
则
设，因为，所以：
所以：.所以，
又
所以：，所以：
所以面.
（2）因为
所以平面的法向量为：
面的法向量为：
所以：，所以
所以：
20.解：（1）根据已知条件填表如下：
周平均阅读时间少于
10小时
周平均阅读时间不少
于10小时
合计
75分以下
200
150
350
不低于75分
50
100
150
合计
250
250
500
所以
由表知：，
所以有的把握认为语文成绩与阅读时间有关.
（2）依题意，成绩不低于75分的学生中周平均阅读时间少于10小时和不少于10小时的人数比是1：2，按分层抽样抽取9人，则周平均阅读时间少于10小时有3人，不少于10小时的有6人，从这9人中再随机抽取3人进行访谈，则可能的取值为
，
.
.
21.解：设直线的方程为：和双曲线方程联立消去可得：
设.
由可得：或
直线的方程为：和双曲线方程联立消去可得：
所以：
所以：
同理：
所以：
所以：
直线的方程为：，令
可得：
所以直线过定点.
22.解：（1）令
当时，
所以在递增.
当时，
所以在递减.
当而趋向于0时，.
的图象大致如图所示：
所以的取值范围为.
（2）令
当时，先证：
当时，
在上有两解，且
显然有
通过解二次方程可得：
所以：.
再证：当时，
令，
时，时，
所以：时，.
所以：.
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