流体力学基础|什么是伯努利定理？简易的解说

本文译自机械设计工程师Haku的博客。

目录

一、什么是连续性方程

二、流体能量守恒定律

  1、流体的动能

  2、流体势能

  3、流体压力能

  4、流体的热能

三、什么是伯努利定理

四、水头

五、伯努利定理的两个应用

  1、用文丘里管测量流速

  2、用皮托管测量流速

一、什么是连续性方程

连续方程就是质量守恒定律。质量守恒定律认为，流经管道的流体在任意截面处质量流量恒定。它被称为连续性方程，因为它在流体连续流动时成立。若流体的密度为ρ（kg/m ³），流速为u（m/s），截面积为A（m），则连续性方程如下。

ρuA =（常数）

质量流量的单位是（kg/s），即单位时间内通过的流体质量。

顺便说一句，由于像水这样的液体的体积几乎不随温度或压力而变化，因此体积守恒定律也适用。体积守恒定律不适用于气体，因为体积会根据压力发生很大变化。

二、流体能量守恒定律

伯努利定理是流体中的能量守恒定律，流体总计以下四种能量的总和保持不变：

①动能+②势能+③压力能+④热能=（常数）

1、流体的动能

我们知道质量为 m (kg) 的球以速度 v (m/s) 飞行时的动能为mv ² /2。若流体的密度为ρ(kg/m ³ )，则单位体积的质量为ρ×1(kg)。因此，单位体积流体的动能表示为：

①流体动能=ρu ² / 2

2、流体势能

如果重力加速度为g(m/s ² )，则高度为h(m)、质量为m(kg)的物体的势能表示为mgh ，则每单位体积的流体的势能如下：

②流体势能=ρgh

3、流体压力能

流体始终处于压力之下，这种力的作用提供了移动流体的能量。压力能越高，流量越大，压力能越低，流量越低。举一个具体的例子，水管使用调节器来改变供水压力来调节水流。如果供水压力增加，流出的水量就会增加；如果供水压力减少，水流量就会变小。压力为 p(Pa) 的流体的压力能就是 p。

③流体的压能=p

4、流体的热能

流体在流动时会改变其温度，并且流体的热能也会发生变化。然而，对于低流速的流动，转化为热量的能量很小，可以忽略不计。随着流速的增加，摩擦产生的热量和冲击波产生的热量产生，增加了热能的作用。摩擦是由流体的粘性引起的，但由于伯努利定理适用于非粘性流体，我们可以假设热能不变。（理想流体）

三、什么是伯努利定理

伯努利定理由以下等式表示：

ρu ² /2 + ρgh + p =（常数）

正如我之前所说，伯努利定理假设热能不变，认为是理想流体，也不考虑动能转化为热能。此外，尽管真实流体具有粘性并产生摩擦阻力和涡流，但使用伯努利定理时是假设没有粘性。

伯努利定理的应用条件：（很多人忽视这个条件造成应用错误）

• 没有密度变化（在流体为气体适用于马赫数(Ma)<0.3）

• 稳定流（状态不随时间变化的流）

• 沿流线流动

• 热能没有变化

• 无摩擦损失

• 无粘性损失

下面介绍一种具体的伯努利定理的使用方法，比如求两点之间的压力差，

ρu ₁ ² /2 + ρgh ₁ + p ₁ = ρu ₂ ² /2 + ρgh ₂ + p ₂

p1 _- p2 = (ρu ₂ ² /2+ ρgh2 ₎ – (ρu ₁ ² /2  ₊  ρgh ₁)

四、什么是压头

水头是流体的能量，以水位高度 (m) 为单位表示，也成称之为压头。动能用速度水头 V表示，势能用势头 H 表示，压力能用压力水头 P表示，总和称为总水头 E，以下能量守恒定律从伯努利定理成立。

E = V + H + P

注意：即伯努利定理仅在没有因粘性、热或摩擦引起的损失时才适用，但如果将这些能量损失表示为损失水头 L，以下守恒定律成立。

E = V + H + P + L

对于水头损失 L，必须提前从过去的文献和实验中获得产生的能量损失。

例如，Brazius 公式和Niclase 公式表达了流体粘度、流速和水头损失之间的相关性，因此可以使用它们。

五、伯努利定理的两个应用

下面是伯努利定理的两个应用。

1、用文丘里管测量流速

文丘里管是一种流量测量仪器，它通过使流体流过截面积发生变化的管子并测量两点之间的压力来确定流量和流速。

从连续性方程看，流速随着管道截面积的变化而变化。具体来说，管子粗的地方流速慢，管子细的地方流速快。因此，通过测量截面积不同的两个位置的压力，可以根据伯努利定理得出流速。

Q = u ₁ A ₁ = u ₂ A ₂　… ① 连续性方程

至于测量文丘里管内压力的方法，是在截面积不同的两个点上安装一个 U 型管压力表。密度为 ρ' 的流体置于 U 型管中，根据两点之间的压力差产生高度差，因此可以测量压力差。

具体计算方法如下：首先，在文丘里管的横截面积不同的点 1 和点 2 处应用伯努利定理。

由于流动是水平的，所以位置扬程H=0，随着流速和压力的变化，速度水头V和压力水头P发生变化。

u ₁ ² /2g + p ₁ /ρg = u ₂ ² /2g + p ₂ /ρg 

・・・② 流管中的伯努利方程

接下来，将伯努利定理应用于 U 型管中的流体，由于流体是静止的，当速度水头为 V=0 且高度差为 h 时，下式成立。

p1/ρvg = h +p ₂ /ρ'g ・・・③ U型管中的伯努利方程

由式①②③可以得到流体流过文丘里管的速度和流量。

顺便说一下，U 型管中可以放入的液体因流速测量范围而异。随着压力差的增加，U 形管变长，因此通常使用高密度水银。

2、用皮托管测量流速

皮托管是一种测量流速的测量仪器，它通过将一根玻璃管垂直连接到水平管上的一点，并将另一根玻璃管平行于流体流动。在两点之间应用伯努利定理给出流速。

u₂/2g + p₁/ρg = p₂/ρg  

在点 2，流动在玻璃管的尖端被阻塞。因此，速度能转化为压力能，玻璃管内的水位上升到h2。另一方面，在点 1 处，管内的静压 p1 使水流入玻璃管，使水位升高到 h1。

因此，通过求出两点之间的压力差p ₂ -p _{1 ，就可以求出管道中的流速u。}

p₂-p₁ = ρg(h₂-h₁) 

u = √｛2g(h₂-h₁)｝

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