2023届舒城县中高三下学期5月仿真模拟卷（二）
数 学
时间：120分钟 分值：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知集合，则 （）
A．) B． C． D．
已知复数（其中为虚数单位），则 （）
A．1 B． C． D．
《九章算术》勾股章有这样一个题（如图1）：“今有井，径五尺，不知其深．立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”其算法为5丈7尺5寸．如图2，已知一口井的井径，立木，从木末E望水岸B的俯角为75°，则这口井的井深AB为（）
A． B． C． D．
若函数满足，定义的最小值为的值域跨度，则是下列函数中值域跨度不为2的是 （）
A． B．
C． D．
已知函数 的图象关于直线对称，则 （）
A．
B．函数在 上单调递增
C．函数的图象关于点成中心对称
D．若，则的最小值为
已知实数满足，则的最小值为 （）
A． B． C． D．
若，，，则 （）
A． B． C． D．
已知椭圆的左右焦点分别为与，点在直线：上. 当取最大值时，比的值为 （）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
已知向量，满足且，则下列结论正确的是 （）
A． B． C． D．
已知正方体的棱长为2，为的中点，平面过点且与垂直，则 （）
A． B．平面
C．平面平面 D．平面截正方体所得的截面面积为
在平面直角坐标系中，，点是圆上的动点，则（）
A．当的面积最大时，点的坐标为
B．
C．若点不在轴上，则平分
D．当直线与圆相切时，
已知随机变量，，，，记，其中，，则 （）
A．若，则 B．
C． D．若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
若抛物线上的点到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的方程是_________.
已知奇函数及其导函数的定义域均为，满足，，则曲线在处的切线方程为__________.
已知样本：，该样本的平均数为7，样本的方差为4，且样本的数据互不相同，则样本数据中的最大值是__________.
《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，且有鳖臑和鳖臑，现将鳖臑沿线翻折，使点C与点重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（10分）已知两个等比数列，满足
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若数列唯一，求的值．
（12分）在中，，且，，均为整数．
(1) 求的大小；
(2) 设的中点为，所对的边为，且，求长.
（12分）如图，圆锥的顶点为其母线长为3，点都在底面上，为直径，且，.设分别是母线靠近的三等分点，并且平面交母线于点.
（1）证明：；
（2）当时，求与平面所成角的正弦值．
（12分）地球上两个生物种群之间通常会存在三种关系：相互竞争、相互依存、弱肉强食.已知某两个生物种群A、B在地球上会以约500年为一个周期，从一个关系逐渐过渡到另一种关系，设、、分别表示相互竞争、相互依存、弱肉强食关系，研究发现，该生物种群A、B的过渡概率如图所示，比如生物种群A、B从关系经过一个周期逐渐过渡到关系的概率为，经去年统计数据分析，生物种群A、B现在处于相互竞争关系.
(1)求、、；
(2)设、、表示在经过n个周期（每个周期为500年）后，生物种群处在相互竞争关系、相互依存关系、弱肉强食关系的概率.证明：数列成等比数列.
（12分）已知点在双曲线上.
（1）双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值；
（2）已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点?，在线段上取异于点?的点，满足，证明点恒在一条定直线上.
（12分）罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理.罗尔定理描述如下：如果上的函数满足以下条件：①在闭区间上连续，②在开区间内可导，③，则至少存在一个，使得.据此，解决以下问题：
（1）证明方程在内至少有一个实根，其中；
（2）已知函数在区间内有零点，求的取值范围.
参考答案：
1．C
【解析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得；
【详解】解：因为
所以，
所以.
故选：.
2．D
【详解】试题分析：因,故，所以,故应选D.
考点：复数的乘法除法运算．
3．D
【分析】本题是应用性题目，属于生活实践情境．利用角的拆分将非特殊角转化为特殊角的和差形式求解即可得到答案.
【详解】由题
在中，
，（利用角的拆分将非特殊角转化为特殊角的和差形式求解）
所以井深.
故选：D.
4．B
【解析】根据函数解析式，利用根式非负性、绝对值的区间讨论、分式的性质求值域，即可判断正确选项.
【详解】A选项：，所以，值域跨度为2；
B选项：，所以，值域跨度不为2；
C选项：当时；当时，；当时，；故，值域跨度为2；
D选项：，故，值域跨度为2；
故选：B
【点睛】本题考查了根据解析式求值域，注意根式、指数函数、对勾函数、绝对值的性质应用，属于基础题.
5．B
【分析】首先利用函数的值求出，对于A：，故A错误；对于B： ，故函数在该区间上单调递增，故B正确；对于C： ，故C错误；对于D： 的最小值为，故D错误．
【详解】对于函数的图象关于对称，
故，
由于，所以，所以，故，所以；
对于A：由于，所以，故A错误；
对于B：由于，故，故函数在该区间上单调递增，故B正确；
对于C：当时，，故C错误；
对于D：若，则的最小值为，故D错误．
故选：B
6．C
【详解】分析：先分离出a2+b2，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值．
详解：若ab+c取最小值，则ab异号，c＜0，根据题意得：1-c2=a2+b2，又由a2+b2≥2|ab|=-2ab，即有1-c2≥-2ab，，即ab+c的最小值为-1，故选C．
点睛：本题考查代数式求和，考查一元二次不等式性质、完全平方和、完全平方差公式基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．A
【分析】先由对数的运算法则把转化成同底的对数，再构造函数，利用导数判断单调性，得出的真数的大小关系，最后利用的单调性判断的大小.
【详解】由对数的运算法则得，.
令函数，则，即函数在R上单调递减.
．
令函数，则，
令函数，则，
在上单调递减，且，
，所以在上单调递增，在单调递减.
又在恒成立
，即在上单调递增 ，则 ．
当时，.
又在上单调递增，，．
故选：C
【点睛】利用导数判断函数值大小应注意的问题：
在构造函数时需要视具体情况而定，在判断导函数的正负时，尽量不要求二阶导数，而是把原导函数令为一个新函数，再求导判断正负来得到原导函数的单调性.
8．D
9．AD
【分析】先对条件进行化简得到，再结合选项逐个判定可得答案.
【详解】因为，所以；
因为，所以，所以，故C错误，D正确；
因为，所以，A正确；
因为，所以，B错误；
故选：AD.
10．ABD
【分析】分析出面，可判断选项A；取AD的中点，由平面几何知识可知，，从而判断出面，即平面截正方体所得的截面为梯形，从而可判断剩余的三个选项.
【详解】连接，则，又因为，,
所以面，又因为面，所以，故选项A正确；
取AD的中点，的中点，连接，，，，,
在正方形中，由平面几何知识可知，，
又因为，，所以面，所以,
又因为，所以，
又因为,
所以面，即平面截正方体所得的截面为梯形，
所以显然平面，选项B正确；
平面与平面不平行，选项C错误；
在梯形中，，，,所以梯形的高为，
所以梯形的面积为，即平面截正方体所得的截面面积为，故选项D正确.
故选：ABD.
11．CD
【分析】根据，结合圆的性质判断A；设，进而根据距离公式，结合圆的方程计算判断B；延长到，使，连接，进而根据，结合平面几何知识判断C；设直线的方程为，进而根据直线与圆的位置关系得，再联立方程求得点的坐标为，进而判断D.
【详解】解：对于A选项：由的面积，
所以，要使得的面积最大，只需最大，
由点为圆上的动点可得，
所以的面积最大时，点的坐标为，所以A不正确；
对于B选项：设，则，即，
因为，所以，
所以，所以B不正确；
对于C选项：因为，所以，所以，
延长到，使，连接，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以，即平分，所以C正确；
对于D选项：设直线的方程为，由直线与圆相切得
所以，整理得，解得，
所以，联立方程，所以消去得，解得，
所以，点的坐标为或，显然有，所以D正确．
故选：CD
【点睛】关键点点睛：破解此类题的关键：一是活用“图形”，即会画出草图，并根据图形的特征，寻找转化的桥梁；二是计算准确．
12．BCD
13．
【解析】根据抛物线的定义，可得结果.
【详解】根据抛物线定义，，解得，
故抛物线的方程是.
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线的定义，一般来讲，抛物线中焦点和准线伴随出现，属基础题.
14．
【分析】由结合为奇函数，可得，进而可得，对两边同时求导可得，求出，结合导数的几何意义求解即可.
【详解】由，
令，则，即，
又为奇函数，则，
故是以4为周期的周期函数，则，
对，求导得，
故是以4为周期的周期函数，则，
即切点坐标为，切线斜率，
故切线方程为，即.
故答案为：.
15．10
【分析】：利用图像先推算出最大数为11，再根据样本的数据互不相同，排除最大数为11，再推算最大数为10时，存在这样的5个数，最后得出答案．
【详解】：由题意，、、、、，该样本的平均数为7，则．样本的方差为4，则.如图，表示1,2,3,4,5个点分别位于7的上下两侧，那么，所以，
设，那么，必然存在样本数据相等，不满足题意．
设，那么，不妨设，，，，且满足．所以在最大值为10时存在5个数都为整数满足题意．
【点睛】：本题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，可以把平均数看作中位数，依次推导数字的大小，题目要求每个数都为整数，且各不相同，所以解题时可以采用排除法从大到小分类讨论． ‘’
16．
【解析】当沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，A点翻折到E点，关于对称，所拼成的几何体为三棱锥，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理求出半径即可求解.
【详解】当沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，A点翻折到E点，关于对称，所拼成的几何体为三棱锥,如图，
由
可得,,
即为正三角形，
所以外接圆圆心为三角形中心，
设三棱锥外接球球心为，连接，则平面，连接,,在中作,垂足为，如图，
因为,,
所以是的中点，由矩形可知,
因为为三角形的中心，
所以
在中，,
所以,
故答案为：
【点睛】本题主要考查了几何体的翻折问题，三棱锥的外接球，球的表面积公式，考查了空间想象力，属于难题.
17．（1）an＝(2＋)n－1，或an＝(2－)n－1；（2） .
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据“，，．且为等比数列，由等比中项，可解得公比，从而求得通项．
（2）由（1）知整理得：，易知方程有一零根，从而求得结果．
【详解】(1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，
b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2.
由b1，b2，b3成等比数列，得(2＋q)2＝2(3＋q2)，...............2分
即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－.
所以{an}的通项公式为
an＝(2＋)n－1，或an＝(2－)n－1................5分
(2)设{an}的公比为q，
则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，
得aq2－4aq＋3a－1＝0()．
由a>0，得Δ＝4a2＋4a>0，故方程()有两个不同实根．................7分
由{an}唯一，知方程()必有一根为0，
代入()得a＝.................10分
【点睛】本题主要考查等比数列的通项，等比中项及方程思想，属中档题．
18．(1) ；(2) 5．
【分析】(1) 从角入手，根据条件确定，结合为整数，通过假设法，得到的值，也就确定了角大小.
(2) 首先利用角和角和的正切展开式，确定角和角满足的等式，再结合，均为整数，确定，的值，最后利用解三角形知识证明即可.
【详解】(1) 因为，所以为锐角，则，
若，且在内单调递增，
．
又都大于，与矛盾，
，即．................5分
(2) 证明：．
又，
即．
由均为整数，且，
得，
可得，................8分
则................9分
设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由正弦定理，
可得
又的中点为．
在中，由余弦定理，得
，
=5，即证．...............12分
19．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连结交于，证明，，后得线面垂直，从而得线线垂直，再由平行得证结论．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角的正弦值．
【详解】（1）在圆锥中，平面，平面
连结交于，则，又，平面，
所以平面，平面，
所以
又分别是靠近的三等分点
. ..............5分
（2）由得都为正三角形，则
如图以为原点，垂直于所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设为平面的法向量，则，取，得...............8分
又，...............9分
设与平面所成角为，则 设与平面所成角也为
...............12分
【点睛】方法点睛：本题考查证明线线垂直，用向量法求线面角．求直线与平面所成的角方法：
（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后解三角形得结论；
（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，由直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值得线面角的正弦值．
20．(1)，，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可知生物种群从一种关系过渡到另外的种群关系的概率之和为1，由此可列出方程组，解得答案;
（2）根据经过n个周期后，生物种群处在相互竞争关系、相互依存关系、弱肉强食关系的概率关系，结合生物种群A、B的过渡概率图，列出、、的关系式，整理可得到，继而可证明结论.
(1)
由题意，设为A、B从关系逐渐过渡到关系的概率，
其中i、，则对任意，都有：,
故：，故、、................4分
(2)
证明：由题意，可得：，...............7分
由，故：,
又：，
故：即：，
故：，
所以：，...............10分
由A、B现在处于相互竞争关系，故经过1个周期后，
A、B分别处在相互竞争关系、相互依存关系、弱肉强食关系的概率分别为、、，则有：
，，,
故：,...............11分
所以数列是以0.4为首项，－0.4为公比的等比数列................12分
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