第13讲 三角函数的概念及诱导公式学校____________ 姓名____________ 班级__ __________ 一、知识梳理1.角的概念的推广(1)定义:一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角,这两条射线分别 称为角的始边和终边.(2)分类(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作1 rad.(2)公式角α的弧度数公式α=(弧 长用l表示)角度与弧度的换算180°=π rad;=(n为角度数,α为弧度数)弧长公式弧长l=αr扇形面积公式S=lr=αr23. 任意角的三角函数定义:设α是一个任意角,P(x,y)是α终边上的任一点,对于任意角α来说,设P(x,y)是α终边上异于原点的任意一 点,r=,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).4.三角函数线(1)正弦线与余弦线如图所示,如果过角α终边与单位圆 的交点P作x轴的垂线,垂足为M,为角α的余弦线.类似地,称为角α的正弦线.(2)正切线如图所示,设角α的终边或终边的反向延长线与直 线x=1交于点T,则可以直观地表示tan α,因此称为角α的正切线.5.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2α+cos2 α=1.(2)商数关系:=tan α.6.三角函数的诱导公式公式一二三四五六七八角2kπ+α(k∈Z)-απ-απ+α-α+α+α -α正弦sin α-sin αsin α-sin αcos αcos α-cos α-cos α余弦cos αcos α -cos α -cos α sin α-sin α sin α-sin α正切tan α-tan α-tan αtan α口诀函数名不变, 符号看象限函数名改变,符号看象限7.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α?β)=cos αcos β±sin αsin β.(3)tan(α±β)=.8.二倍角的正弦、余弦、正切公 式(1)sin 2α=2sin αcos α.(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3 )tan 2α=.9.函数f(x)=asin x+bcos x(a,b为常数),可以化为f(x)=sin(x+φ)或f(x)=·c os(x-φ).10.半角公式(1)S:sin=±,sin2=;(2)C:cos=±,cos2=;(3)T:tan=±(无理形式) ,tan2=;tan==(有理形式).考点和典型例题1、三角函数的概念【典例1-1】(2022·湖北·房县第一中学模拟预测)已知圆 台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6,该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为,则母线长为(?)A.4B.8C.10D.16【典 例1-2】(2022·河北·模拟预测)已知圆锥的母线长为2,其侧面展开图是圆心角等于的扇形,则该圆锥的体积为(?)A.B.C.D. 【典例1-3】(2022·山东济南·二模)济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建 筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型,其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2,和所在圆的圆心都在线段AB上, 若,,则的长度为(?)A.B.C.D.【典例1-4】(2022·北京房山·二模)已知是第一象限角,且角的终边关于y轴对称,则(?) A.B.C.D.【典例1-5】(2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模(理))已知角的终边上有一点,则的值是(?)A.B.C.或D. 不确定2、同角关系式和诱导公式【典例2-1】(2022·湖北武汉·模拟预测)已知,,则(?)A.B.C.D.【典例2-2】(202 2·辽宁葫芦岛·二模)若,则(?)A.B.C.-3D.3【典例2-3】(2022·安徽·安庆一中高三阶段练习(文))已知,则(?) A.B.C.D.【典例2-4】(2022·安徽·安庆一中高三阶段练习(理))已知,则(?)A.B.C.D.【典例2-5】(2022 ·全国·模拟预测)若,则(?)A.B.C.D.3、三角恒等变换的综合应用【典例3-1】(2022·河北衡水·高三阶段练习)已知角的 终边经过点,则(?)A.B.C.D.【典例3-2】(2022·湖北·模拟预测)已知,且,则(?)A.B.C.D.【典例3-3】(2 022·全国·模拟预测)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,为角终边上的一点,将角终边逆时针旋转得到角的终边,则(?) A.B.C.D.【典例3-4】(2022·广东·模拟预测)已知,则(?)A.B.C.D.【典例3-5】(2022·广东汕头·三模) 已知,,则(?)A.B.C.D.zxxk.com学科网(北京)股份有限公司zxxk.com学科网(北京)股份有限公司zxxk.com学科网(北京)股份有限公司zxxk.com学科网(北京)股份有限公司 |
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