2022-2023学年云南省高一下学期月考（4月）数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一
项）1. 设复数zi=1+2zi，则z=(????)A. 1+3iB. 1?5iC. iD. ?13i2. 已知向量a=(1,
?2)，b=(m,4)，且a//b，那么2a?b等于(????)A. (4,0)B. (0,4)C. (4,?8)D. (?4,8
)3. 在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则不正确的是(????)A. B. C. D. AC=AB+AD4.
已知复数z1=3+4i，复平面内，复数z1与z3所对应的点关于原点对称，z3与z2关于实轴对称，则z1?z2=(????)A.
?7B. 7C. ?25D. 255. 在△ABC中，a=3，b=1，B=π6,则A=(????)A. π3B. π6或5π6C
. 2π3D. π3或2π36. 若a，b∈R，则a>b>0是a2>b2的(????)A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C
. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 在△ABC中，bcosA=acosB，则三角形的形状为(????)A. 直角三角形B
. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形8. 在△ABC中，AB=4，AC=2，∠BAC=60°，点D为BC边上一点，且D
为BC边上靠近C的三等分点，则AB?AD=(????)A. 8B. 6C. 4D. 29. 长方体三个面的面积分别为2、6和9，
则长方体的体积是(????)A. 63B. 36C. 11D. 1210. 如图，设A，B两点在河的两岸，在点A所在的河岸边选定
一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(其中2=1.414…，3=
1.732…，精确到0.1)(????)A. 60.6mB. 78.7mC. 70.7mD. 80.8m11. 在边长为1的正方
形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC?EM的取值范围是(????)A. 12,2B. 0,32C. 12,3
2D. 0,112. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且sin(B+C)+2sinAcosB=0.若b=2，则
△ABC面积的最大值为(????)A. 33B. 233C. 433D. 23二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.
已知|a|=2，e为单位向量，当它们的夹角为5π6时，则a在e方向上的投影为______．14. 已知边长为1的正方形ABCD，
E是AD的中点，则BE?EC=______．15. 已知△ABC中，∠ABC=60°，BA=2，BC=3，BD平分∠ABC交AC
于D，则线段BD的长为______．16. 如图，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高
恰为a2(如图①)，则图②中的水面高度为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤）17. (本小题10.0分)已知复数z=a+bi(其中a、b∈R)，存在实数t，使z?=1+2it?3ati成立．(1)
求值：2a+b；(2)若|z+1|<2|b|，求|z|的取值范围．18. (本小题12.0分)已知向量a，b，c是同一平面内的三
个向量，其中a=(2,1)．(1)若|c|=25，且c//a，求向量c的坐标；(2)若b=(1,m)(m∈R)，且a⊥(a+b)，
求a与b的夹角θ的余弦值．19. (本小题12.0分)△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，向量m=(2sinB,2?
cos2B)，n=(2sin2(π4+B2),?1)且m⊥n．(1)求角B的大小；(2)若a=3，b=1，求c的值．20. (本
小题12.0分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+2c2=2b2，则tanBtanC=______．2
1. (本小题12.0分)在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，acosB?2acosC=(2c?b)cosA．(1)
若c=3a，求cosB的值；(2)若b=1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．22. (本小题12.0分)
已知a=(f(x),sin(2x+φ))，b=(1,2)，且a//b．(1)求f(x)的解析式，若φ=?π6，求f(x)在[0,π
]上的单调增区间；(2)若φ=π2，求g(x)=?f2(x)+asin2x+1，a∈R的最小值h(a)．答案和解析1.【答案】D?
【解析】【分析】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数，属于基础题。【解答】解：设z=a+bi(a,b∈R)，则z=a?bi，所以由
zi=1+2zi，得(z?2z)i=1，所以z?2z=1i=?i，所以?a+3bi=?i，所以a=0，b=?13，所以z=?13i
.?2.【答案】C?【解析】【分析】本题考查了向量共线的条件．向量是以坐标形式给出的，首先运用共线向量基本定理求出m，然后运用向量
的数乘运算和向量的减法运算求解．【解答】解：由向量a=(1,?2)，b=(m,4)，且a//b，所以1×4?m×(?2)=0，所以
m=?2．则b=(?2,4)，所以2a?b=2(1,?2)?(?2,4)=(4,?8)．故选C．?3.【答案】C?【解析】解：由题
意可得，A正确；由E为BC的中点及向量加法的三角形法则可得，AC?=AE+EC=AE?=AE，故B正确；由E为BC的中点及向量加法
的三角形法则可得，，由F为DC的中点及向量加法的三角形法则可得，，所以AB+AD=AC，，从而有，故C错误，D正确；故选：C．根据
向量的线性运算，一一判断各选项，可得答案．本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．4.【答案】C?【解析】解：∵复数z1=3+4
i，复数z1与z3所对应的点关于原点对称，∴z3=?3?4i，∵z3与z2关于实轴对称，∴z2=?3+4i，∴z1?z2=(3+4
i)?(?3+4i)=?25．故选：C．根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解．本题主要考查复数的几何意义
，以及复数的四则运算，属于基础题．5.【答案】D?【解析】解：在△ABC中，根据大边对大角可得A>B，由正弦定理可得3sinA=1
sinπ6，所以sinA=32，故A=π3或2π3，故选：D．根据大边对大角可得A>B，再由正弦定理可得3sinA=1sinπ6，
求出sinA=32，可得角A的值．本题考查正弦定理的应用，以及三角形中大边对大角，求出sinA=32，是解题的关键．6.【答案】A
?【解析】【分析】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，属于基础题．a>b>0是条件，a2>b2结论，条件推出结论，故是充分的，
结论不能推出条件故不必要．【解答】解：根据不等式的基本性质可知，由a>b>0可以得到a2>b2，但是a2>b2不一定可以得到a>b
>0，比如a=?2，b=1，所以“a>b>0”是“a2>b2”的充分不必要条件．?7.【答案】C?【解析】【分析】此题考查了正弦定
理，两角和与差的正弦函数公式，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．已知等式利用正弦定理化简，变形后利用两角和与
差的正弦函数公式化简，得到A?B=0，即A=B，即可确定出三角形形状．【解答】解：利用正弦定理化简bcosA=acosB得：sin
BcosA=sinAcosB，∴sinAcosB?cosAsinB=sin(A?B)=0，∴A?B=0，即A=B，则三角形形状为等
腰三角形．故选：C．?8.【答案】A?【解析】解：如图，∵D为BC边上靠近C的三等分点，∴AD=AC+13CB=AC+13(AB?
AC)=13AB+23AC，且AB=4，AC=2，∠BAC=60°，∴AB?AD=AB?(13AB+23AC) =13AB2+23
|AB||AC|?cos60° =163+23×4×2×12 =8．故选：A．根据条件可画出图形，并可得出AD=13AB+23AC
，然后进行数量积的运算即可求出AB?AD的值．本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘和数量积的运算，考查了计算能力，属于基
础题．9.【答案】A?【解析】【分析】本题考查的知识点是棱柱的体积，其中根据已知构造关于a，b，c的方程，并转化为棱柱体积的表达式
是解答本题的关键．由已知中长方体三个面的面积分别为2、6和9，我们可以设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，得到三个关于a，b，c
的方程，进而根据长方体的体积V=abc，即可求出答案．【解答】解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有ab=2，bc=6，a
c=9，∴V=a2b2c2=2×6×9=63．故选：A．?10.【答案】C?【解析】解：在△ABC中，AC=50m，∠ACB=45
°，∠CAB=105°，即∠ABC=30°，则由正弦定理ABsin∠ACB=ACsin∠ABC，得：AB=ACsin∠ACBsin
∠ABC=50×2212=502≈70.7m．故选：C．由∠ACB与∠BAC，求出∠ABC的度数，根据sin∠ACB，sin∠AB
C，以及AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长．本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．11.
【答案】C?【解析】【分析】本题考查正方形的性质，考查平面建系，平面向量数量积的定义和坐标运算，考查二次函数的最值问题，属于基础题
．建立坐标系可得C、M、E的坐标，可得EC·EM=(x?1)2+12，借助二次函数的最值问题即可求解．【解答】解：将正方形放入如图
所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1，又M1,12，C(1,1)，所以EM=(1?x,12),EC=(1?x,1)，
所以EC·EM=(1?x)2+12=(x?1)2+12，又函数y=(x?1)2+12在[0,1]上单调递减，所以当x=1时，EC?
EM有最小值12；当x=0时，EC?EM有最大值32，则EC?EM的取值范围是12,32．故选C．?12.【答案】A?【解析】解：
由sin(B+C)+2sinAcosB=0，得sinA+2sinAcosB=0，即sinA?(1+2cosB)=0，因为sinA≠
0，所以1+2cosB=0，即cosB=?12，又B∈(0,π)，所以B=23π,C=π?A?B=π3?A，又因为csinC=bs
inB，所以c=bsinCsinB=2sin(π3?A)sin2π3=433sin(π3?A)(0 csinA=433sin(π3?A)sinA=433(32cosA?12sinA)sinA=2sinAcosA?233sin2A=
sin2A?33(1?cos2A)，=sin2A+33cos2A?33=233sin(2A+π6)?33，∵0 2A+π6<5π6,sin(2A+π6)≤sinπ2=1，∴233sin(2A+π6)?33≤33，即△ABC面积的最大值是33．
故选：A．由已知结合诱导公式进行化简可求cosB，进而可求B，再由正弦定理及三角形的面积公式表示出三角形面积，结合和差角公式，辅助
角公式进行化简后，利用正弦函数的性质可求．本题主要考查了正弦定理，和差角公式，二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，属于中档题
．13.【答案】?32?【解析】解：∵|a|=2，e为单位向量，它们的夹角为5π6，∴a?e=|a|?|e|?cos5π6=2×1
×(?32)=?3，所以a在e方向上的投影为a?e|a|=?32．故答案为：?32．先求出a?e，再根据向量投影公式计算a在e方向
上的投影即可．本题考查平面向量的夹角和平面向量的投影，属于基础题．14.【答案】?34?【解析】解：由题意，AE=ED=12AD，
所以BE?EC=(AE?AB)?(ED+DC) =(12AD?AB)?(12AD+AB) =14AD2?AB2=14?1=?34．
故答案为：?34．由题意和向量的线性运算可得BE=AE?AB,EC=ED+DC，再根据AE=ED=12AD即可得出结果．本题考查了
向量的线性运算，属于基础题．15.【答案】635，或435?【解析】解：∵∠ABC=60°，BA=2，BC=3，∴由余弦定理可得：
AC=AB2+BC2?2AB?BC?cos∠ABC=22+32?2×2×3×12=7，∵BD平分∠ABC交AC于D，∴ADCD=A
BBC=23，可得：AD=23CD，又∵AD+CD=7，∴解得：AD=275，∴在△ABD中，由余弦定理AD2=AB2+BD2?2
AB?BD?cos30°，可得：2825=4+BD2?2×2×BD×32，∴可得：BD=635，或435．故答案为：635，或43
5．由已知利用余弦定理可得AC，由角平分线的性质可求AD=23CD，结合AD+CD=7，可得AD=275，根据余弦定理可求BD的值
．本题主要考查了余弦定理，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】372a?【解
析】解：设图①中的小圆锥的底面半径为r，则大圆锥的底面半径为2r，水的体积为V=13π?4r2?a?13πr2?a2=76πr2?
a，设图②中的小圆锥的底面半径为m，高为h，则，由相似知识得，m2r=ha，m=2rha，则水的体积为V=13π?4r2h2a2?
h 即有76πr2?a=13π?4r2h2a2?h，解得h=372a，故答案为：372a. 设图①中的小圆锥的底面半径为r，则大圆
锥的底面半径为2r，求出水的体积；再设图②中的小圆锥的底面半径为m，高为h，则，先由相似知识求出m，再由棱锥的体积公式求出水的体积
，再由体积相等，解出高h即可．本题考查棱锥的体积公式的运用，以及等积法的应用，考查运算的能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)
复数z=a+bi(其中a、b∈R)，存在实数t，使z?=1+2it?3ati成立，∴a?bi=1+2it?3ati=1t+(2t?
3at)i，∴a=1t,?b=(2t?3at)，消去t，得2a+b=3；(2)∵|z+1|<2|b|，∴(a+1)2+b2<2b2
，∴(a+1)20，解得a<23或a>4，且a≠0，∴|z|=a2+b2=a2+(3
?2a)2=5a2?6a+9，∴|z|的取值范围是(293,3)∪(3,+∞)．?【解析】(1)利用共轭复数的概念、复数相等的定义
列方程，求出a，b，由此能求出结果．(2)根据|z+1|<2|b|，求出a的取值范围，再利用复数的模，结合二次函数求解．本题考查复
数的运算，考查共轭复数的概念、复数相等的定义、复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)根据题意
，设c=(x,y)，由|c|=25，c//a，可得x2+y2=20x=2y，解可得x=?4y=?2或x=4y=2，故c=(?4,?
2)或c=(4,2)．(2)因为a+b=(3,1+m)，由a⊥(a+b)，所以a?(a+b)=2×3+1×(1+m)=0，所以m=
?7，故b=(1,?7)，因为|a|=5，|b|=52，所以cosθ=a?b|a||b|=1×2+1×(?7)5×52=?1010
．?【解析】(1)根据题意，设c=(x,y)，则有x2+y2=20x=2y，求出x、y的值，即可得答案，(2)求出a+b的坐标，由
向量数量积与向量垂直的关系可得a?(a+b)=2×3+1×(1+m)=0，求出m的值，即可得b的坐标，由向量夹角公式计算可得答案．
本题考查向量数量积、夹角的计算，涉及向量坐标的计算，关键是掌握数量积的计算公式．19.【答案】解：(1)由于m⊥n，所以m?n=0
，所以2sinB?2sin2(π4+B2)?2+cos2B=0，即2sinB?[1?cos2(π4+B2)]?2+cos2B=0，
即2sinB+2sin2B?2+1?2sinB2=0，解得sinB=12．由于0b，得
到A>B，即B=π6，由余弦定理得：b2=a2+c2?2accosB，代入得：1=3+c2?23c?32，即c2?3c+2=0，解
得c=1或c=2．?【解析】(1)根据m⊥n得关于角B的三角函数的方程，解方程即可求出角B；(2)求出角B后，根据余弦定理可得一个
关于c的一元二次方程，解这个方程求解c值．本题考查三角形中三角恒等变换、解三角形．方程思想在三角形问题中的应用极为广泛，根据已知条
件可得方程、根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等都可以得到方程，解三角形问题的实质就是根据有关定理列方程求解未知元素．20.【
答案】3?【解析】解：由已知得，a2=2(b2?c2)，由正弦定理得sin2A=2(sin2B?sin2C)，所以sin2(B+C
)=2sin(B+C)sin(B?C)，因为sin(B+C)>0，所以sin(B+C)=2sin(B?C)，所以sinBcosC+
cosBsinC=2sinBcosC?2cosBsinC，即sinBcosC=3cosBsinC，tanB=3tanC；故答案为：
3．由正弦定理及两角和的正弦公式可得B角和C角的正切的关系．本题考查正弦定理的应用，属于基础题．21.【答案】解：(1)∵acos
B?2acosC=(2c?b)cosA，∴sinAcosB?2sinAcosC=(2sinC?sinB)cosA?sinAcosB
+cosAsinB=2sinAcosC+2cosAsinC?sin(A+B)=2sin(A+C)?sinC=2sinB?c=2b，
c=3a?b=3a2，∴cosB=a2+c2?b22ac=a2+3a2?34a22a?3a=13324．(2)由(1)知c=2b，
∵b=1，∴c=2，设∠BAD=θ，S△ABC=12?2?sin2θ=12.2?AD?sinθ+12?1?AD?sinθ?AD=4
3cosθ,θ∈(0,π2)，∴AD∈(0,43)．?【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理，三角函数的和差角公式，三角形的面积公
式，属于中档题。22.【答案】解：(1)∵a=(f(x),sin(2x+φ))，b=(1,2)，且a//b，∴2f(x)=sin(
2x+φ)，若φ=?π6，则f(x)=12sin(2x?π6)，∴?π2+2kπ≤2x?π6≤π2+2kπ，k∈Z，∴?π6+kπ
≤x≤π3+kπ，k∈Z，∵x∈[0,π]，∴f(x)在[0,π]上的单调增区间为[0,π3]，[5π6,π]；(2)∵φ=π2，
∴f(x)=12sin(2x+π2)=12cos2x，g(x)=?f2(x)+asin2x+1=?14cos22x+asinx+1 =?14(1?sin22x)+asin2x+1=14sin22x+asin2x+34，a∈R，令t=sin2x∈[?1,1]，∴y=14t2+at+34，对称轴为t=?2a，①当?2a≤?1，即a≥12时，函数在[?1,1]上单调递增，则t=?1时，h(a)=1?a，②?2a≥1时，即a≤?12时，函数在[?1,1]上单调递减，则t=1时，h(a)=1+a，③当?1
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