参 考 答 案
一、选择题：cabccbda cd bd abd acd
三、填空题：
13．－1 14． 15． 16．(或)
四、解答题：
17．【解】（1）因为，，故，
所以，整理得． ……………2分
又，，，
所以为定值， ……………4分
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，得． ……………6分
（2）因为， ……………8分
所以． ……………10分
18．【解】选择①．
（1）因为，结合余弦定理，
得，即， ……………3分
据正弦定理可得，所以，
又，，
所以，即，
又，所以． ……………6分
（2）设，则．
因为，，故，
所以，
在中，据正弦定理可得，即，
在中，同理， ……………9分
因为，
所以，即，整理得，
所以的值为． ……………12分
选择②．
（1）因为，结合正弦定理可得，
即， ……………2分
又，
所以，
即， ……………4分
又，，故，即，
所以，，
因为，，所以，得．
……………6分
（2）设，则．
因为，，故，
所以，
在中，据正弦定理可得，即，
在中，同理， ……………9分
因为，
所以，即，整理得，
所以的值为． ……………12分
19．【解】（1）依题意，，
……………2分
所以，故
． ……………4分
（2）参与活动的每位居民得分低于74分的概率为，得分不低于
74分的概率为．
Y的所有可能取值分别为10，20，30，40．
，，
，，
所以Y的概率分布为
Y
10
20
30
40
P
……………10分
所以，
所以本次活动中国移动需要准备的话费充值卡的总金额为元．
……………12分
20．【解】（1）取BC1的中点D，连结MD，A1D．
在△BCC1中，M，D分别是BC，BC1的中点，所以MD∥CC1，且MD＝CC1．
又AA1∥CC1，故MD∥AA1，所以点A，A1，D，M四点共面．
因为AM∥平面A1BC1，AM平面AA1DM，平面AA1DM∩平面A1BC1＝A1D，
C1
B1
B
C
M
A
D
C1
B1
B
C
M
A
D
所以AM∥A1D．
因为CC1⊥平面ABC，AM平面ABC，
所以AM⊥CC1，故A1D⊥CC1，
在正△ABC中，M是BC的中点，
故AM⊥BC，故A1D⊥BC，
又BC∩CC1＝C，BC，CC1平面BCC1B1，
所以A1D⊥平面BCC1B1，
因为A1D平面A1BC1，所以平面A1BC1⊥平面BCC1B1． ……………6分
（2）法一：因为AA1∥CC1，CC1⊥平面ABC，所以AA1⊥平面ABC，
以A为坐标原点，AC，AA1所在直线分别为y轴，z轴建立如图所示的空间
直角坐标系A－xyz．
则，，，．
A1A1
C1
B1
B
C
M
A
D
x
y
z
A1A1
C1
B1
B
C
M
A
D
x
y
z
所以，，，
设平面A1BC1的法向量，
则即
取，则，，
故平面A1BC1的一个法向量为．
设平面A1BC的法向量，
则即
取，则，，故平面A1BC1的一个法向量为．
所以，
设二面角C1－A1B－C的大小为θ，
由图可知，，
所以二面角C1－A1B－C的余弦值为． ……………12分
法二：连结CD，在平面A1BC内，过点C作CH⊥A1B，垂足为H，连结DH．
在△BCC1中，CB＝CC1＝2，D是BC1的中点，所以CD⊥BC1．
由（1）可知，A1D⊥平面BCC1B1，CD平面BCC1B1，故CD⊥A1D．
A1
C1
B1
B
C
M
A
D
H
A1
C1
B1
B
C
M
A
D
H
又A1D∩BC1＝D，A1D，BC1平面A1BC1，
所以CD⊥平面A1BC1．
因为A1B平面A1BC1，所以A1B⊥CD．
又A1B⊥CH，CD∩CH＝C，CD，CH平面CDH，
所以A1B⊥平面CDH，
因为DH平面CDH，所以A1B⊥DH．
所以∠CHD是二面角C1－A1B－C的平面角．
在△A1BC中，，，所以，
据，得．
在Rt△CDH中，，
，
所以二面角C1－A1B－C的余弦值为． ……………12分
21．【解】（1）依题意，F(1，0)，A(－2，0)，B(2，0)，故AF＝3，BF＝1．
因为S1＝3S2，所以，即．
因为直线l经过F(1，0)，故，直线l的方程为x＝1．
若M在x轴的上方，则M(1，)，N(1，)，
直线AM的方程为，直线AN的方程为，
联立方程组可得点P的坐标为(4，3)．
根据椭圆的对称性可知，当M在x轴下方时，点P的坐标为(4，－3)．
所以点P的坐标为． ……………5分
（2）要证：直线FQ平分，即证：，
只要证：，即证：，
其中，分别是直线MF，QF的倾斜角，
只要证：，即证：，
即证：，证明如下：
设，则直线MG的方程为，
令，得点Q的坐标为，
所以直线FQ的斜率，
又直线MF的斜率为，
所以
，
又因为点在椭圆C：上，故，得，
所以，
得证． ……………12分
22．【解】（1）当时，，，，
令，，则，
所以在上单调递增，故，
所以，在上单调递增，
所以当时，的最小值为． ……………4分
（2）依题意，在R上存在两个极值点x1，x2，且．
所以在R上有两个不等的实根x1，x2，且．
令，，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
要使得在R上有两个不同的零点，必须满足得，
此时，故．
因为x1，x2是的两个不等的实根，
所以即
要证：，即证：，只要证：．
下面首先证明：．
要证：，即证：，只要证：，即证：，
令，，
则，
所以在上单调递减，，即．
因为，所以．
所以，故．
要证：，只要证：，即证：，
只要证：，即证：，
事实上，，显然成立，得证． ……………12分
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