2021年山东省淄博市中考数学真题及答案
一．选择题（共12小题）
1．下列几何体中，其俯视图一定是圆的有（ B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，直线a∥b，∠1＝130°，则∠2等于（ C ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
3．下表是几种液体在标准大气压下的沸点：
液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氦 沸点/℃ ﹣183 ﹣253 ﹣196 ﹣268.9 则沸点最高的液体是（ A ）
A．液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氦
4．经过4.6亿公里的飞行，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于2021年5月15日在火星表面成功着陆，火星上首次留下了中国的印迹．将4.6亿用科学记数法表示为（ D ）
A．4.6×109 B．0.46×109 C．46×108 D．4.6×108
5．小明收集整理了本校八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩（每人投篮10次），并绘制了折线统计图，如图所示．那么这次比赛成绩的中位数、众数分别是（ B ）
A．6，7 B．7，7 C．5，8 D．7，8
6．设m＝，则（ A ）
A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
7．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ D ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
8．如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（ C ）
A．+＝ B．+＝ C．+＝ D．+＝
9．甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为xkm/h，则下列方程中正确的是（ D ）
A．﹣＝12 B．﹣＝0.2
C．﹣＝12 D．﹣＝0.2
10．已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（C ）
A．1 B． C．2 D．4
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ A ）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y＝的图象恰好经过点M，则k的值为（ B ）
A． B． C． D．12
二．填空题（共4小题）
13．若分式有意义，则x的取值范围是 x≠3的全体实数 ．
14．分解因式：3a2+12a+12＝ 3（a+2）2 ．
15．在直角坐标系中，点A（3，2）关于x轴的对称点为A1，将点A1向左平移3个单位得到点A2，则A2的坐标为 （0，﹣2） ．
16．对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 b≤﹣ ．
17两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示．若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 6cm ．
【答案】6cm．
【解答】解：如图，作DE⊥BC于E，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A''BP′，
∵∠α＝30°，DE＝3cm，
∴CD＝2DE＝6cm，
同理：BC＝AD＝6cm，
由旋转的性质，A′B＝AB＝CD＝6m，BP′＝BP，A''P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A''BA＝60°，
∴△P′BP是等边三角形，
∴BP＝PP''，
∴PA+PB+PC＝A''P′+PP''+PC，
根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC＝A''C时最短，连接A''C，与BD的交点即为P点，即点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A′C．
∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，
∴∠A′BC＝90°，
∴A′C＝＝＝6（cm），
因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是6cm，
故答案为6cm．
18先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝+1，b＝﹣1．
【答案】ab，2．
【解答】解：原式＝?
＝?
＝ab，
当a＝+1，b＝﹣1时，
原式＝（+1）（﹣1）
＝3﹣1
＝2．
19如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）见证明；
（2）∠BDE的度数为30°．
【解答】解：（1）证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE．
（2）∵∠A＝80°，∠C＝40°
∴∠ABC＝60°，
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD＝30°，
故∠BDE的度数为30°．
20如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）过点B作BP∥x轴交y轴于点P，求△ABP的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于x的不等式k1x+b＜的解集．
【答案】（1）y1＝﹣x+1，；
（2）；
（3）﹣2＜x＜0或x＞3．
【解答】解：（1）∵直线y1＝k1x+b与双曲线相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，
∴，解得：k2＝﹣6，
∴双曲线的表达式为：，
∴把B（m，﹣2）代入，得：，解得：m＝3，
∴B（3，﹣2），
把A（﹣2，3）和B（3，﹣2）代入y1＝k1x+b得：，
解得：，
∴直线的表达式为：y1＝﹣x+1；
（2）过点A作AD⊥BP，交BP的延长线于点D，如图
∵BP∥x轴，
∴AD⊥x轴，BP⊥y轴，
∵A（﹣2，3），B（3，﹣2），
∴BP＝3，AD＝3﹣（﹣2）＝5，
∴；
（3）的解集，则是双曲线的图象在一次函数的图象的上方对应的x的取值，
故其解集为：﹣2＜x＜0或x＞3．
21为迎接中国共产党的百年华诞，某中学就有关中国共产党历史的了解程度，采取随机抽样的方式抽取本校部分学生进行了测试（满分100分），并将测试成绩进行了收集整理，绘制了如下不完整的统计图、表．
成绩等级 分数段 频数（人数） 优秀 90≤x≤100 a 良好 80≤x＜90 b 较好 70≤x＜80 12 一般 60≤x＜70 10 较差 x＜60 3
请根据统计图，表中所提供的信息，解答下列问题：
（1）统计表中的a＝ ，b＝ ；成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角是 度；
（2）补全上面的成绩条形统计图；
（3）若该校共有学生1600人，估计该校学生对中国共产党历史的了解程度达到良好以上（含良好）的人数．
【答案】（1）50，25，90；
（2）补图见解答；
（3）1200．
【解答】解：（1）抽取的总人数有：10÷＝100（人），
a＝100×50%＝50（人），
b＝100﹣50﹣12﹣10﹣3＝25（人），
成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角是：360°×＝90°．
故答案为：50，25，90；
（2）根据（1）补图如下：
（3）1600×＝1200（人），
答：估计该校学生对中国共产党历史的了解程度达到良好以上（含良好）的人数有1200人．
22为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．
科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 解答过程中可直接使用表格中的数据哟！
1.18 1.39 1.64 （1）求该公司每个季度产值的平均增长率；
（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．
【答案】（1）18%；
（2）该公司今年总产值能超过1.6亿元．
【分析】（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x，利用今年第一季度产值＝去年第三季度产值×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）将今年四个季度的产值相加，即可求出该公司今年总产值，再将其与1.6亿元比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x，
依题意得：2300（1+x）2＝3200，
解得：x1＝0.18＝18%，x2＝﹣2.18（不合题意，舍去）．
答：该公司每个季度产值的平均增长率为18%．
（2）该公司今年总产值能超过1.6亿元，理由如下：
3200+3200×（1+18%）+3200×（1+18%）2+3200×（1+18%）3
＝3200+3200×1.18+3200×1.39+3200×1.64
＝3200+3776+4448+5248
＝16672（万元），
1.6亿元＝16000万元，
∵16672＞16000，
∴该公司今年总产值能超过1.6亿元．
23已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．
（1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图1所示．求证：AE＝BF；
（2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示．求∠AFQ的度数；
（3）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图3所示．设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式．
【答案】（1）证明见解析部分．
（2）45°．
（3）y＝（0≤x≤2）．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠APD＝90°，
∴∠PAD+∠ADE＝90°，∠PAD+∠BAF＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴BF＝AE．
（2）解：如图2中，连接AQ，CQ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABQ＝∠CBQ＝45°，
∵BQ＝BQ，
∴△ABQ≌△CBQ（SAS），
∴QA＝QC，∠BAQ＝∠QCB，
∵EQ垂直平分线段AF，
∴QA＝QF，
∴∠QFC＝∠QCF，
∴∠QFC＝∠BAQ，
∵∠QFC+∠BFQ＝180°，
∴∠BAQ+∠BFQ＝180°，
∴∠AQF+∠ABF＝180°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠AQF＝90°，
∴∠AFQ＝∠FAQ＝45°．
（3）解：过点E作ET⊥CD于T，则四边形BCTE是矩形．
∴ET＝BC，∠BET＝∠AET＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝ET，∠ABC＝90°，
∵AF⊥EG，
∴∠APE＝90°，
∵∠AEP+∠BAF＝90°，∠AEP+∠GET＝90°，
∴∠BAF＝∠GET，
∵∠ABF＝∠ETG，AB＝ET，
∴△ABF≌△ETG（ASA），
∴BF＝GT＝x，
∵AD∥CB，DG∥BE，
∴＝＝，
∴＝，
∴BE＝TC＝xy，
∵GT＝CG﹣CT，
∴x＝2﹣y﹣xy，
∴y＝（0≤x≤2）．
24如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+?x+（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）设直线y＝x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；
（2）（2，3）；
（3）E的坐标为（，），F的坐标为（，）．
【解答】解：（1）∵A的坐标为（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵OC＝2OA，
∴OC＝2，
∴C的坐标为（0，2），
将点C代入抛物线y＝﹣x2+?x+（m＞0），
得＝2，即m＝4，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图，过P作PH∥y轴，交BC于H，
由（1）知，抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2，m＝4，
∴B、C坐标分别为B（4，0）、C（0，2），
设直线BC解析式为y＝kx+n，
则，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设点P的坐标为（m，﹣m2+m+2）（0＜m＜4），则H（m，﹣m+2），
∴PH＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m2﹣4m）＝﹣（m﹣2）2+2，
∵S△PBC＝S△CPH+S△BPH，
∴S△PBC＝PH?|xB﹣xC|＝[﹣（m﹣2）2+2]×4＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，△PBC的面积最大，此时点P（2，3）；
（3）存在，理由如下：
∵直线y＝x+b与抛物线交于B（m，0），
∴直线BG的解析式为y＝x﹣m①，
∵抛物线的表达式为y＝﹣x2+?x+②，
联立①②解得，或，
∴G的坐标为（﹣2，﹣m﹣1），
∵抛物线y＝﹣x2+?x+的对称轴为直线x＝，
∴点F的横坐标为，
设E的坐标为（t，﹣t2+?t+），
①若BG为边且E在x轴上方，如图，过点E作EH⊥x轴于H，
∵∠GBF＝90°，
∴∠OBG＝∠BFH，
∴tan∠OBG＝tan∠BFH＝＝，
∴＝，
解得：t＝3或m，
∴E的坐标为（3，2m﹣6），
由平移性质，
得：B的横坐标向左平移m+2个单位得到G的横坐标，
∵EF∥BG且EF＝BG，
∴E横坐标向左平移m+2个单位，
得：到F的横坐标为3+m+3＝m+5，
这与点F的横坐标为矛盾，所以此种情况不存在，
②若BG为边且E在x轴下方，
同理可得，E的坐标为（3，2m﹣6），所以此种情况也不存在，
②若BG为对角线，
设BG的中点为M，
则M的坐标为（，），
∴M恰好在抛物线对称轴上，
∵F在抛物线对称轴上，
∴E必然在对称轴与抛物线的交点，即抛物线顶点，
将x＝代入抛物线得，
E的坐标为（，），
∵∠BEG＝90°，M为BG中点，
∴EM＝，
∴，
解得：m＝或，
∵m＞0，
∴m＝，
即E的坐标为（，），
∴M的坐标为（，），
F的坐标为（，），
综上，E的坐标为（，），F的坐标为（，）．
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