【原】格点三角形中与求三角比、面积、相似三角形相关的问题

与求某个角的锐角三角比相关的问题

类型1：所求锐角在现成的直角三角形中，直接求解

解法分析：在第(1)题中，当图形中有现成的直角三角形时，可以直接借助图形中现成的直角三角形直接求解；在第(2)题中，根据旋转的意义，将角进行转化，从而求出tanB'的值。

类型2：所求锐角不在现成的直角三角形中，构造直角三角形

对于此类问题往往通过作两条高(已知一高长度)，借助“等积法”求出另一高的长度，在求出这个锐角的三角比，也可以通过“平移法”将难以表示的角借助平行线的性质进行转化。

解法分析：在第(3)题中，由于△ABC的三边的长度是可求的，因此可以借助等积法求出AC边上的高求出cosA的值。

本题也可以通过利用∠C=45° ，求出BD的长度，求出cosA的值。

解法分析：在第(4)题中，本题的难点在于发现∠A=90°，若没有发现∠A=90°，则可以采取割补法，求出▲ABC的面积，再求BC边上的高，由于该三角形的三边均不平行(垂直)于正方形的各边，因此做两条高就显得过于复杂。

解法分析：在第(5)题中，由于∠AOC的位置比较“尴尬”，因此可以通过作平行线的方式进行转化。碰巧平移后的三角形是直角三角形，可以直接求解，若平移后的三角形是斜三角形，则采取“等积法”进一步求解。

解法分析：和以往的正方形格点三角形不同，这次的格点三角形是由等边三角形组成的，比较新颖。利用60°角解三角形以及120°等腰三角形三边的比(1:1:  )可以求出三角形ABC各条边的边长，从而利用勾股定理逆定理得到△ABC为直角三角形。

求格点中的某个角的三角比，可以推广到平面直角坐标系中求某个角的三角形比，方法是相通的，要能够举一反三。

与三角形相似相关的问题

     类型：根据相似三角形的判定定理画出所有符合题意的相似三角形

解法分析：本题的难点在于能否找全点C，因此可以利用相似比进行突破，即相似比分别为1、√2和2三种情况，画出符合题意的图形，从而求出点C的坐标。

解法分析：本题的背景是寻找与原三角形①有一个公共角；②各顶点在格点上的相似三角形。因此本题需要分类讨论，即平行型(A型)以及斜截型(斜A型)，根据原三角形线段间的比例关系确定新三角形的具体位置。

与三角形面积相关的问题

     类型1：根据三角形之间的面积比画出符合题意的分割线

解法分析：本题的第(1)问是常规的格点三角形中三角形面积和锐角三角比的求法；第(2)问的灵活度就比较高了，根据面积比等于底之比，可得AB=5AP。但仅用一把无刻度的直尺如何作出一条的五等分点？依靠格点可以定位，再巧妙结合图中的X型基本图形确定P点位置，这种考察方式对于学生的综合素养和应变能力要求很高！

 类型2：画出与原三角形相似的面积最大/最小的三角形

解法分析：本题的背景虽然是“格点三角形”，但是考察了相似三角形的相似比。本题的难点在于能够画出与△ABC相似且面积最大的三角形，通过分析目标△ABC的三边的比例关系从而找到△DEF三边的比例关系。

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