【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题13平行线之猪脚模型【例1】（2022春?桐城市期末）【问题背景】同学们，观察小猪
的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．【问题解决】（1）如图1
，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝ 70° ．【问题探究】（2）如图
2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．【问题拓展】（3）如图
3．AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作DF∥CB交直线AB于点F，AE平分∠B
AD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．【分析】（1）延长CE交AB于点F，利用平行线的性质可得∠AFC＝28°，然后再利用三角
形的外角可得∠AEC＝∠A+∠C，进行计算即可解答；（2）利用猪蹄模型可得：∠AEC＝∠A+∠C＝90°，再利用对顶角相等可得∠B
ED＝90°，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答；（3）利用平行线的性质可求出∠CDF的度数，从而利用角平分线的定义求出∠CD
G的度数，进而利用平行线的性质可求出∠BAD的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，再利用平角定义求出∠EDH的度数，最
后根据猪蹄模型可得∠AED＝∠BAE+∠EDH，进行计算即可解答．【解答】解：（1）延长CE交AB于点F，∵AB∥CD，∴∠AFC
＝∠C＝28°，∵∠AEC是△AEF的一个外角，∴∠AEC＝∠A+∠AFC＝∠A+∠C＝70°，故答案为：70°；（2）利用（1）
的结论可得：∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°，∴∠AEC＝∠BED＝90°，∵EF平分∠BED，∴∠BEF＝∠BED＝
45°，∴∠BEF的度数为45°；（3）∵BC∥DF，∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝124°，∵DG平分∠CDF，∴∠CDG＝∠
CDF＝62°，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠CDG＝62°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠BAD＝31°，∵∠GDE＝20°，
∴∠EDH＝180°﹣∠CDG﹣∠GDE＝98°，利用（1）的结论可得：∠AED＝∠BAE+∠EDH＝31°+98°＝129°，∴
∠AED的度数为129°．【例2】（2022春?南京期中）已知直线AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，O是平面内一点（不在直线
AB、CD、EF上），OG平分∠EOF，射线OH∥AB，交EF于点H．（1）如图①，若∠AEO＝45°，∠CFO＝75°，则∠HO
G＝ 15° ，（2）如图②，若∠AEO＝150°，∠HOG＝20°，则∠CFO＝ 110° ；（3）直接写出点O在不同位置时∠A
EO、∠CFO和∠HOG三个角之间满足的数量关系．【分析】（1）由AB∥CD，OH∥AB可得AB∥OH∥CD，利用平行线的性质可得
∠AEO＝∠EOH，∠CFO＝∠FOH，由∠EOF＝∠EOH+∠FOH，等量代换可得∠AEO+∠CFO＝∠EOF，根据已知条件和角
平分线的定义求出∠EOG＝60°，即可得到∠HOG的度数；（2）同（1）类似，利用平行线的性质和角平分线的定义计算可以得出∠CFO
的度数；（3）由（1）和（2）的计算方法可以得出结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，OH∥AB，∴AB∥OH∥CD，∴∠AEO＝
∠EOH，∠CFO＝∠FOH，∴∠AEO+∠CFO＝∠EOH+∠FOH，即∠AEO+∠CFO＝∠EOF，∵∠AEO＝45°，∠CF
O＝75°，∴∠EOF＝120°，∵OG平分∠EOF，∴∠EOG＝60°，∴∠HOG＝∠EOG﹣∠EOH＝15°，故答案为：15°
；（2）∵AB∥CD，OH∥AB，∴AB∥OH∥CD，∴∠AEO+∠EOH＝180°，∠CFO+∠FOH＝180°，∴∠AEO+∠
CFO+∠EOH+∠FOH＝360°，即∠AEO+∠CFO+∠EOF＝360°，∵AB∥OH，∴∠AEO+∠EOH＝180°，∵∠
AEO＝150°，∴∠EOH＝30°，∵∠HOG＝20°，∴∠EOG＝∠EOH+∠HOG＝30°+20°＝50°，∵OG平分∠EO
F，∴∠EOF＝2∠EOG＝100°，∵∠AEO+∠CFO+∠EOF＝360°，∠AEO＝150°，∴∠CFO＝360°﹣150°
﹣100°＝110°，故答案为：110°；（3）①若点O在直线AB与CD之间，则有|∠AEO﹣∠CFO|＝2∠HOG；②若点O在直
线AB与CD之外，且在直线EF的左侧，则有∠AEO+∠CFO＝2∠HOG；若点O在直线AB与CD之外，且在直线EF的右侧，则有36
0°﹣∠AEO﹣∠CFO＝2∠HOG．【例3】（2022春?上城区校级期中）如图，一副三角板，其中∠EDF＝∠ACB＝90°，∠E
＝45°，∠A＝30°．（1）若这副三角板如图摆放，EF∥CD，求∠ABF的度数．（2）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN
，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且0≤t≤180，若边BC与三
角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，求所有满足条件的t的值．（3）将一副三角板如图3所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC
绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转．设旋转时何为t秒，如图4，∠BAH＝t°，∠F
DM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，请直接写出满足条件的t的值．【分析】（1）由题
意得，∠EBF＝90°，∠E＝45°，∠ABC＝60°，利用平行线的性质可得∠CDE＝∠E＝45°，即可求得答案；（2）①当DE∥
BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况：当DE在MN上方时或当DE在MN下方时，分别运用平行线的性质即可；②当BC∥DF时，延长
BC交MN于点T，分两种情况：当DF在MN上方时或当DF在MN下方时，分别运用平行线的性质即可；（3）当DE∥BC时，延长AC交M
N于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，
延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可
．【解答】解：（1）如图，由题意得，∠EBF＝90°，∠E＝45°，∠ABC＝60°，∵EF∥CD，∴∠CDE＝∠E＝45°，∴∠
ABE＝∠ABC﹣∠CDE＝60°﹣45°＝15°，∴∠ABF＝∠EBF﹣∠ABE＝90°﹣15°＝75°；（2）如图，①当DE∥
BC时，延长AC交MN于点P，当DE在MN上方时，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，∴∠FDM＝∠MPA，∵MN
∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝30°，∴t＝15；当DE在MN下方时，∠F′DP＝2t°﹣180°
，∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC，∴AP∥DF′，∴∠F′DP＝∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠F′
DP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝30°，∴t＝105；②当BC∥DF时，当DF在MN上方时，BC∥DF，如图，延长BC交MN于
点T，根据题意得：∠FDN＝180°﹣2t°，∵DF∥BC，∴∠FDN＝∠BTN，∵GH∥MN，∴∠BTN＝∠ABC＝60°，∴∠
FDN＝60°，即180°﹣2t°＝60°，∴t＝60；当DF在MN下方时，如图，延长BC交MN于点T，根据题意可知：∠FDN＝2
t°﹣180°，∵DF∥BC，∴∠FDN＝∠BTM，∵GH∥MN，∴∠BTN＝∠ABC＝60°，∴∠BTM＝180°﹣∠BTN＝1
20°，∴∠NDF＝120°，即2t°﹣180°＝120°，∴t＝150，综上所述：所有满足条件的t的值为15或60或105或15
0；（3）由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，①如图，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，当
DE在MN上方时，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，∴∠FDM＝∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，∴
∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，∴t＝30，当DE′在MN下方时，∠F′DP＝2t°﹣180°，∵DE′∥BC，DE′
⊥DF′，AC⊥BC，∴AP∥DF′，∴∠F′DP＝∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠F′DP＝∠HAC，即2t°
﹣180°＝t°+30°，∴t＝210（不符合题意，舍去），②当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，当DF在MN上方时，BC∥DF
，如图，根据题意得：∠FDN＝180°﹣2t°，∵DF∥BC，AC⊥BC，∴CI⊥DF，∴∠FDN+∠MIC＝90°，即180°﹣
2t°+t°+30°＝90°，∴t＝120，∴2t＝240°＞180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去；当DF在MN下方
时，如图，根据题意可知：∠FDN＝2t°﹣180°，∵DF∥BC，∴∠MIC＝∠NDF，∴∠NDF＝∠AQI＝t+30°﹣90°＝
t﹣60°，即2t°﹣180°＝t°﹣60°，∴t＝120，综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．【例4】（2021春?梅
江区期末）如图（1），AB∥CD，点E在AB、CD之间，连接EA、EC；如图（2），AB∥CD．点M、N分别在AB、CD上，连接M
N．（1）在图（1）中，若∠A＝30°，∠C＝50°，则∠AEC＝ 80° ；若∠A＝25°，∠C＝40°，则∠AEC＝ 65°
．（2）图（1）的条件下，猜想∠EAB、∠ECD、∠AEC的关系，并说明你的结论．（3）如图（2），点E是四边形ACDB内（不含边
界和MN）任意一点，请说明∠EMB、∠END、∠MEN的关系．【分析】（1）过点E作EF∥AB，如图1，根据平行线的性质，两直线平
行，内错角相等可得∠AEG＝∠A，∠CEG＝∠C，由∠AEC＝∠AEG+∠CEG，可得∠AEC＝∠A+∠C，代入计算即可得出答案；
（2）过点E作EF∥AB，如图1，根据平行线的性质可得，∠AEG＝∠EAB，∠CEG＝∠ECD．由∠AEC＝∠AEG+∠CEG，即
可得出答案；（3）根据题意画图，如图2，过点E作EF∥AB，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可得，∠EMB+∠MEF＝1
80°，∠NEF+∠END＝180°，由∠EMB+∠MEF+∠NEF+∠END＝360°，根据∠MEN＝∠MEF+∠NEF，即可得
出答案．【解答】解：（1）过点E作EF∥AB，如图1，∵AB∥CD，∴GF∥CD，∴∠AEG＝∠A，∠CEG＝∠C，∴∠AEC＝∠
AEG+∠CEG，∴∠AEC＝∠A+∠C，若∠A＝30°，∠C＝50°，则∠AEC＝30°+50°＝80°，若∠A＝25°，∠C＝
40°，则∠AEC＝25°+40°＝65°；故答案为：80°，65°；（2）∠AEC＝∠EAB+∠ECD．理由如下：过点E作EF∥
AB，如图1，∵AB∥CD，∴GF∥CD，∴∠AEG＝∠EAB，∠CEG＝∠ECD．∵∠AEC＝∠AEG+∠CEG，∴∠AEC＝∠
EAB+∠ECD；（3）∠ENB+∠NEN+∠END＝360°．理由如下：根据题意画图，如图2，过点E作EF∥AB，∴∠EMB+∠
MEF＝180°，∵AB∥CD，∴GF∥CD，∴∠NEF+∠END＝180°，∴∠EMB+∠MEF+∠NEF+∠END＝360°，
∵∠MEN＝∠MEF+∠NEF，∴∠ENB+∠NEN+∠END＝360°．一．选择题1．（2022?黔东南州）一块直角三角板按如图
所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1＝28°，则∠2的度数为（ ）A．28°B．56°C．36°D．62°【分析】过直角的顶点
E作MN∥AB，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：如下图所示，过直角的顶点E作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，则∠2＝
∠3．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵AB∥MN，∴MN∥CD，∴∠4＝∠1＝28°，∵∠3+∠4＝90°，∴∠3＝90°
﹣∠4＝62°．∴∠2＝∠3＝62°．故选：D．2．（2022?临清市二模）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（ ）
A．180°﹣∠2+∠1B．180°﹣∠1﹣∠2C．∠2＝2∠1D．∠1+∠2【分析】先利用平行线的性质说明∠3、∠1、∠4、∠2
间关系，再利用角的和差关系求出∠BCE．【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，∴∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°．∴∠BCE＝∠3
+∠4＝∠1+180°﹣∠2．故选：A．3．（2021春?硚口区月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M
，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+
∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（ ）A．①②③B．②④C．①②④D．①④【分析】过点F作F
P∥AB，HQ∥AB，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，利用猪脚模型、锯齿模型表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案．【解答】解：∵
∠FMA＝∠FGC∴AB∥CD∴①正确；过点F作FP∥AB，HQ∥AB，∵AB∥CD，∴FP∥AB∥HQ∥CD，设∠NEB＝x，∠
HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，∠EF
M＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°
，∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，∴∠EHG≠2∠EFM∴②错误；∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4
y﹣180°≠90°，∴③错误；∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，∴④正确．综上所述，正确
答案为①④．故选：D．4．（2018春?南昌期中）如图，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3的度数是（ ）A．30°B
．45°C．50°D．60°【分析】作辅助线，过点O做OP∥AB∥CD，再结合两直线平行内错角相等的性质，即可得出∠3的度数．【解
答】解：过点O做OP∥AB∥CD，∴∠A＝∠AOP＝30°，∠D＝∠POC，∵∠2＝90°，即∠AOC＝90°，∴∠POC＝60°
，∴∠3＝60°．故选：D．5．（2018春?沂源县期末）如图，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠E：∠F＝
（ ）A．2：1B．3：1C．3：2D．4：3【分析】本题主要利用两直线平行，内错角相等作答．【解答】解：过点E、F分别作AB的
平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DF
H，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；∵∠ABF＝∠A
BE，∠CDF＝∠CDE，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF＝（∠ABE+∠CDE）＝∠BED，∴∠BED：∠BF
D＝3：2．故选：C．6．（2022春?诸暨市期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光
线OA的反射光线为AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27
°．则∠AOD的度数是 45°或99° ．【分析】分两种情况：如果∠AOD是锐角，∠AOD＝∠COA﹣∠COD；如果∠AOD是钝
角，∠AOD＝∠COA+∠COD，由平行线的性质求出∠COA，∠COD，从而求出∠AOD的度数．【解答】解：∵DE∥CF，∴∠CO
D＝∠ODE．（两直线平行，内错角相等）∵∠ODE＝22°，∴∠COD＝22°．在图1的情况下，∠AOD＝∠COA﹣∠COD＝72
°﹣27°＝45°．在图2的情况下，∠AOD＝∠COA+∠COD＝72°+27°＝99°．∴∠AOD的度数为45°或99°．故答案
为：45°或99°．7．（2022春?潜山市月考）如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF
的右侧．（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝ 270° ；（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N
的度数为 n° ．（用含n的式子表示）【分析】（1）过点M作MP∥AB，则AB∥CD∥MP，根据两直线平行，内错角相等可得答案；（
2）过点N作NQ∥AB，则AB∥CD∥NQ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．【解答】解：（1）过点M作MP∥AB
，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MP，∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，∵∠M＝∠1+∠2＝90°，∴∠MEB+∠MFD＝90°，∵
∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．故答案为：
270°；（2）过点N作NQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NQ，∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，∴∠NEB+∠NFD＝∠3
+∠4＝∠ENF，∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，∵∠NEB＝∠MEB，∠DFN＝MFD，∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN
＝（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，∴∠ENF＝∠EMF＝n°．故答案为：n°．8．（2019?大
丰区一模）如图，已知：AB∥CD，∠1＝50°，∠2＝113°，则∠3＝ 63 度．【分析】如图，作EF∥AB．证明基本结论；∠A
EC＝∠1+∠3即可解决问题．【解答】解：如图，作EF∥AB．∵AB∥CD，AB∥EF，∴EF∥CD，∴∠1＝∠AEF，∠3＝∠C
EF，∴∠AEC＝∠1+∠3，∴113°＝50°+∠3，∴∠3＝63°．故答案为63；9．（2019秋?福田区校级期末）如图，AB
∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝ 125° ．【分析】首先过点E作EM∥AB，过点F作
FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED＝110°，即可求得∠ABE+
∠CDE＝250°，又由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的定义，即可求得∠ABF+∠CDF的度数，又由两直线平行，
内错角相等，即可求得∠BFD的度数．【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD∥FN，∴
∠ABE+∠BEM＝180°，∠CDE+∠DEM＝180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∵∠BED＝110°，∴∠A
BE+∠CDE＝250°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，∴∠ABF+∠CDF＝（
∠ABE+∠CDE）＝125°，∵∠DFN＝∠CDF，∠BFN＝∠ABF，∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠ABF+∠CDF＝12
5°．故答案为125°10．（2022春?交城县期中）如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC＝57
°，∠AFC＝63°，则∠BAF的度数为 46° ．【分析】延长AE交CD于点H，延长AF交CD于点G，设∠BAE＝x，∠FCG
＝y，根据角平分线的定义可得∠BAF＝2x，∠ECG＝2y，然后利用平行线的性质可得∠AGC＝2x，∠AHC＝x，，再利用三角形的
外角性质可得∠AEC＝x+2y，∠AFC＝2x+y，最后列出关于x，y的方程组，进行计算即可解答．【解答】解：延长AE交CD于点H
，延长AF交CD于点G，设∠BAE＝x，∠FCG＝y，∵AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，∴∠BAF＝2∠BAE＝2x，∠EC
G＝2∠FCG＝2y，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AGC＝2x，∠BAH＝∠AHC＝x，∵∠AEC是△EHC的一个外角，∴∠AEC
＝∠AHC+∠ECG＝x+2y，∵∠AFC是△GCF的一个外角，∴∠AFC＝∠AGC+∠FCG＝2x+y，∵∠AEC＝57°，∠A
FC＝63°，∴，解得：，∴∠BAF＝46°，故答案为：46°．11．（2022春?濠江区期末）已知直线AB∥CD，直线EF分别截
AB、CD于点G、H，点M在直线AB、CD之间，连接MG，MH．（1）如图1，求证：∠M＝∠AGM+∠MHC；（2）如图2，若HM
平分∠GHC，在HM上取点Q，使得∠HGQ＝∠AGM，求证：∠M+∠GQH＝180°；（3）如图3，若GH平分∠MGB，N在为HD
上一点，连接GN，且∠GNH＝∠M，∠HGN＝2∠MHC，求∠MHG的度数．【分析】（1）过点M作MN∥AB，利用平行线的猪脚模型
，即可解答；（2）根据角平分线的定义可得∠MHG＝∠CHM，再利用（1）的结论可得∠GMH＝∠AGM+∠MHC，从而可得∠GMH＝
∠HGQ+∠MHG，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；（3）设∠AGM＝2α，∠CHM＝β，从而可得∠HGN＝2β，再利用
（1）的结论可得∠GMH＝2α+β，从而可得∠GNH＝2α+β，然后利用角平分线的定义可得∠MGH＝90°﹣α，再利用三角形的外角
可得∠CHG＝3β+2α，最后利用平行线的性质可得∠AGH+∠CHG＝180°，从而可得α+β＝30°，再利用角的和差关系进行计算
即可解答．【解答】（1）证明：过点M作MN∥AB，∴∠AGM＝∠GMN，∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠NMH＝∠CHM，∵∠GM
H＝∠GMN+∠NMH，∴∠GMH＝∠AGM+∠MHC；（2）证明：∵HM平分∠GHC，∴∠MHG＝∠CHM，由（1）得：∠GMH
＝∠AGM+∠MHC，∵∠HGQ＝∠AGM，∴∠GMH＝∠HGQ+∠MHG，∵∠GQH+∠HGQ+∠MHG＝180°，∴∠GMH+
∠GQH＝180°；（3）解：设∠AGM＝2α，∠CHM＝β，由（1）可得：∠GMH＝∠AGM+∠MHC，∴∠GMH＝2α+β，∵
∠GNH＝∠M，∴∠GNH＝2α+β，∵∠HGN＝2∠MHC，∴∠HGN＝2β，∵GH平分∠MGB，∴∠MGH＝∠BGM＝（180
°﹣∠AGM）＝90°﹣α，∵∠CHG是△GHN的一个外角，∴∠CHG＝∠HGN+∠GNH＝2β+2α+β＝3β+2α，∵AB∥C
D，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴∠AGM+∠MGH+∠CHG＝180°，∴2α+90°﹣α+3β+2α＝180°，∴α+β＝
30°，∴∠MHG＝∠CHG﹣∠CHM＝3β+2α﹣β＝2β+2α＝60°，∴∠MHG的度数为60°．12．（2022春?沂源县期
末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图，已知两直线a，b且a∥b和直角三角形
ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．操作发现：（1）在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数．（2）某同学把
直线a向上平移，并把∠2的位置改变，如图2，发现∠2﹣∠1＝120°，说明理由．【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠3，根据平
行线的性质解答；（2）过点B作BD∥a，根据平行线的性质得到∠ABD＝180°﹣∠2，∠DBC＝∠1，结合图形计算，证明结论．【解
答】解：（1）∵∠BCA＝90°，∴∠3＝90°﹣∠1＝44°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝44°．（2）理由如下：过点B作BD∥a，
则∠ABD＝180°﹣∠2，∵a∥b，BD∥a，∴BD∥b，∴∠DBC＝∠1，∵∠ABC＝60°∴180°﹣∠2+∠1＝60°，∴
∠2﹣∠1＝120°．13．（2022春?无棣县期末）如图1，已知∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，点E在直线AB，CD之间．（1）求
证：AB∥CD；（2）若AH平分∠BAE，FG∥CE．①如图2，若∠AEC＝84°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，
若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．【分析】（1）过E作EN∥AB，可得∠BAE＝∠AEN，∠BAE
＝∠AEC﹣∠ECD，证得∠ECD＝∠CEN，故EF∥CD∥AB；（2）①HF平分∠DFG，设∠GFH＝∠DFH＝x，根据平行线的
性质可以得到∠AHF的度数；②设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到∠AHF与∠AE
C的数量关系．【解答】解：（1）如图1，过点E作直线EN∥AB，∴∠BAE＝∠AEN，∵∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，∴∠BAE+
∠ECD＝∠AEC，∵∠AEN+∠CEN＝∠AEC，∴∠ECD＝∠CEN，∴EN∥CD，∴CD∥AB；（2）∵AH平分∠BAE，∴
∠BAH＝∠EAH，①∵HF平分∠DFG，设∠GFH＝∠DFH＝x，又CE∥FG，∴∠ECD＝∠GFD＝2x，又∠AEC＝∠BAE
+∠ECD，∠AEC＝84°，∴∠BAH＝∠EAH＝42°﹣x，如图2，过点H作HM∥AB，∴∠BAH＝∠AHM，∵HM∥AB，∴
HM∥CD，∴∠DFH＝∠MHF，∴∠AHF＝∠BAH+∠DFH＝42°﹣x+x＝42°；②设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝
y，∵HF平分∠CFG，∴∠GFH＝∠CFH＝90°﹣x，由（1）知∠AEC＝∠BAE+∠ECD＝2x+2y，如图3，过点H作HK
∥AB，∴∠BAH＝∠AHK，∵HK∥AB，∴HK∥CD，∴∠KHF+∠CFH＝180°，∴∠AHF﹣y+∠CFH＝180°，即∠
AHF﹣y+90°﹣x＝180°，∠AHF＝90°+（x+y），∴∠AHF＝90°+∠AEC．14．（2022春?墨玉县期末）问题
情景：（1）如图①，已知AB∥DE．试∠B、∠E、∠BCE有什么关系？小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是∠B+∠E＝
∠BCE．请你帮他完善证明过程：如图②，过点C作CF∥AB∴ ∠B ＝ ∠1 （ 两直线平行，内错角相等 ）∵AB∥DE，AB∥
CF∴ DE ∥ CF ．∴∠E＝ ∠2 （ 两直线平行，内错角相等 ）∴∠B+∠E＝∠1+∠2即∠B+∠E＝∠BCE．（2）在
图①中．若BC⊥CE，且∠B＝52°，请你计算∠E的度数等于 38° ．（3）问题迁移：如图③．AD∥BC．当点P在射线AM上运
动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β请你猜想∠α、∠β与∠CPD之间有怎样的数量关系？并说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，内
错角相等即可求解；（2）由（1）可知∠B+∠E＝90°，即可求解；（3）由三角形外角性质可得∠CPD+∠CDP＝∠OCP，从而可得
∠CPD+∠α+∠ADO＝∠β+∠BCO，由AD∥BC可得∠ADO＝∠BCO，即可得出∠CPD+∠α＝∠β．【解答】解：（1）过点
C作CF∥AB，∴∠B＝∠1（两直线平行，内错角相等），∵AB∥DE，AB∥CF，∴DE∥CF，∴∠E＝∠2（两直线平行，内错角相
等），∴∠B+∠E＝∠1+∠2，即∠B+∠E＝∠BCE，故答案为：∠B＝∠1；两直线平行，内错角相等；DE；CF；∠2；两直线平行
，内错角相等；（2）由（1）可知∠B+∠E＝∠BCE，∵∠BCE＝90°，∠B＝52°，∴∠E＝∠BCE﹣∠B＝38°，故答案为：
38°；（3）∠CPD+∠α＝∠β，理由如下：∵∠CPD+∠CDP＝∠OCP，∴∠CPD+∠α+∠ADO＝∠β+∠BCO，∵AD∥
BC，∴∠ADO＝∠BCO，∴∠CPD+∠α＝∠β．15．（2022春?抚远市期末）如图，已知AD∥BC，AB∥CD，点E在线段B
C的延长线上，AE平分∠BAD，连接DE，∠ADC＝2∠CDE，∠AED＝60°．（1）求证∠ABC＝∠ADC；（2）求∠CDE的
度数．【分析】（1）根据平行线的性质即可得到答案．（2）根据∠ADE＝3∠CDE，设∠CDE＝x，∠ADE＝3x，∠ADC＝2x，
根据平行线的性质得出方程90°﹣x+60°+3x＝180°，求出x即可．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE，∵
AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCE，∴∠ABC＝∠ADC．（2）解：设∠CDE＝x，则∠ADC＝2x，∵AB∥CD，∴∠BAD＝18
0°﹣2x，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD＝∠BAD＝90°﹣x，∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠EAD＝90°﹣x，∴∠BED+∠A
DE＝180°，∴90°﹣x+60°+3x＝180°，∴x＝15°，∴∠CDE＝15°．16．（2022春?来宾期末）如图，直线P
Q∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．（1）若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC＝ 90 °；
（2）若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；（3）如图丙，三角尺的直
角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．【分析】（1）延长BC
交MN于点D，根据平行线的性质可得∠PBC＝∠ADC，再利用三角形的外角可得∠ACB＝∠ADC+∠MAC，然后利用等量代换即可解答
；（2）根据已知可得∠AEN＝∠A＝30°，再利用对顶角相等可得∠CEM＝30°，然后利用（1）的结论可得：∠PDC＝60°，最后
利用对顶角相等即可解答；（3）利用角平分线的定义设∠CEM＝∠CEG＝x，从而利用平角定义可得∠GEN＝180°﹣2x，再利用（1
）的结论可得：∠PDC＝90°﹣x，然后利用对顶角相等可得∠BDF＝90°﹣x，进行计算即可解答．【解答】解：（1）延长BC交MN
于点D，∵PQ∥MN，∴∠PBC＝∠ADC，∵∠ACB是△ACD的一个外角，∴∠ACB＝∠ADC+∠MAC，∴∠ACB＝∠PBC+
∠MAC＝90°，故答案为：90；（2）∵∠AEN＝∠A，∠BAC＝30°，∴∠AEN＝∠A＝30°，∴∠CEM＝∠AEN＝30°
，利用（1）的结论可得：∠ACB＝∠PDC+∠MEC，∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°，∴∠B
DF的度数为60°；（3）∵CE平分∠MEG，∴∠CEM＝∠CEG，设∠CEM＝∠CEG＝x，∴∠GEN＝180°﹣∠CEM﹣∠C
EG＝180°﹣2x，利用（1）的结论可得：∠ACB＝∠PDC+∠MEC，∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝90°﹣x，∴∠BDF＝
∠PDC＝90°﹣x，∴＝＝2，∴的值为2．17．（2022春?咸安区期末）（1）如图1，已知AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PF
D＝110°，求∠EPF的度数．（2）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？并说明
理由；（3）如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝60°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．【分析】（1
）延长EP交CD于点G，利用平行线的性质可得∠PGF＝40°，再利用平角定义可得∠PFG＝70°，然后利用三角形的外角进行计算即可
解答；（2）设AB与PF交于点M，先利用三角形的外角可得∠PMA＝∠PEA+∠EPF，再利用平行线的性质可得∠PMA＝∠PFC，然
后利用等量代换可得∠PFC＝∠PEA+∠EPF，即可解答；（3）利用（2）的结论可得∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA＝60°，再利用角
平分线的性质可得∠GEA＝∠AEP，∠GFC＝∠PFC，然后利用（2）的结论可得∠G＝∠GFC﹣∠GEA＝（∠PFC﹣∠AEP），
进行计算即可解答．【解答】解：（1）延长EP交CD于点G，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠PGF＝40°，∵∠PFD＝110°，∴∠P
FG＝180°﹣∠PFD＝70°，∵∠EPF是△PFG的一个外角，∴∠EPF＝∠PGF+∠PFG＝110°，∴∠EPF的度数为11
0°；（2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF，理由：如图：设AB与PF交于点M，∵∠PMA是△PME的一个外角，∴∠PMA＝∠PEA+
∠EPF，∵AB∥CD，∴∠PMA＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF；（3）由（2）可得：∠PFC＝∠PEA+∠EPF，∴
∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA＝60°，∵EG平分∠AEP，FG平分∠PFC，∴∠GEA＝∠AEP，∠GFC＝∠PFC，由（2）得：
∠GFC＝∠G+∠GEA，∴∠G＝∠GFC﹣∠GEA＝∠PFC﹣∠AEP＝（∠PFC﹣∠AEP）＝×60°＝30°，∴∠G的度数为
30°．18．（2022春?上虞区期末）如图1，已知点E，F分别是直线AB，CD上的点，点M在AB与CD之间，且AB∥CD．（1）
若∠EMF＝80°，则∠AEM+∠CFM＝ 80° ．（2）如图2，在图1的基础上，作射线EN，FN交于点N，使∠AEN＝∠AEM
，∠CFN＝∠CFM，设∠EMF＝α，猜想∠ENF的度数（用α表示），并说明理由．（3）如图3，在图1的基础上，分别作射线EP，F
P交于点P，作射线EQ，FQ交于点Q，若∠AEP＝∠AEM，∠CFP＝∠CFM，∠BEQ＝∠BEM，∠DFQ＝∠DFM，请直接写出
∠P与∠Q间的数量关系．【分析】（1）过点M作MP∥AB，利用平行线的性质，把∠AEM+∠CFM转化为∠EMF，从而求得度数．（2
）过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，利用平行线的性质，把∠EMF转化为∠AEM+∠CFM，把∠ENF转化为∠AEN+∠CFN
，得出∠ENF＝∠EMF，从而用α表示出∠ENF的度数．（3）利用（2）的结论，同时利用两直线平行，同旁内角互补得出∠BEM+∠D
FM+∠M＝360°，进而找到∠P与∠Q间的数量关系．【解答】解：（1）过点M作MG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MG，∴∠
AEM＝∠EMG，∠GMF＝∠CFM，∴∠AEM+∠CFM＝∠EMG+∠GMF＝∠EMF＝80°．故答案为：80°．（2）∠ENF
＝α．理由如下：过点M作MG∥AB，由（1）知，∠EMF＝∠AEM+∠CFM，过点N作NH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NH
，∴∠AEN＝∠ENH，∠HNF＝∠CFN，∴∠ENF＝∠ENH+∠HNF＝∠AEN+∠CFN，∵∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠
CFM，∴∠ENF＝∠AEM+∠CFM＝（∠AEM+∠CFM）＝∠EMF，∵∠EMF＝α，∴∠ENF＝α．（3）n∠Q+m∠P＝3
60°．理由如下：由（2）的结论可知，∠P＝∠M，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ，∠BEM+∠DFM+∠M＝360°，∵∠BEQ＝∠BE
M，∠DFQ＝∠DFM，∴∠Q＝∠BEM+∠DFM，＝（∠BEM+∠DFM）＝（360°﹣∠M），∴∠M＝360°﹣n∠Q，∵∠M
＝m∠P，∴360°﹣n∠Q＝m∠P，即n∠Q+m∠P＝360°．19．（2022春?西岗区期末）如图1，AB∥CD，点P，Q分别
在AB，CD上，点E在AB，CD之间．连接PE，QE，PE⊥QE．（1）直接写出∠BPE与∠DQE的数量关系为 ∠BPE+∠DQ
E＝90° ；（2）如图2，∠APE的平分线PG和∠CQE的平分线QH的反向延长线相交于点G，求∠G的度数；（3）如图3，M为线段
PE上一点，连接QM，∠BPE和∠MQD的平分线相交于点N，直接写出∠PNQ和∠MQE的数量关系为 2∠PNQ﹣∠MQE＝90°
．【分析】（1）延长PE交CD于点F，根据垂直定义可得∠PEQ＝90°，根据平行线的性质可得∠BPE＝∠PFC，然后再利用三角形
的外角可得∠DQE+∠PFC＝90°，即可解答；（2）过点G作GF∥CD，从而可得∠HQC＝∠HGF，再利用平行线的性质可得∠PG
F＝180°﹣∠APG，利用（1）的结论可得∠APE+∠CQE＝270°，然后利用角平分线的定义可得∠APG+∠CQH＝135°，
最后根据∠HGP＝∠PGF﹣∠HGF＝180°﹣∠APG﹣∠HQC，进行计算即可解答；（3）根据角平分线的定义可得∠BPE＝2∠B
PN，∠MQN＝∠DQN，再利用猪脚模型可得∠BPE+∠DQE＝90°，∠BPN+∠DQN＝∠PNQ，再利用角的和差关系进行计算即
可解答．【解答】解：（1）延长PE交CD于点F，∵PE⊥QE，∴∠PEQ＝90°，∵AB∥CD，∴∠BPE＝∠PFC，∵∠PEQ是
△QEF的一个外角，∴∠PEQ＝∠DQE+∠PFC＝90°，∴∠BPE+∠DQE＝90°，故答案为：∠BPE+∠DQE＝90°，（
2）过点G作GF∥CD，∴∠HQC＝∠HGF，∵AB∥CD，∴AB∥FG，∴∠PGF＝180°﹣∠APG，由（1）得：∠BPE+∠
DQE＝90°，∴∠APE+∠CQE＝360°﹣（∠BPE+∠DQE）＝270°，∵PG平分∠APE，QH平分∠CQE，∴∠APG
＝∠APE，∠CQH＝∠CQE，∴∠APG+∠CQH＝（∠APE+∠CQE）＝135°，∵∠HGP＝∠PGF﹣∠HGF＝180°﹣∠APG﹣∠HQC＝45°，∴∠HGP的度数为45°；（3）2∠PNQ﹣∠MQE＝90°，理由：∵PN平分∠BPE，QN平分∠MQD，∴∠BPE＝2∠BPN，∠MQN＝∠DQN，由（1）可得：∠BPE+∠DQE＝90°，∴2∠BPN+∠DQN+∠EQN＝90°，由（1）可得：∠BPN+∠DQN＝∠PNQ，∴∠PNQ+∠BPN+∠MQN﹣∠MQE＝90°，∴∠PNQ+∠BPN+∠DQN﹣∠MQE＝90°，∴∠PNQ+∠PNQ﹣∠MQE＝90°，∴2∠PNQ﹣∠MQE＝90°，故答案为：2∠PNQ﹣∠MQE＝90°．20．（2022春?宜春期末）问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．（1）端点A、C同向：如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝ 0 度；如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝ 360 度；（2）端点A、C反向：如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝ 180 度．【分析】（1）过点P作PE∥AB，分别利用猪脚模型，铅笔模型即可解答；（2）过点P作PE∥CD，利用平行线的性质，以及角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：（1）如图：过点P作PE∥AB，∴∠A＝∠APE，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C＝∠EPC，∵∠APC＝∠APE+∠EPC，∴∠APC＝∠A+∠C，∴∠APC﹣（∠A+∠C）＝0度，故答案为：0；如图：过点P作PE∥AB，∴∠A+∠APE＝180°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C+∠EPC＝180°，∴∠A+∠APE+∠C+∠EPC＝360°，∴∠APC+∠A+∠C＝360°，∴∠APC+（∠A+∠C）＝360度，故答案为：360；（2）∠APC+∠A﹣∠C＝180°，证明：过点P作PE∥CD，∴∠C＝∠EPC，∵AB∥CD，∴PE∥AB，∴∠A+∠APE＝180°，∴∠A+∠APC﹣∠EPC＝180°，∴∠A+∠APC﹣∠C＝180°，∴∠APC+∠A﹣∠C＝180°；如图：过点P作PE∥AB，∴∠A＝∠APE，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C+∠EPC＝180°，∴∠C+∠APC﹣∠APE＝180°，∴∠C+∠APC﹣∠A＝180°，∴∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°，故答案为：180． |
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