【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题15三角形之“8”字模型模型1：角的8字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接A
D、BC． 结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．模型2 边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论AC
+BD>AD+BC． 模型分析 ∵OA+OD>AD①， OB+OC>BC②， 由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD
即：AC+BD>AD+BC.【例1】（2021?西湖区校级三模）如图，D，E为△GCF中GF边上两点，过D作AB∥CF交CE的延
长线于点A，AE＝CE．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若GB＝4，BC＝6，BD＝2，求CF的长．【分析】（1）先由AB∥
CF得到∠F＝∠ADE，∠A＝∠ECF，然后结合AE＝CE得到△ADE≌△CFE；（2）由AB∥CF得到△GBD∽△GCF，然后由
相似三角形的性质得到CF的长．【解答】（1）证明：∵AB∥CF，∴∠F＝∠ADE，∠A＝∠ECF，在△ADE和△CFE中，，∴△A
DE≌△CFE（AAS）．（2）解：∵AB∥CF，∴△GBD∽△GCF，∴，∵GB＝4，BC＝6，∴GC＝GB+BC＝10，∵BD
＝2，∴，∴CF＝5．【例2】（2021秋?阜阳月考）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连
接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．（1）求证：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度数．（3）若
G为CE上一点，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求证：BD⊥AC．【分析】（1）根据AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EA
D，从而得出∠BAD＝∠CAE，即可得出△BAD≌△CAE，进而可以解决问题；（2）结合（1）证明∠COF＝∠BAC＝48°，进而
可以解决问题；（3）连接AO，证明△ADO≌△AEG，可得AG＝AO，∠DAO＝∠EAG，然后证明∠COF＝∠OAG，根据AG∥B
D，可得∠AOF＝∠OAG，再根据等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠
DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵△BA
D≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠AFB＝∠CFO，∴∠COF＝∠BAC＝48°，∴∠COD＝180°﹣∠COF＝180°﹣
48°＝132°，答：∠COD的度数为132°．（3）证明：如图，连接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠AEC，∵AD＝A
E，GE＝OD，在△ADO和△AEG中，，∴△ADO≌△AEG（SAS），∴AG＝AO，∠DAO＝∠EAG，∵AG＝OC，∴OA＝
OC，∵∠OAG＝∠DAO+∠DAG，∴∠OAG＝∠EAG+∠DAG＝∠DAE＝∠BAC，由（2）知：∠COF＝∠BAC，∴∠CO
F＝∠OAG，∵AG∥BD，∴∠AOF＝∠OAG，∴∠COF＝∠AOF，∵OA＝OC，∴BD⊥AC．【例3】（2020秋?青岛期末
）阅读材料，回答下列问题：【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．【探索研究】探索一：如
图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ∠A+∠B＝∠C+∠D ；探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝1
4°，求∠P的度数为 25° ；探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、
∠D之间的数量关系为 ∠P＝ ．【模型应用】应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，
α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝ α+β﹣180° （用含有α和β的代
数式表示），∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四
边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）【拓展延伸】拓展一：如图6
，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ∠P＝ ．（用x、y表示
∠P）拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 2∠P﹣∠B
﹣∠D＝180° ．【分析】探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；探索二：根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DA
P，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案；应
用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，利用三角形内角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得
答案；应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案；拓展
一：运用探索一的结论可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，再结合已
知条件即可求得答案；拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案．【解答】解：探索一：如图1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠CO
D+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如图2，∵AP、C
P分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，∴∠B﹣∠P
＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°，故答案为25°；探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+
2∠3，由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1∠D+2∠B＝2∠
P+∠B．∴∠P＝．故答案为：∠P＝．应用一：如图4，由题意知延长BM、CN，交于点A，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，∴
∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）
＝α+β﹣180°；∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∵∠PCD＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，故答案为：α+β﹣180°，；应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A
，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，∵BP平分∠M
BC，CP平分∠NCR，∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，由应用一得：∠P＝∠A＝，故答案为：；拓展一：如图6，由探索一可得：
∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠
CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB，∴∠P+∠CAB＝∠
B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB，∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝，∴∠P＝，故答案
为：∠P＝；拓展二：如图7，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD
，由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°
+∠BCD，③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．【例
4】（2021春?邗江区月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求
证：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上结论解决下列问题：（2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数
为 260° ．（3）如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N．①若∠B＝100
°，∠C＝120°，求∠P的度数．②若角平分线中角的关系改成“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试直接写出∠P与∠B，∠C
之间存在的数量关系，并证明理由．【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；（3）①根据角平分线的定义得到∠CAP＝∠BAP，∠
BDP＝∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠
P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠C+∠B），然后把∠C＝120°，∠B＝100°代入计算即可；②与①的证明方法一样得到4∠P＝∠B+3
∠C．【解答】解：（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴
∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2所示，∵∠DME＝∠A+∠E，∠3＝∠DME+∠D，∴∠A+∠E+∠D＝∠3，∵∠2＝∠3+∠
F，∠1＝130°，∴∠3+∠F＝∠2＝∠1＝130°，∴∠A+∠E+∠D+∠F＝130°，∵∠B+∠C＝∠1＝130°，∴∠A+
∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝260°．故答案为：260°．（3）①以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N
为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分别
平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P＝
（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；②3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠
BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠
BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CA
B）．∴3（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴4∠P＝∠B+3∠C．一．选择题1．（2022春?叙州区期末）如图，BP平分∠ABC交CD
于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】根据三角形内角和定理，得∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．根据角平分线的定义，得到∠GBC＝
2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE，进而推断出∠A+∠C＝2∠P，从而解决此题．【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠
ABC+∠C+∠BGC＝180°，∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．又∵∠AGD＝∠BGC，∴∠A+∠ADG＝
∠C+∠GBC．∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．∵B
P平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠
P）．∴∠A+∠C＝2∠P．又∵∠A＝45°，∠P＝40°，∴∠C＝35°．故选：B．2．（2022?包头）如图，在边长为1的小正
方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为（ ）A．
1：4B．4：1C．1：2D．2：1【分析】利用网格图，勾股定理求得AB，CD的长，利用直角三角形的边角关系定理得出∠BAF＝∠H
CD，进而得到∠BAC＝∠DCA，则AB∥CD，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：如图所示，由网格图可知：BF＝2
，AF＝4，CH＝2，DH＝1，∴AB＝＝2，CD＝＝．∵FA∥CG，∴∠FAC＝∠ACG．在Rt△ABF中，tan∠BAF＝，在
Rt△CDH中，tan∠HCD＝，∴tan∠BAF＝tan∠HCD，∴∠BAF＝∠HCD，∵∠BAC＝∠BAF+∠CAF，∠ACD
＝∠DCH+∠GCA，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴△ABE与△CDE的周长比＝＝＝2：1．故选：D
．3．（2021秋?市中区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，B
E交AD于点F，则△DEF面积的最大值是（ ）A．1B．2C．D．【分析】先利用两边对应成比例及其夹角相等得到A字型相似，从而得
到相关线段比及AB∥DE，再利用8字型相似及等底等高的相等面积，分析可得到△DEF的面积与△ABD的面积的关系，从而利用△ABD的
面积最大得到△DEF的面积最大值．【解答】解：∵CD＝2BD，CE＝2AE，∴，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA，∴，∠CED＝
∠CAB，∴AB∥DE，∴，S△ABE＝S△ABD，∴，，∴，∴当S△ABD最大时，S△DEF最大，当AB⊥BD时，，∴．故选：D
．4．（2021春?自流井区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC上，且BE：EC＝1：2，AE
交BD于点F，若AC＝4，菱形ABCD的面积为12，则AF的长为（ ）A．1.4B．1.5C．2.4D．2.5【分析】利用菱形面
积公式得到BD＝6，利用菱形两条对角线对互相垂直且平分，推出△AFD∽△EFB，最后根据对应边成比例再结合勾股定理即可求出答案．【
解答】解：S菱形ABCD＝×AC×BD＝×4×BD＝×BD＝12，∴BD＝6，∵菱形两条对角线对互相垂直且平分，∴OA＝OC＝2，
OB＝OD＝3，∠AOF＝90°∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∠BFE＝∠AFD，∠FAD＝∠FEB，∴△AFD∽△EFB，
∴，又∵，∴，∴BF＝?BD＝，OF＝3﹣＝，在Rt△AOF中，AF＝＝2.5．故答案为：D．5．（2022?宝山区模拟）如图，在
平行四边形ABCD中，E是BC的中点，AE交BD于点F，那么S△ABF：S四边形CDFE的比值为 2：5 ．【分析】首先利用平行
四边形的性质证明△ADF∽△EBF，然后利用相似三角形的的性质得到AD：BE＝DF：BF＝AF：EF，接着利用E是BC的中点依次求
出S△BEF，S△ABF，S△AFD，S△ABD，S△BCD，S四边形CDFE，最后求出题目的结果．【解答】解：∵四边形ABCD为
平行四边形，∴S△ABD＝S△BCD，AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴AD：BE＝DF：BF＝AF：EF，∵E是BC的中点，∴
AD：BE＝DF：BF＝AF：EF＝2：1，设S△BEF＝a（a＞0），则S△ABF＝2a，S△AFD＝4a，S△ABD＝6a，又
∵S△ABD＝S△BCD，∴S△BCD＝6a，∴S四边形CDFE＝6a﹣a＝5a，∴S△ABF：S四边形CDFE＝2：5．故答案为
：2：5．6．（2022?沈阳模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点D是△ABC所在平面内一点，且∠A＝2∠BDC，BD交A
C所在的直线于点E，当BE?DE＝20时，CE＝ 2或10 ．【分析】由题意知，点D在以A为圆心，以AB长为半径的圆上，设CA的延
长线交⊙A于点G，连接BG．可得∠BGC＝∠BDC，可证得△GEB∽△DEC，则，即BE?DE＝GE?CE＝20，可得（12﹣CE
）?CE＝20，解方程即可．【解答】解：由题意知，点D在以A为圆心，以AB长为半径的圆上，设CA的延长线交⊙A于点G，连接BG．∴
∠BGC＝∠BDC，∵∠BEG＝∠CED，∴△GEB∽△DEC，∴，即BE?DE＝GE?CE＝20，∵AB＝AC＝6，∴GC＝12
，∴（12﹣CE）?CE＝20，解得CE＝2或10．故答案为：2或10．7．（2021秋?泉州期末）如图，在矩形ABCD中，点E在
CD上，且DE＝2CE，BE⊥AC于F，连结DF，有下列四个结论：①△CEF∽△ACB；②AF＝2CF；③DF＝AF；④tan∠A
CD＝．其中正确的结论有 ①④ （填写序号即可）．【分析】①利用矩形的性质可得AB∥CD，∠ABC＝90°，从而可得∠ECA＝∠
CAB，然后利用两角相等的两个三角形相似证明即可解答；②根据已知可得＝，利用8字型相似证明△CEF∽△ABF即可解答；③要判断DF
＝AF，只要判断出∠DAF＝∠ADF，进而只要判断出∠CDF＝∠CAB即可解答；④先设CE＝a，DE＝2a，设AD＝b，然后证明△
ADC∽△ECB，利用相似三角形的性质找到a，b的关系，最后求出tan∠ACD的值即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴DC
∥AB，∠ABC＝90°，∴∠ECA＝∠CAB，∵BE⊥AC，∴∠EFC＝90°，∴∠EFC＝∠ABC＝90°，∴△CEF∽△AC
B，故①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB，∵DE＝2CE，∴＝，∴＝，∵∠ECA＝∠CAB，∠CFE＝∠AFB，∴△CE
F∽△ABF，∴＝＝，∴AF＝3CF，故②错误；∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DAB＝90°，∴∠CDF+∠ADF＝90°
，∠DAF+∠CAB＝90°，∵FD≠CF，∴∠CDF≠∠DCF，∵∠ECA＝∠CAB，∴∠CDF≠∠CAB，∴∠ADF≠∠DAF
，∴DF≠AF，故③错误；∵DE＝2CE，∴设CE＝a，DE＝2a，∴CD＝DE+CE＝3a，设AD＝b，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝BC＝b，∴∠DCA+∠ACB＝90°，∵∠BFC＝90°，∴∠ACB+∠CBE＝90°，∴∠
CBE＝∠DCA，∴△ADC∽△ECB，∴＝，∴＝，∴b2＝3a2，∴b＝a，∴tan∠ACD＝＝＝＝，故④正确；所以，正确的结论
有：①④，故答案为：①④．8．（2021?延边州模拟）如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，EF⊥AE交AD的延长线于点F，若
AB＝4，则DF的长为 6 ．【分析】设DC与EF相交于点G，先利用一线三等角相似模型证明△ABE∽△ECG，求出CG，从而求出
DG，然后利用8字模型相似三角形证明△FDG∽△ECG，再利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：设DC与EF相交于点G
，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝4，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵EF⊥AE，∴
∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECG，∴＝，∵点E是BC的中点，∴BE＝EC
＝BC＝2，∴＝，∴CG＝1，∴DG＝CD﹣CG＝4﹣1＝3，∵AD∥BC，∴∠F＝∠FEC，∠FDC＝∠DCE，∴△FDG∽△E
CG，∴＝，∴＝，∴DF＝6，故答案为：6．9．（2021秋?福州期末）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝
5，则的值为 ．【分析】利用平行线的性质判定△ABE∽△DCE，利用相似三角形的性质可得结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴△A
BE∽△DCE．∴．∵AE＝3，ED＝5，∴＝．故答案为：．10．（2019春?崇川区校级月考）如图所示，AB、CD相交于点O，若
BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，∠A＝45°，∠BEC＝40°，则∠D的度数为 35° ．【分析】先根据角
平分线定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用三角形内角和定理和对顶角相等得到∠1+∠D＝∠4+∠E①，∠1+∠2+∠D＝∠3+∠4
+∠A，即2∠1+∠D＝2∠4+∠A②，接着利用①×2﹣②得2∠E＝（∠D+∠A），由此即可解决问题．【解答】解：如图，∵BE平分
∠DBA交DC于F，CE平分∠DCA交AB于G，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠D＝∠4+∠E①，∠1+∠2+∠D＝∠3+∠4
+∠A，即2∠1+∠D＝2∠4+∠A②，由①×2﹣②得∠D＝2∠E﹣∠A，∵∠A＝45°，∠BEC＝40°，∴∠D＝35°，故答案
为35°．11．（2022春?新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探
究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶
点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，
证明：过点A作EF∥BC．（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用
小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ∠A+∠D＝∠C+∠B ；（3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的
平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由．【分
析】（1）通过作平行线把三角形的内角转移到同一个顶点，然后利用平角的定义解决问题；（2）利用（1）的结论即可求解；（3）利用（2）
的结论即可求解．【解答】（1）证明：过A作EF∥BC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；（2）解：根据（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°，又∠AOD＝∠BOC
，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）解：2∠P＝∠D+∠B．根据（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DC
P①，∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②，∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB
，∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，∴2∠P＝∠D+∠B．12．（2022春?靖江市校级月考）已知，如图，线段AD、CB相交于点
O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由．【分
析】根据“8字形”可得∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，∠1+∠P＝∠2+∠D，由角平分线的定义可得∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠
2，整理可得结论．【解答】解：2∠P＝∠B+∠D，理由如下：如图，在△AOB和△COD中，∵∠AOB＝∠COD，∴∠OAB+∠B＝
∠OCD+∠D，在△AEP和△CED中，∵∠AEP＝∠CED，∴∠1+∠P＝∠2+∠D，∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平
分线，∴∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，∴2∠P﹣∠B＝2∠D﹣∠D，整理得，2∠P＝∠B+∠D．13．（2022春?江阴市校
级月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：（1）在图1中
，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ∠A+∠D＝∠B+∠C ；（2）如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平
分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题：①仔细观察，在图2中“8字形”
的个数： 6 个；②若∠D＝40°，∠B＝50°，试求∠P的度数；③若∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间是
否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由；④若∠D和∠B为任意角，∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4，试
问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用三角形内角和定理及对
顶角相等即可得出结论；（2）①分别找以交点M、O、N为顶点的能构成“8字形”的三角形；②利用“8字形”的数量关系结合角平分线即可得
出∠P的度数；③和②同理；④利用“8字形”的数量关系结合“∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠A
+∠D＝180°﹣∠AOD，∠B+∠C＝180°﹣∠COB，且∠AOD＝∠COB，∴∠A+∠D＝∠B+∠C；故答案为∠A+∠D＝∠
B+∠C；（2）①以M为交点的有1个，为△AMD和△CMP，以O为交点的有4个，为△AOD和△BOC，△AOD和△CON，△AOM
和△BOC，△AOM和△CON，以N为交点的有1个，为△ANP和△BNC，故答案为6个；②∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，∴
2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，由（1）中的结论得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，整理得：∠B+∠D＝2
∠P，∴∠P＝＝45°；③：∠B+∠D＝2∠P，理由如下：∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OC
B，由（1）中的结论得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，整理得：∠B+∠D＝2∠P；④2∠B+∠D＝3∠P，理
由如下：由（1）中结论得：∠2+∠P＝∠4+∠B，3∠2+∠D＝3∠4+∠B，整理得：2∠B+∠D＝3∠P．14．（2021秋?九
龙坡区校级期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠CBA＝90°．以斜边AC为腰作等腰△CAD，使AC＝AD，点E为CD边中点，连
接AE．（1）如图1，当A、B、D三点共线时，若AE与BC相交于点F，求证：BF＝BD．（2）如图2，射线BM是∠ABC的外角∠C
BG的角平分线，当点D恰好落在射线BM上时，请求出∠CAE的度数．（3）如图3，连接BD，以BD为斜边作Rt△BQD，连接EQ，若
AC＝8，请直接写出线段EQ的最大值．【分析】（1）证明△ABF≌△CBD（AAS），即可证明BF＝BD；（2）过点D作DP⊥AC
于P，过点B作BQ⊥AC于Q，则BQ//DP，BM//AC，证明四边形PQBD是矩形，可得∠CAD＝30°，所以∠CAE＝∠CAD
＝15°；（3）点Q在以BD为直径的⊙O上，连接EO并延长交⊙O于S，则ES即为EQ的最大值，可证得EO//BC，所以ES＝EO+
OS＝4+BD，当BD最大时，ES最大：当点D在BA的延长线上时，BD最大，BD的最大值为BD＝AB+AD＝AB+AC＝8+8，可
得ES＝EO+OS＝8+4．【解答】（1）证明：当A、B、D三点共线时，∵AC＝AD，点E为CD边中点，∴AE⊥CD，∵△ABC是
等腰直角三角形，∠CBA＝90°，∴AB＝CB，∠ABF＝∠CBD＝90°，又∵∠DAE+∠D＝90°，∠DAE+∠AFB＝90°
，∴∠AFB＝∠D，在△ABF和△CBD中，，∴△ABF≌△CBD（AAS），∴BF＝BD；（2）解：如图2，过点D作DP⊥AC于
P，过点B作BQ⊥AC于Q，则BQ//DP，∵△ABC是等腰直角三角形，∠CBA＝90°，∴AB＝CB，∠BAC＝45°，∠CBG
＝90°，∵BQ⊥AC，∴BQ＝AC，∵BM平分∠CBG，∴∠MBG＝∠CBG＝×90°＝45°，∴∠MBG＝∠BAC＝45°，∴
BM∥AC，又∵BQ∥DP，∠PQB＝90°，∴四边形PQBD是矩形，∴DP＝BQ，∴DP＝AC，又∵AC＝AD，∴DP＝AD，∴
∠CAD＝30°，又∵AC＝AD，E为CD的中点，∴∠CAE＝∠CAD＝30°＝15°；（3）解：如图3，∠BQD＝90°，∴点Q
在以BD为直径的⊙O上，连接EO并延长交⊙O于S，则ES即为EQ的最大值，∵△ABC是等腰直角三角形，∠CBA＝90°，AC＝8，
∴AB＝CB＝AC＝×8＝8，∵E为CD的中点，O为BD的中点，∴EO∥BC，∴EO＝BC＝8＝4，OS＝BD，∴ES＝EO+OS
＝4+BD，∴当BD最大时，ES最大：∵AC＝AD，∴当点D在BA的延长线上时，BD最大，如图4，∴BD的最大值为BD＝AB+AD
＝AB+AC＝8+8，∴ES＝EO+OS＝4×（8+8）＝8+4，综上所述，EQ的最大值为8+4．15．（2021秋?大兴区期末）
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是直线AC上一动点，连接BD并延长至点E，使ED＝BD．过点E作EF⊥AC于点F．
（1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的数量关系是 DF＝DC ．（2）如图2，当点D在线
段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：2AD＝AF+EF．（3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段AD，AF，
EF之间的数量关系是 AF＝2AD+EF ．【分析】（1）由∠ACB＝90°、EF⊥AC得到∠EFD＝∠BCD，结合BD＝ED、
∠EDF＝∠BDC得证△EDF≌△BDC，然后得到DF＝DC；（2）同（1）理得证△BDC≌△EDF，然后得到CD＝FD、BC＝E
F，然后由AC＝BC得到2AD＝AF+EF；（3）同（1）理得证△DFE≌△DCB，然后得到EF＝BC、DF＝DC，再结合AC＝B
C得到AF、AD、EF的数量关系．【解答】解：（1）∵EF⊥AC，∴∠EFD＝∠BCD＝90°，∵∠EDF＝∠BDC，ED＝BD，
∴△EDF≌△BDC（AAS），∴DF＝DC．（2）图形补充如图（1），证明如下，同（1）理得，△BDC≌△EDF，∴BC＝EF，
DC＝DF，∵AD＝AC+CD，AC＝BC，∴2AD＝AD+AC+CD＝AD+EF+DF＝AF+EF．（3）根据题意作出图形如图（
2），由（1）得，△BDC≌△EDF，∴DF＝DC，EF＝BC，∵DC＝AD+CD，∴DF＝AD+AC＝AD+EF，∴AF＝DF+
AD＝2AD+EF，故答案为：AF＝2AD+EF．16．（2021秋?营口期末）若△ABC，△ADE为等腰三角形，AC＝BC，AD
＝DE，将△ADE绕点A旋转，连接BE，F为BE中点，连接CF，DF．（1）若∠ACB＝∠ADE＝90°，如图1，试探究DF与CF
的关系并证明；（2）若∠ACB＝60°，∠ADE＝120°，如图2，请直接写出CF与DF的关系．【分析】（1）延长CF至点M，使C
F＝FM，连接ME，MD，CD，延长DE交CB延长线于点N，先证明△BFC≌△EFM（SAS），再证△MED≌△CAD（SAS），
得到△DCM为等腰直角三角形，即可求解；（2）延长CF至点M，使CF＝FM，连接ME，MD，CD，延长ED交BC延长线于点N，先证
明△BFC≌△EFM（SAS），再证△MED≌△CAD（SAS），得到△DCM为等腰三角形，即可求解．【解答】解：（1）DF＝CF
且DF⊥CF； 延长CF至点M，使CF＝FM，连接ME，MD，CD，延长DE交CB延长线于点N，∵BF＝EF，CF＝FM，∠BFC
＝∠EFM，∴△BFC≌△EFM（SAS），∴EM＝BC＝AC，∠FME＝∠FCB，∴BC∥EM，∴∠N＝∠MEN，在四边形ACN
D中，∠ACB＝∠ADE＝90°，∴∠N+∠CAD＝360°﹣（∠ACB+∠ADE）＝180°，又∵∠MEN+∠MED＝180°，
∴∠MED＝∠CAD，又 AD＝DE，EM＝AC，∴△MED≌△CAD（SAS），∴DM＝DC，∠MDE＝∠CDA，∴∠MDC＝∠
NDC+∠MDE＝∠NDC+∠CDA＝∠ADE＝90°，∴△DCM为等腰直角三角形，∵点F是CM中点，∴DF＝CM＝CF，DF⊥C
F；（2）DF⊥CF且；延长CF至点M，使CF＝FM，连接ME，MD，CD，延长ED交BC延长线于点N，∵BF＝EF，CF＝FM，
∠BFC＝∠EFM，∴△BFC≌△EFM（SAS），∴EM＝BC＝AC，∠FME＝∠FCB，∴BC∥EM，∴∠N＝∠NER，∵∠A
CB＝60°，∴∠ACN＝120°，∵∠ADE＝120°，∴∠ADN＝60°，∴∠N+∠CAD＝360°﹣（∠ACN+∠ADN）＝
180°，∵∠DER+∠DEM＝180°，∴∠DEM＝∠CAD，又 AD＝DE，EM＝AC，∴△MED≌△CAD（SAS），∴DM
＝DC，∠MDE＝∠CDA，∴△DCM为等腰三角形，∴∠CDM＝∠ADE＝120°，∴DF⊥CF且．17．（2021秋?正阳县期末
）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD
的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之
间的数量关系： ∠A+∠D＝∠C+∠B ；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 6 个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝
40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结
果，不必证明）．【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出
“8字形”共有6个；（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再
根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；（4）同（3
），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+
∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点
O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于
点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个
，故答案为：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相
交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2
∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+
∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分线A
P和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．18．（2022春?茌平区期末）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝
90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连结BE，P，Q，M分别为DE，BC，BE的中点．（1）线段PM与Q
M有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）如图2，把图1中的△ADE绕点A顺时针旋转至点D、E、C三点共线时，DE与AB交于
点O，连结PQ，BD，CE，判断△MPQ的形状，并说明理由；（3）已知AB＝7，AD＝3，将△ADE绕点A旋转一周的过程中，请直接
写出△MPQ面积的最大值．【分析】（1）先判断出MP＝，MP∥AB；MQ＝，MQ∥AC，进一步得出结果；（2）延长CE交BD于N交
AB于O，证明△ACE≌△ABD，从而得出BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，进而得出∠BNC＝90°，结合MP＝，MP∥BD，MQ＝
，MQ∥CE，进一步得出结论；（3）△PMQ是等腰直角三角形，当BD最大时，△PMQ的面积最大，确定当B、A、D共线时，BD最大，
进一步求得结果．【解答】解：（1）PM＝QM，PM⊥QM；理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即：BD＝CE
，∵点P是DE的中点，点M是BE的中点，∴PM＝，PM∥AB，∴∠PME＝∠ABE，同理可得：MQ＝，∠MQE＝180°﹣∠CBE
，∴PM＝MQ，∠PMQ＝∠PME+∠QME＝∠ABE+180°﹣∠BEC，∵∠CEB＝∠ABE+∠BAC＝∠ABE+90°，∴∠
PMQ＝∠ABE+180°﹣（∠ABE+90°）＝90°，（2）△MPQ是等腰直角三角形，理由如下：如图1，延长CE交BD于N交A
B于O，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，、∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，即：∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，
，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AOC＝∠BON，∴∠BNC＝∠BAC＝90°，∴∠NBC
+∠BCN＝90°，∴∠BNC＝90°，∵PM是△BED的中位线，∴PM∥BD，PM＝，∴∠PME＝∠NBM，同理可得：MQ＝，M
Q∥CE，∴PM＝MQ，∠QME＝180°﹣∠BCE，同理（1）可得：∠PMQ＝90°，∴△PMQ是等腰直角三角形；（3）如图2，
由（2）知：△PMQ是等腰直角三角形，且直角边PM＝BD，∴当BD最大时，△PMQ的面积最大，∵BD≤AB+AD，∴当B、A、D共
线时，BD最大＝AB+AD＝10，∴PM＝MQ＝5，∴S△PMQ最大＝＝．19．（2022春?石家庄期中）如图1至图2，在△ABC
中，∠BAC＝α°，点D在边AC所在直线上，作DE垂直于直线BC，垂足为点E；BM为△ABC的角平分线，∠ADE的平分线交直线BC
于点G．特例感悟：（1）如图1，延长AB交DG于点F，若BM∥DG，∠F＝30°．解决问题：①∠ABC＝ 60 °；②求证：AC⊥
AB；深入探究；（2）如图2，当α＜90，DG与BM反向延长线交于点H，用含α的代数式表示∠BHD＝ 45°﹣ ；拓展延伸：（3）
当点D在直线AC上移动时，若射线DG与射线BM相交，设交点为N，直接写出∠BND与α的关系式．【分析】（1）①根据平行线的性质和角
平分线的定义可得答案；②根据平行线的性质得∠DGC＝∠CBM＝30°，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论；（2）由八字模型可
得，△BHG和△DEG中，∠BHD＝∠EDG+90°﹣∠HBG，再整理可得答案；（3）分情况讨论，分别画出对应图形，再整理即可．【
解答】解：（1）①∵BM∥DG，∴∠ABM＝∠F＝30°，∵BM为△ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABM＝60°，故答案为：6
0°；②证明：由①得，∠CBM＝∠ABM＝30°，∵BM∥DG，∴∠DGC＝∠CBM＝30°，∵DE⊥BC，∴∠EDG＝60°，∵
DG平分∠ADE，∴∠ADF＝60°，∴∠A＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴AC⊥AB；（2）由八字模型可得，△BHG和△D
EG中，∠BHD＝∠EDG+90°﹣∠HBG＝∠ADE+90°﹣（180°﹣ABC）＝（∠ADE+∠ABC）﹣90°＝45°﹣．故
答案为：45°﹣；（3）①如图，由八字模型可得，△ABM和△NMD中，∠BND＝∠ABN+∠A﹣∠MDN＝∠ABC+α﹣（90°﹣
∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）+α﹣45°＝45°+；②如图，由四边形的内角和得，∠BND＝360°﹣90°﹣ABC﹣ADE＝
270°﹣（270°﹣α）＝135°+；③如图，由八字模型可得，∠BND+∠ABM＝∠ADG+∠DAB，∴∠BND＝∠ADE+（180°﹣α）﹣∠ABC＝（90°﹣∠ACB）+（180°﹣α）﹣ABC＝135°﹣；综上，∠BND＝45°+或135°±．20．（2021?新泰市模拟）（1）（教材呈现）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，结论：DE∥BC．DE＝BC．（2）（结论应用）如图1，四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、DC、AC的中点，若∠ACB＝80°，∠DAC＝20°，求∠EFG的度数．（3）如图2，在△ABC外分别作正方形ACEF和BCGH．D是AB的中点，M，N分别是正方形的中心，AC＝3，BC＝2，则△DMN的面积最大值为多少？【分析】（1）证△DAE∽△BAC，再由相似三角形的性质即可得出结论；（2）由三角形的中位线定理可得GF＝AD，GF∥AD，GE∥BC，GE＝BC，再由平行线的性质和等腰三角形的性质可求解；（3）由“SAS”证△ACG≌△ECB，得BE＝AG，∠CEB＝∠CAG，再由三角形中位线定理证△MDN是等腰直角三角形，得△DMN的面积＝DM2，则当DM有最大值时，△DMN的面积有最大值，即可求解．【解答】（1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴＝＝，∵∠A＝∠A，∴△DAE∽△BAC，∴∠ADE＝∠B，＝＝，∴DE∥BC且DE＝BC；（2）解：∵E、F、G分别是AB、DC、AC的中点，∴GF＝AD，GF∥AD，GE∥BC，GE＝BC，∴∠DAC＝∠FGC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝80°，∴∠CGE＝180°﹣80°＝100°，∴∠EGF＝∠FGC+∠CGE＝20°+100°＝120°，∵AD＝BC，∴GF＝GE，∴∠EFG＝∠FEG＝（180°﹣∠EGF）＝×（180°﹣120°）＝30°；（3）解：如图2，连接BE，AG交于点P，BE与AC与点O，连接AE，GB，在正方形ACEF和正方形BCGH中，AC＝EC，BC＝CG，∠ACE＝∠BCG＝90°，∴∠BCG+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，即∠ACG＝∠ECB，∴△ACG≌△ECB（SAS），∴BE＝AG，∠CEB＝∠CAG，∵∠APO+∠CAG＝∠OCE+∠CEB（八字模型），∴∠APO＝∠OCE＝90°，∴BE⊥AG，∵M，N分别是正方形的中心，∴点M在AE上，点N在BG上，∴AM＝EM，BN＝NG，又∵AD＝BD，∴MD＝BE，DN＝AG，MD∥BE，DN∥AG，∴MD＝DN，MD⊥DN，∴△MDN是等腰直角三角形，∴△DMN的面积＝DM2，∴当DM有最大值时，△DMN的面积有最大值，∵MD＝BE，∴当BE有最大值时，MD有最大值，∵BE≤BC+CE，∴BE≤5，∴MD≤，∴△DMN的面积的最大值为××＝． |
|
